数学与非线性科学 - 声振论坛 - 振动,动力学,声学,信号处理,故障诊断

yejet 发表于 2005-7-28 11:22

数学方面的小资料

排列趣谈 《梦溪笔谈》书中的“棋局都数”一篇叙述了沈括关于围棋计算棋局可变的总数的方法和它的演算结果。3361 《周易》中所载八卦是世界上探讨排列问题的最早记录。 完美正方形 在数学园地里，开放着许许多多的名花，“图论”是其中名贵的一束，而“完全正方形”在这束鲜花中更是芳香迷人的一朵。 数学中，把一个正方形分成有限个互不重叠的正方形，其中任两个不同，叫做正方形的完全正方化；把用互不相待的正方形组成的正方形叫完全正方形。 1926年，苏联数学家鲁金对“完美正方形”的存在提出了猜想。所谓“完全正方形”，是指它可以用一些大小各不相同，并且边长为整数的小正方形铺满。 这个问题引起了当时正在英国剑桥大学读书的塔特、斯通等四名学生的兴趣。到1938年，他们终于找到了一个由63个大小不同的正方形组成的大正方形，人们称它为63阶的完美正方形。次年有人给出了一个39阶的完美正方形。 1964年，塔特的学生，滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形。这个图形保持了12年的最佳纪录，这是不是阶数最小的完美正方形呢？ 1978年，荷兰特温特技术大学的杜依维斯蒂尤，用大型电子计算机算出了一个21阶的完美正方形。这是完美正方形的最终目标了。因为鲁金曾证明，小于21阶的完美正方形是不存在的。 蜜蜂与数学家 达尔文说：“蜂房的精巧构造十分符合需要，如果一个人所致蜂房而不倍加赞扬，那他一定是个糊涂虫。” 人们把蜂房誉为自然界的奇异的建筑。 华罗庚对蜂房作过十分形象的描绘：“如果把蜜峰放大为人体的大小，蜂箱就成为一个二十公顷的密集市镇。当一道微弱的光线从这个市镇的一边射来时，人们可以看到是一排排五十层高的建筑物。在每一排建筑物上，整整齐齐地排列着簿墙围成的成千上万个正六角形的蜂房。” 大约在公元300年左右，古希腊数学家帕波斯在其编写的《数学汇编》一书中对蜂房的结构，作过精彩的描写：蜂房是由许许多多的正六棱柱，一个挨着一个，紧密地排列，蹭没有一点空隙……蜜蜂凭着自己本能的智慧选择了正六边形，因为使用同样多的原材料，正六边形具有最大的面积，从而可贮藏更多的蜂蜜。” 进一步的观察发现，每个正六角形的蜂房的底部，都是由完全相同的菱形组成的。十八世纪初的法国学者马拉尔迪指出蜂房底部菱形的钝角是，锐角是。另一位法国科学家雷奥米尔作出一个猜想，他认为用这样的角度来建造蜂房，在相同的容积下最节省材料。后来他向一位瑞士数学家柯尼希请教，他证实了其猜测。但计算的结果是，与猜想的数值只有两分之差。人们觉得蜜蜂的这一小点误差是完全可以原谅的，对于人类来说，这也是一个非同寻常的数学难题啊。然而，事情并没有完结。颇具戏剧性的是，在1743年，苏格兰数学家马克劳林，用初等几何方法，得到最省材料的来得蜂房底部菱形钝角为，锐角为。与猜想值完全相同。那两分的误差，竟然不是蜜蜂不准，而是数学家柯尼希算错了。于是“蜜蜂正确而数学家错误”的说法便不胫而走。后来才发现也不是柯尼希的错，原来是他所用的对数表印错了。 用初等数学可以证明，蜂房那样的尖顶六棱柱是在相同容积下，最省原材料的结构。这样构成的整体，“刚性”较好。这恰说明了生物与环境的关系的统一性。 蜜蜂是怎样会造出这样的角度来的呢？ 帕波斯认为是出于一种“几何的深谋远虑”，其实这只是动物的一种本能。 对于蜜蜂的数学才华，不由得我们不发出由衷的赞叹。 自然现象之谜与数学 肥皂泡是圆球形，荷叶上的露水聚成颗颗“银球”，这现象向我们展示，自然界隐含着一个最小作用原理。再如：猫总是蜷曲身体，缩成球体。这样它所逸出的热量最少。 纪塔娜问题：数学界等周问题。 皂膜实验，其结果反映到数学中即“周长相等的所有封闭平面曲线中以,圆所围成的面积为最大。” 十七世纪近世几何学家施坦纳构思了一种非常巧妙的方法，但它在证明开始暗中作了一个假设：存在一个面积最大的图形。 在研究的对象还没有确定是否存在的情况下，不能假设它存在。 黎曼一篇论文中犯过类似施坦纳的错误。本世纪，柏林大学研究基础理论著作的魏尔斯特拉斯教授指出了黎曼论文中的破绽。他的这一严格批评，曾轰动了当时整个世界数坛。 太阳、地球、行星都成球形，原子、电子及其去年轨道都近乎圆形。因为“圆是第一个最简单和最完美的图形。”它是最小作用原理的产物。 生物与数学 人体最感舒适的温度约23度（气温），是正常体温37度的黄金分割点。人精神愉快时，人脑电波频率下限（8赫兹）与上限（12.9赫兹）之比，恰为黄金分割数，如这时参加考试，更能发挥出水平。 猫总是蜷曲躯体缩成球体，这样它所逸出的热量最少。人和动物的血液循环系统中，血管不断分成两只同样粗细的分支，其直径缩小比例为。理论计算在这样的分支导管系统中，液流的能量消耗最小。 蜘蛛网的建造结构也是数学家为之赞叹不已的高级几何图形。它是一种名叫对数螺线的几何曲线。 数学是科学的大门和钥匙。伽利略：自然这本书，是用数学语言写成的。 生物的形态和生长，往往隐藏着各种数学规律。不管多原始的理智生命都会有数的。数学是一切有智慧的生物的共同语言。生物对本身的生存总是在选择理想的“技术结构”方案。数学规律，仿佛是它们生命的密码。 伽利略说：自然这本书，是用数学语言写成的。

