数学与非线性科学 - 声振论坛 - 振动,动力学,声学,信号处理,故障诊断

chensx3810 发表于 2006-4-15 16:47

[原创]三论数学逻辑问题

三论数学逻辑问题
 
 陈叔瑄
 
数学是定量与定形关系及其变化的逻辑科学。数学从最简单计数的加计算与其反面减计算的矛盾统一的等式计算开始，累加计算产生乘计算与其反面除计算概念，而计算中出现分数与除不尽的小数，除零的无穷大数，其矛盾统一构成四则等式计算或运算。累乘运算又产生乘方与指数运算及其反面开方与对数运算的概念，其运算等式矛盾统一又引出复数与函数概念。数有正数与负数等的实数，可是负数开方运算则产生虚数的概念，其矛盾统一则出现复数运算表达式。为了等式运算更具普遍性，这些运算式的具体数字用符号代替，数字运算关系变成了符号运算关系，即出现代数表达式。符号运算表达式可以左右移动，如等式左边与右边加同样符号运算仍然相等，代数的进一步发展，出现方程式及其解。
数学的另一支从比较量度长度、面积、体积与几何形状边角关系等开始的，在比较量度长度中出现除不尽的分数与小数。在正方形、长方形、三角形、梯形、圆形、扇形等简单图形边长、角度与周长、面积关系，甚至体积关系等量度矛盾中，建立起简单图形计算式、平面几何、三角和立体几何等。平面几何边角的关系及图形间的关系可用形式逻辑证明，即从几条公理证明推出边角与图形关系的逻辑联系，这种严密的形式逻辑推理，成了演绎逻辑的典范。但只能表达简单图形。稍许复杂的图形表达起来非常困难，这是数学使用限制所在。
几何与代数两支矛盾统一是通过建立坐标函数联系起来，再进一步发现一个符号的数（因变数）随另一符号的数（自变数）变化而变化，即出现函数关系概念。产生了解析几何、微分微商、积分变分及其运算的概念。微商是函数微小改变量对自变量微小改变量比值趋于极限的量度，相应于该坐标点上斜率。积分是微分反面运算概念。微积分在表达运动轨迹与变化状态是很有效的工具，从而在物理学上得到广泛应用。也可以说牛顿为了解决力学运动数学表达矛盾而发明微积分的。可见，数学概念就是在不断地遇到、出现矛盾与解决、统一矛盾中前进与发展的。为何不能直接主动地使用辩证分析与矛盾统一逻辑产生新概念或赋予概念更深刻的意义呢？以及形成概念间关系及其原理呢？
数学往往推出一些无穷大的点或奇异点就打住了，无法再往下推理而出现困难。而矛盾统一逻辑则认为正是这个不可能而必转化为其它运动形式的根源之一。可见数学与其它学科的发展实际上是矛盾统一逻辑，即遇到矛盾或出现矛盾，就要解决矛盾或统一矛盾，并产生新概念、新原理、新方法和理论。如果数学与其它学科直接使用矛盾统一逻辑，可能使数学与其它学科发展焕然一新。这是因为万物发展的内在动力是矛盾统一，即在相互联系变化的万物间不断出现矛盾，又不断统一矛盾中前进演变的，其演变又影响周围万物。数学不过从量、形关系思索中反映这个事实本质。量度、趋势、关系的矛盾必统一，统一中引出新的转化、异化、演变的事物观念、原理、方法，在一定条件下可以用数学表达。
一、矛盾统一逻辑运算表示
计数与量度是数学基础，从某种意义上可以说数学是量、形的符号逻辑学。这类符号关系可以用演绎逻辑表达，如公理或定理或定律等作大前提，较小定理、条件等作小前提，然后推出结论或解释现象。也可以用因果逻辑表达，如证明、问答或解释中因为什么，什么的，所以什么的，以解释众多现象，不过它更加灵活而已。这类符号关系也应该可以应用矛盾统一逻辑表达，可先定性（质），然后再定量表达，加减实际上要在同单位条件下计数获得的，单位含有性质意义的。
辩证数学考虑过采用符号新逻辑表达，如一分为二和合二而一，或者否定之否定推理符号表示等方案，但跟以往数学方法差别较大，难以继承。从数学的符号逻辑学性质来看，一分为二是提出矛盾、揭示矛盾、分析矛盾过程，可记作
X≮Y∶Z 或X(s‚t)≮Y(s‚t):Z(s‚t)
