振动理论基础知识：质点受迫振动详解
振动产生声，声波本身又是由媒质质点的振动构成，故掌握质点振动的规律乃基础之基础。本文详述在给定初始条件下质点受迫振动的解。质点振动的通解由瞬态解和稳态解两部份构成，定解由初始条件确定。瞬态解因初始扰动之故而产生，但一般随时间指数衰减。稳态解则无关乎初始条件，它描述了外力驱动下质点的稳态响应，体现了系统与外激励源的同步效果。系统的力阻抗刻画了这种稳态的同步响应。本文首先给出了初位移和初速度为零的条件下质点振动的解析定解，并据此分析了瞬态振动的特性，读者可从中体味求解此类问题的一般方法。然后，详细讨论了振动的稳态响应与共振。最后，还介绍了振动的群延迟特性。数学上，质点振动用常微分方程描述。最简单的是单振子的振动，服从如下的非齐次二阶常微分方程：
其中，Mm是单振子的质量，Km是弹簧的弹性常数，Rm是质点运动的力阻，ξ表示质点的复数位移，t 表示时间，ω为驱动频率，Fa为频率为驱动外力的振幅。
上述微分方程是有阻尼的受迫振动方程。若无外力(F=0)，则方程所描述的是质点的衰减振动。外力F补充系统能量的损耗，使得振动得以维系。
一、通解 上述微分方程存在通解：
其中A和B是待定常数，由初始条件决定，δ是阻尼系数：δ=Rm/(2Mm)，ω′0是阻尼存在时的固有频率，它与自由振动频率ω0的关系为：
Qm是力学品质因子，而Zm是系统的力阻抗：
通解的第一项描述了质点的瞬态运动。瞬态运动一般由初始扰动(外力、初始位移和速度等)产生，并随时间而衰减，最后消失。第二项描述稳态运动，是瞬态消失后的质点在外力作用下的持续振动。
二、初始条件与定解 要得到质点振动的确解，必须给定初始位移和初始速度，从而求出待定系数A和B。最简单的情形是初始位移ξ和初始速度 v 均为零：
由此求得待定常数A和B：
代入通解表达式，得到初位移和初速度均为零的复位移定解
稍作整理，得到解的最简表达式
其中，方括号内的第一项是瞬态振动，第二项是与外驱动同步的响应。同步表现为振动频率与驱动频率ω一致。以下考虑两个特例。
1. 无阻尼的理想振子
此时，Rm = 0，δ = 0，且满足：
代入定解表达式，得到
其实部为：
其中求极限时应用了数学的罗必达法则。可见，当驱动频率ω趋近自由振动频率ω0时，位移振幅与时间t 正比发散，于是单振子发生共振。
2. 有阻尼振子
根据定解表达式，当存在阻尼时，若驱动频率ω趋近于固有频率ω0，Zm→Rm，
取其实部，得到实数位移解
可见，位移解并不发散，稳态幅值与力阻成反比。
物理量的无量纲化处理是良好的学术实践，不但可以简化数学处理，而且可以凸显物理量在其中所起作用的大小。定义无量纲驱动频率：z=ω/ω0和时间τ=ω0t，则得到归一化位移解D。
三、稳态解 稳态解与初始条件无关。根据通解表达式，依次得到位移、速度和加速度的稳态解如下：
分别 定义无量纲位移、速度和加速度如下：
则有：
显然，归一化的位移、速度和加速度具有性质：
1. 幅频响应
位移幅频响应如下图所示。注意，图中纵横坐标均采用对数坐标。从图可见，随着Qm值的增大，共振峰越来越尖锐，乃至趋向无穷大。还可以看出，共振峰位置并非在z=1处，而是稍稍偏左。随着 Qm值之增大，该位置趋近z=1的位置。
图1 位移幅频响应曲线。从下至上，曲线分别取 Qm = 0.5，1，2，5，10，...
速度幅频响应如下图所示。与位移响应曲线不同，速度共振严格发生在z=1处。
图2 速度幅频响应曲线。从下至上，曲线分别取 Qm = 0.5，1，2，5，10，...