yejet 发表于 2005-7-28 11:22

完全数 我们来看一下4这个数，它的真因子有1、2，其和是3。由于4本身比其真因子之和要大，这样的数叫做盈数。再来看一下12这个数，这的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。由于12本身比其真因子之和要小，这样的数就叫做亏数。那么有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？既有没有恰恰等于它自己的所有真因子之和的数呢？有。这样的数就叫做完全数。 最小的完全数是6，下一个是28。公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了。 有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。 圣·奥古斯丁说： 6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了，即使没有注天创造世界这种事，6仍旧不失其为完数。 完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。 接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下： 也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以.盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。 第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。 笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完全人亦非易事。” 时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。 二进制 二进制被认为是最古老的记数法。但是后来这种记数法慢慢地成为一种历史遗迹。甚至到今天，我们还可以找到二进制的痕迹；如我们的一双、一对来数数。在澳洲和非洲的最原始的民族中，就存在着这种记数法。 这种记数法的历史常与莱布尼兹联系在一起。虽然在他前已经有人重新提出过这种记数法，他不是最早的发明者，但是由于它被他重新认识，并受到他的极大偏爱。尤其在他的大力提倡和阐述下，确实引起了人们的关注。他大概未见到过前人的论述，所以一直以为是自己的独创。当他得知中国古老的八卦排列和2进位制一致时，更是欣喜若狂，认为已揭开了数千年前中国的一个不可解之谜。他将他的结果与中国古代圣哲的思想联系起来。 他又认为一切数都可以则0和1创造出来，这正可以作为基督教《圣经》所说上帝从“无”创造“有”的象征。 他曾赞叹说：“用一、从无，可生万物。”（从虚无创造万有，用一就够了。）从二进位制中，他发现了上帝创造世界的证据。对此拉普拉斯普在他的名著《概率的哲学探讨》中评论说：“莱布尼兹在他的二进制算术中，看出了创造万物的影象……他想象：一代表上帝，零代表混沌；上帝由混沌中创造出世界万物，正如在他的记数法中用一和零表示一切的数一样。这个观念太使莱布尼兹喜欢了，所以他将它提交任中国数学院院长的耶稣神父闵明我，希望因这种创世界的象征，而使非常喜欢科学的中国皇帝也转信耶稣教。我提到这点，目的只在指出，即使是大人物的眼睛，也会被幼稚的偏见所蒙蔽！” 这种最原始的记数法，是基数最小的一种记数法，它只需要两个数码就可以表示任何数。它有一个好处是符号的经济和演算的简单。在这种进位制中，计算法则只有两条：1＋1＝10；1×1＝1。在十进位制中加法和乘法计算都比这复杂得多。当然有得必有失。其缺点在于：写起来很冗长。如87要写成1010111，所以在实用上是不方便的。二进位制所以受到人们的重视，这是由于电子计算机采用了这种记数法。这是由于其不方便处对于电子计算机来说并不构成任何障碍。