其中X为统一体经分析得出矛盾双方Y和Z，s为空间参量，t为时间参量。合二而一是统一矛盾、解决矛盾、克服矛盾的思维过程，记作
X:Y≯ 或X(s‚t):Y(s‚t)≯CZs‚t)
其中X和Y为矛盾的双方统一转化为Z，表明X、Y、Z可以是空间参变量s和时间参变量t的函数。
否定之否定实际上是正∽反∽合的辩证推理，符号逻辑可达记作
X∽X∽Z(X‚Y) 或X:Y∽Z
正面X异化为反面Y，Y再异化为Z，而Z既包含X成份，又包含YY成份，是两者的合一或统一。也可以表示为正反矛盾X∶Y统一转化为Z，Z又是新条件下矛盾U,V，再统一转化为W。
X∶Y∽Z≮U:V∽W或X∶Y∽U:V≒Z∽W
数学逻辑代数与算术等通常是可逆的，即满足交换律、结合律、分配律等，而它们通常是不可逆的，即一分为二，再合二而一的前后的“一”已是变化为不同的事物。
正向平动A与反向平动Ã矛盾统一必转化为涡旋运动B
A:Ã≯B
;A:Ã∽B
其中用记号;表示或者的意思。即正反平动矛盾统一的合二而一为涡旋运动，或者矛盾转化为涡旋运动。涡旋运动与平动运动又可矛盾统一转化为周期变换运动C
A:B≯C
;A:B∽C
其中周期变换运动C，既包含平动A，又包含涡旋运动B的矛盾统一的推理过程。这类推理在《物性论》中广泛应用。
二、质能关系矛盾统一表达
在一定的定量条件下分析矛盾的一分为二并等于记作≦，矛盾统一的合二而一并等于记作≧，转化并等于记为≌，以表达定性又是定量的矛盾统一逻辑记号。定量后的符号关系若性质与以往的定量关系一样，仍然可使用原数学符号表达。一定条件下，矛盾统一逻辑定量符号可与原数学符号等价或等效记作≒，以表达数学矛盾等价原理。上述是矛盾统一逻辑符号可表示定性（质）与定量两方面推理过程。
现从《物性论》应用入手，物性论认为物质量的量度称为质量，符号m，主要通过天平标准砝码来比较量度的。物质运动量的量度称为能量，符号E，主要通过转化机械能做功来比较量度的。运动、转化、变化等首先涉及时间与空间长度，符号t与ι，而时间量度通过跟地球运动有关的年、月、日、时、分、秒等来划分规定标准时间的时钟来比较量度的。空间长度通过规定标准米尺比较量度的,空间的面积与体积通过长度量度基础上计算得到的。但是对连续物质的质量与能量比较量度不易，通常采取质量对体积微商的质量密度，符号ρ与能量对体积微商的能量密度，符号w来描述。这些比较量度都是宏观的量度，到了微观或宇宙观世界量度通常也是在此基础上间接计算得到的。
系统的质量与系统总能量对应的，即质能关系式E=mc²。而稳定物质系统的能量通常是两类能量组成的，即以矢量定义的能量称为矢量能Ea，如平动能、旋转能等与以标量定义的能量称为标量能Eb，如周期变换能、交换能、内能、位能等组成的。即
E≦Ea+Eb
平动能定义为mυ²/2，旋转能定义为Jω²/2，变换能定义为hν/2等。对于光量子来说，总能是由平动能与周期变换能组成的，即
E=mc²≦mc²/2+hν/2≧hν
≒E=mc²=mc²/2+hν/2=hν
前式包含了定性与定量的双重意义，即光量子总能一分为二的平动能与周期变换能，进而合二而一的矛盾统一表达式。后式纯粹定量关系，是前者一定条件（稳定的周期变化）的特例。
量度跟选择参考（坐标）系密切相关的，同一物质系统速度或动能在相对运动参考系量度是不同的，但什么参量与参考系选择无关的或不变性，则理论基础。《物性论》认为物质不灭性，即同一系统的物质量的量度，即质量及其总能对任何参考系应不变性，否则物质因量度而消失，不能保持物质不灭性。质量与总能成正比，即
Ｅ≦m，c²
≒Ｅ=mc²
不变性。C为光速，因此能量单位是千克·米平方/秒=焦尔（克·厘米平方/秒=尔格）。但不同参考系量度同一物质系统动能Eˊ是不同的，而总能E又一样，必引出另一类与参考系无直接关系的内在能E"，作相应转化
-Eˊ,E≌E"
≒E-Eˊ=E"
 E。=Eˊ+E"
ΔE。=ΔE"+ΔE′=0
ΔE"=-ΔE′
表明动能改变量等于负的（相反）内在能改变量。