加速度幅频响应如下图所示。 可见，加速度共振也不是严格发生在z=1，而是偏右;随着 Qm值的增大，峰值位置趋近z=1的位置。
图3 加速度幅频响应曲线。从下至上，曲线分别取 Qm= 0.5，1，2，5，10，...
2. 相位响应
人们在考察单振子的稳态响应时，多关心幅频响应，而常忽略相位响应。其实，相位响应反映了系统对外界反映的快慢，在涉及时间的问题(如延迟)中尤为重要，丝毫不亚于幅度响应。由上述公式可知，速度与驱动之间存在相位差
而根据位移和加速度与速度的稳态关系
位移和加速度的相位分别为
下图五绘出了不同力学品质因子 Qm情形下的速度相位响应谱。从图可见，无论 Qm取值如何，从低频(z<<1)到高频 z="">>1)横跨共振频率，相位变化180度。就位移而言，低频时，响应与驱动同步 (相位差为零)，而高频时与驱动反相(相位差180度)。不同的 Qm值，其相位响应谱的平缓程度有所不同。对于高 Qm值，相位的变化集中在自由振动共 振频率处，发生180度的负跳变;即当驱动频率小于自由振动频率时，位移响应几乎与驱动同步，而一旦频率大于自由振动频率，位移几乎与驱动反相。
图4 速度相位响应谱，其中从最平缓变化到急剧变化的曲线分别对应 Qm=0.5，1，2，5，10，100..
四、单振子的群延迟 当信号通过器件时，会产生时间延迟。相位延迟(Phase Delay)衡量谐波成份的延迟时间，而群延迟(Group Delay)则衡量一个幅度波包(包络)的延迟时间。波包信号在频域上包含窄带的频率组分，而在时域上表现为某频率振荡信号的幅度调制。对于单振子受迫系 统，当驱动振幅呈缓慢调制的包络形状时，振子的响应延迟可以用群延迟来描述。
设单振子的质量为Mm 、自由振动频率为ω0、力学品质因子 Qm。在简谐驱动力F=Faexp(jωt)的驱动下，振子的稳态速度响应为：
其中的相位差：
而根据位移和加速度与速度的稳态关系：
位移和加速度的相位分别为：
相位差反映了系统响应的时间延迟。群延迟时间实际上就是相位响应曲线的斜率，即
或者，
由于位移、加速度的相位与速度的相位只差一个常数，故他们的群延迟与速度的相同。从上列公式可知，当中心频率等于自由振动频率时，群延迟最大，直接正比于系 统的品质因子 Qm和自由振动周期 T0之积;例如，如果Qm=3.14，则群延迟时间是整整的一个周期。下图给出无量纲的群延迟时间与频率的关系。
图5 群延迟曲线：从最细到粗的曲线，Q_m依次取值0.5，1，2，5，10，20，其中T_0是固有振动周期。
下图是驱动力取如下调制波包形式
所得到的位移时域响应，驱动频率等于系统自由振动频率，Qm=20。红色曲线为驱动的时域波形，蓝色为位移波形。为了比较方便，图中驱动力的曲线作了振幅 归一化处理。从图中可见，驱动包络曲线在500处极大，而位移包络的峰值明显延后6个左右振动周期 T0，与理论预测一致。
图6 驱动力(红色)和位移响应(蓝色)的时域信号。位移响应信号通过数值求解单振子振动方程获得。
【附录】实数方法求解
对于微分方程的解也可以用实数表示：
式中，θ是阻抗Zm的相角：θ=arg(Zm)，a和φ是瞬态解的待定振幅和初相位，由初始条件决定。根据初位移和初速度均为零的条件，得到如下一对方程：
两式相除，得到相位φ的解，代入第一式，最后得到瞬态解的幅度与相位：
进而可得到受迫振动的确解：
若无阻尼，Rm=0，δ=0，
则根据瞬态解的幅度与相位表达式，φ=0，而
代入微分方程的解，得到无阻尼的定解：
与复数方法所得完全一致。可以验证，在有阻尼的情形下，实数解也与复数解等价。
虽然，“条条道路通罗马”，但无疑复数运算比实数运算简洁得多，且不易出错。
来源：网易博客 聲之韻
作者：南京大學聲學研究所 王新龍
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