而其优越处是其它记数法所不可比拟的。其只用两个数码的长处对于电子计算机来说是至关重要的。这是由于在电子计算机中如使用r种进制，就要求元件具有r种稳定的物理状态来表示这些个数码。如果r>2，这是困难的。而二进位制只要求元件有两种不同的稳定状态，这不但容易办到，而且可靠性高。如开关的“通”、“断”，穿孔带的“有孔”“无孔”，晶体管的“通导”、“截止”等都可以实现。其次前面已提到，其运算简单。再就是它比其他数制更节省元件。还有，它便于使用数理逻辑来进行分析和总体设计。正因此，二进制这种最古老的进位制在今天显得特别重要。 最小的表面积 为什么从钢笔尖滴下的水滴，下部总是球形？为什么荷叶上透明的水珠也是球状？原来，凡是液体的表面都有自行收缩的性质，从而使它的表面积最小。而在体积不变的条件下，以,圆球体的表面积最小。 不妨以正方体与球作一计算，来验证一下。 资料来源（《数学之最》69页） 算术基本定理 算术基本定理在素数研究中起着重要作用。 算术基本定理的现代表达形式是高斯最先提出的。同时高斯给出了完整的证明。 素数表 J.Pell（1611－1685，英国）制作了1－100000之间的素数表。我国康熙皇帝主编的《数理精蕴》（1720年左右）下编附录此表。 加权平均数 加权平均数中的“权”不是指权利、权力。而是指砝码或秤砣。 韦恩图 在学习集合一章中，常介绍到表示集合的一种图形法。这种图形法被称为韦恩图或文氏图。韦恩是英国的逻辑学家。生于1834年，1923年去世。 韦恩图在解决一些实际问题中，由于其直观，往往具有特殊的功效。 迷宫 迷宫属于“图论”范围，且与计算机科学的关系也很密切。1980年，我国出国访问学者洪加威宣读了一篇论文“三个中国人的算法”。讲祖父、父亲、儿子怎样机智通过迷宫的方法。它从美国洛杉矶计算机协会会场传出来，成了计算机理论界的一个热门。 夸克与魔方 夸克的幽禁 使人们深感惊奇的是，在魔方世界中，竟然都可以找到这些粒子的等价物。也就是说，凡是自然界中存在的重子或介子，都有一种魔方的排列状态与之对应，而凡是自然界里不存在的基本粒子或自由夸克，人们就不能希望通过转动来获得这样的魔方排列状态。这不是十分奇妙而又发人深思的联系吗？ 魔方的理论与实践已引起理论物理学家们的关注与强烈兴趣。魔方不再仅是一种单纯的智力玩具，而是在探索基本粒子结构方面可能很有价值的一个科学模型了。目前这种深刻联系的本质还没有被阐明，有人猜想奇妙的种子归根结底恐怕还是深藏在群论的深厚土壤之中。 现代笔墨官司 揭露者认为真正的作者是哥萨克民族主义者费奥多尔·克鲁乌科夫。此人死于1920年。1924年，肖洛霍夫与其一位挚友女儿结婚。在嫁妆里有一只灰绿色军用手提箱，里面藏着已去世作家未出版的作品的手稿。肖洛霍夫如获至宝，仅仅重新改写了前两卷的5％，后两卷的30％，就改头换面，以自己的名义发表了。 苏联文学教授盖尔·克其萨用电子计算机对文学作品进行分析研究，其别具一格的论文发表在世界知名的权威性杂志《计算机与人文科学》上，曾轰动一时。他用电子计算机对文章的风格及其它特点进行了统计分析。他们抽取样品，编制程序，测定句子的长度，计算词类的分布与组合情况，力求得出一个客观的结论。 他主要研究了三个重要参数。第一个参数是，是一部作品中不同词汇总数与总词汇数的百分比。 第二个参数是词汇分布频谱。 最后一个参数是作品中只出现过一次的词汇所占百分比。 研究结果表明，所有参数都存在一个一致的趋势，即克鲁乌科夫的作品与《静静的顿河》之间，存在着显著的统计差异。 模糊数学 模糊数学，在精确的经典数学与充满了模糊性的现实世界之间，架起了一座桥。 以精确应模糊，这正是现代数学深刻的一种生动体现。模糊数学对于医学来说，是一个非常合适的数学模型。 数学奥林匹克 加里宁说：数学是锻炼思想的体操。著名美国数学家G.D.伯克霍夫说：再没有一个学科比数学易于通过考试来测定智力了。 我国数学竞赛从1956年开始。 IMO，成立于1959年，是世界上影响最大，水平最高的中学生的数学竞赛。我国从1985年参赛。