chensx3810 发表于 2006-4-15 16:48

趋势变化的符号表示

三、趋势变化的符号表示
数学符号主要目的之一是简化逻辑的表达，并构成定量描述与推理逻辑严密性。计数及其运算对于已分离的物体统计是很有效的，但对连续物质或运动描述就产生了问题或矛盾。而且物质与运动（其量度分别为质量与能量）本来就不可分割联系或统一在一起，并构成连续性参量间密切关系。又如运动描述跟时间与空间不可分割地联系在一起，可以说时间与空间是物质运动存在形式，并通过时间与空间来描述的。如物体在空间中运动轨迹，可以简化为点的轨迹来处理，即轨迹点的位移与时间关系来描述。点运动速度υ决定于位移ι对时间t比值或更精确描述其微小量比值
υ≦ι，∕t
;υ≦dι，∕dt
≒υ=ι∕t
;υ=dι∕dt
比值的数字与速度单位规定，若长度为米（或厘米），时间为秒，那么速度单位为米/秒（或厘米/秒）。它包含运动轨迹位移长度对时间比值属性。可见微积分产生与研究运动描述密切相关的。
连续性物质如何量度？其运动又如何描述？指定的连续性物质点含有微小质量dm，微小体积dV，其比值称为质量密度ρ来描述。
ρ≦dm，∕dV
≒ρ=dm∕dV
物质点运动含有微小能量dE，微小体积dV，其比值称为能量密度w来描述
w≦dE，∕dV
≒w=dE∕dV
w=ρc²
其它运动形式用其相应参量定义的能量密度来描述。这样的描述相当于流体力学中朗格拉日描述法，相当于流体力学的欧拉描述法可以用于场的描述，即指定参考坐标系的一点，流体流经该点的状态各种参数间关系或该点的周围点间参数关系等。
引力场、磁场、电场、电磁场、弱作用场、强作用场等通常用欧拉描述法，并以此建立场参量关系，如场（欧拉法）速度用A记号，以区分朗格拉日法的速度υ，虽然单位相同，但性质有所不同，A在某时刻参考坐标系的该点周围有一定分布。场实际上是物质运动状态另一种描述方法，可见场的本质仍是物质及其运动。如正反平动流速υ转化涡旋ω，也可用A的涡量表示
υ,-υ≌ω
≒ rot A≡B
场流速涡量定义（≡）为磁感应强度B，其变化率为
d rot A/dt= rot dA/dt=dB/dt
-dA/dt≡G
场加速定义为电动强度，负号表示习惯规定的方向相反。磁场与电场能密度由原物理分别规定为
w≡HB=μH²
B≡μH
B单位为1/秒，H为克·厘米平方/秒，μ为1/克·厘米平方。
w≡DG=εG²
D≡εG
G单位为厘米/秒平方，D为克·厘米，ε为克·秒平方。
场表示除旋度之外，还有散度diw、梯度grad等表示方式，如磁场散度为
diw B=diw rot A=0
diw G=4πσ
其中σ为电荷密度。
涡旋运动或能密度趋匀，则使质量密度具有浓缩趋势，并随距离中心愈近密度愈大
五、数学与关系
逻辑代数是从哲学领域中逻辑学发展而来的，由布尔提出的代数演算方法来表示逻辑或∨、逻辑与∧、异或∪、逻辑非~等演算的数学系统，成为逻辑线路设计的重要数学工具。
∨∶∧≯=
这个数学系统满足其交换律、结合律、分配律、互补律、0－1律等公理。
交换律：A∨B=B∨A 和A∧B=B∧A
结合律：(A∨B)∨C=A∨(B∨C) 和(A∧B)∧C=A∧(B∧C)
分配律：A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)和A∧(B∨C)=A∧B∨A∧C
0－1律：A∨0=A A∨1=1和A∧1=A A∧0=0
互补律：A∨Ã=A 和A∧Ã=0
用此公理可以进行一系列逻辑演算。
二、四则运算表示
 算术四则运算通常也满足交换律、结合律、分配律等，与逻辑运算不同之处是有进位关系，进位制有二进制、八进制、十六进制和十进制等。日常生活习惯采取十进制。
 