yejet 发表于 2005-7-28 11:22

模糊数学 文学讲究贴切，数学讲求精确。 人的大脑善于判别处理不精确的非定量模糊事物，并从中得出具有一定精度的结论，在此方面计算机望人莫及。 1965年，美国加利福尼亚大学教授，自动控制专家柴德发表《模糊集合》一文，从此，诞生了模糊数学。正如经典集合奠定了传统数学的基础一样，模糊集合奠定了模糊数学的基础。 例：男人、女人是两个经典集合，而老年人、青年人是两个模糊集合。每个模糊集合可用取值于的函数来表示。 用模糊数学的方法定量给“几个”这个模糊概念下定义： [几个]＝0.5/3+0.8/4+1/5+1/6+0.8/7+0.5/8 ／不表示相除，分母表示集合中的元素，分子表示元素属于等式左边这个集合的隶属程度；＋在此表示各元素并列组成某个集合。例如上式中五个、六个隶属程度为1，说明用“几个”来表示五个、六个的可能性最大；用“几个”表示四个、七个的可能性是80％。 模糊数学中，“非常”、“很”、“不”一类副词可看作算子，用于表示对隶属程度进行某种运算。 例如：很表示隶属程度作平方运算；不表示1减去隶属程度；如60岁表示年老集合的隶属程度为0.8 ，则 模糊集合论在精确数学与充满模糊性的世界间架起了一座桥梁，通过这一媒介，模糊系统也建立起了一种合理的数学模型。于是，电子计算机就可以接受了。 模糊数学叩开了社会科学这个禁区的大门。 模糊数学对于必将出现的更接近于人脑的新一代计算机和智能机器人来说，是必不可少的工具。 类比法 人们从鸽眼具有发现定向运动的性质，想到鸽眼的电子模型有利于图象辨认方向的研究，从而装备一种警戒雷达；狗箅启示人们研制成了比它灵敏百倍的电子警犬；尺蠖之行，一屈一伸，人们模仿这种虫子的屈伸运动方式，提出了一种轻型坦克行走部分的新颖设计；人们认识到鸟翼前缘厚、后缘薄构成曲面才能产生升力，才于1903年发明了飞机。 爱因斯坦说：想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。 平均 在算术平均值与调和平均值之间有一种古老的联系，毕达哥拉斯学派研究了音调和数的比值之间的关系。他们发现：一根长为12的弦如果缩短到3／4的长度，那么会弹出原调和第四音；如果取原来的2／3长度，那么它会弹出原调的第五音；如果取原来的1／2长度，那么弹出的音比原调高八度，即高一个音阶，这里弦的长度用为表示为12，9，8和6。令人惊奇的是，这些数也跟它们的算术平均值及调和平均值相联系，即9是6与12的算术平均值，而8是6与12的调和平均数。此外，毕达哥拉斯学派还把正方体称为调和体，这是因为6、8和12分别是正方体的面数、顶点数和棱数。 几何平均值可由下式确定：。并且可以在各种几何问题中找到，诸如直角三角形斜边上的高以及黄金区黄金平均值等等。 调和平均值H可由下式确定：。另一种思路是，调和平均值是倒数的算术平均值的倒数。 海伦公式 秦九韶《数书九章》中有一题是已知不等边三角形田地三边的长，求田地面积。秦九韶的相当于下面的一般公式： 面积2＝1／4[小2·大2－（大2＋小2－中2／2）2]。 他的公式来历不明，证明也失传了。作大斜上的高分大斜成两部分，作为勾股形的股和弦。 由此可得到秦的公式。秦公式的形式十分奇怪，当是依某种思路自然引导到这一形式的。上面的证法颇为自然，也符合我国古代几何的传统特色。 在西方有所谓海伦公式。公式形式十分漂亮。正因为这样，如果已知海伦公式而再来推出秦的公式，将是不可思议的。相反，从秦的公式化简成海伦的公式，乃是比较自然的发展。 据此我们至少可以断言，秦的公式是独立于海伦公式而得来的。关于海伦的生平，从公元前二世纪到公元后十世纪以后，数学史家聚讼纷纭。 另可参看：《数学之最》77页与吴文俊文集81页。 怎样找出书本背后I***N的最后一数字 书籍具有推广和传递知识及文化的重要功用。出版书目正在与日俱增。为了方便处理日益繁多的书目，出版商一般都会采用国际统一书号I***N（International Standard Book Number）来辨别。配合电脑的使用，它差不多已成为每一本书的代号。 I***N是由十个数字组成的，前九个分成三组，分别用来显示出区域语言、出版社和书名的资料；而最后一个数字则作检核之用。举例说：I***N 0－451－52320－2和第一个“0”代表这是一本英文书籍，而“451”和“52320”分别为某出版社和那本书名的代号，最后的“2”则为检核号码。若想知道这个用I***N表示的书目有否出错，只须依以下的程序找出最后的数字是否相符，便可得知。 若结果是两位数，则用X表示。 其实，最后的数字作为检核之用，具有特别重要的意义。因为对一个数字的疏忽，若没有最后的检核数字作复核，结果将会“书目全非”。中国内地出版的书第一位都是7。在香港出版的书，第一组的代号是962。