多少计数下出现加的记号+，与反面减的记号-，其统一为等号=，可表示为
+:-≯=
如加、减运算矛盾统一具体式及其等价（≒）式
A+B:B-C≯=D
≒A+B-C=D
同一数累加可转换等于乘的运算（记作≌）
+，…，+≌×
一数累减同一数可转换等于除的运算
-，…，-≌÷
乘运算与反面除运算的统一为
×:÷≯=
如乘（×或·或忽略）、除（÷或/）运算矛盾统一具体式及其等价式
A×B:B÷C≯=D
≒A×B÷C=D
≒A·B/C=D
先乘除，后加减的四则运算
(×，÷) :(+，-) ≯=
如乘除与加减矛盾统一式及其四则运算等价式
A×B÷C:+D:-E×F≯=G
≒AB/C+D-EF=G
还可以更具体地用数字代入计算。表明矛盾统一逻辑推论在一定条件下可跟原来（其它）相应方法等价（≒）。
三、比较量度
比较量度是用约定标准尺度去比较得出要量度物体含有数字与单位的长度，如简单的正方形或长方形等边长(a或a与b)、周长(4a或2a+2b)，即包含长度数字与单位（千米、米、厘米、毫米等）。一事物经历时间也是与标准时钟比较得出数字与单位（时、分、秒等），质量是通过天平标准砝码比较量度得到数字与单位（吨、千克、克、毫克等）。单位是质的反映，数字是量的反映，而矛盾统一逻辑主要是质的推理或解释，因此推理到一定程度才对质规定单位，并可建立单位及其数量间关系，称为数学量质关系原理。可用记号（;）表示或、或者，又如正方形与长方形面积含有
s≦a,×a
; s≦a,×b
≒a·a=a²=s
; a·b=s
单位为米平方，它包含两邻边长有关的属性。又如长立方形包含量度长a、宽b、高c，其总面积为
s≦2ab,+2bc,+2ac
≒s=2ab+2bc+2ac，
体积为
V≦a,b,c
≒V=abc
单位为米立方，它包含长、宽、高的边长属性。
圆的半径r，其周长为2πr，面积为
s≦π，r，r
≒s=πr²
其中π是周长对直径除不尽的小数之比例系数，也可表示圆中心向外辐射半径转过半圆的角度。
辩证逻辑符号表达也许直接用特殊的计算机辩证语言的软件系统来达到是最佳方案，设计这类声图符号辩证语言需要花很大功夫，才有可能实现

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趋势变化的符号表示