yejet 发表于 2005-7-28 11:23

漫话对数 拉普拉斯曾说：通过简化计算，使天文学家的生命延长了一倍 对数，是一个具有重大实际意义和理论意义的概念。他具有简化诸如乘、除和开方这些繁冗计算的非凡性质。 阿基米德在《论数码》中，已孕育着对数表的思想。 1544年，德国人米海尔·斯基弗在《普通算术》中，闪现了对数思想的火花。他比较了下列两个数列： ……1／4 1／2 1 2 4 8 16 32…… ……－2 －1 0 1 2 3 4 5……… 他发现，可用加法代替乘法。 又经过近六十年，对数表才产生。 瑞士人别尔基（著名天文学家开普勒的助手）从1603~1611年，用近八年的时间，造出了第一张以2.7181为底的四位对数表。1620年该表正式颂于世。 没有什么会经数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍。――纳皮尔 纳皮尔说：我总是昼使自己的精力和才能用来减轻别人繁重而单调的计算，这种令人大庆的计算，往往吓倒了许多学习数学的人。 自44岁起，用英格兰数学家、天文学爱好者纳皮尔用了20年，于1614年发表了《关于奇妙的对数表之描述》，创造了以1/e为底的八位自然对数表。人们称它为“珍奇的对数表”。“对数”这个术语是“比的数”，由纳皮尔首创。仅过三年，纳皮尔就去世了。 对数表这一惊人的发明很快传遍了欧洲大陆，整个欧洲为这个发现所沸腾。对数的发明，对数表的制造，适应了当时天文和商业计算的需要，它同此后诞生的解析几何、微积分一起被列为十七世纪数学的三大成就。 纳皮尔以他发明的对数引发了一场计算上的革命，用对数和表来计算的方法，使得诸如乘、除、乘方、开方这些困难的计算，变得简单起来。 对数表的发展及其快捷的计算法，曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家、天文学家和科学家们所广泛应用。 后来对数与指数成为数学的精髓部分。然而一旦现代电子计算机介入生活，对数表和它的使用就像过时的法律一样被废弃了。 应用对数，纳皮尔还发明了一种算筹，称为纳皮尔骨算筹，它可以帮助商人们算账。 纳皮尔与布里格斯共同引入完善和开发了对数，这是一个具有重大实际意义的概念。 其它见《外国数学简史》第293 297。 《数学简史》128。 哈登伯格：对数之于数学，恰如数学之于其他科学。他的话表明了对数在数学中占有重要的、不可小视的地位。 数学史家卡乔里所说的：“现代计算方法之所以有奇迹般的力量，是由于三个发明，即阿拉伯记数法、小数和对数。” 拉普拉斯说：对数算法不仅可以避免冗长的计算与或然的错误，而且它大大延长了天文学家的生命。 地震与对数 用数学方式来描述自然现象似乎是人类的需要。以测量地震强度大小的方法，把地震与对数联系在一起。美国地震学家C·F·里兹特，在1935年设计了一种里氏震级，那是由地震的震中释放出的能量来描述。里氏震级是释放能量的对数。里氏度数上升1级，地震仪曲线的振幅增大10倍，而地震能量的释放大约增加30倍。例如，一次5级地震是一次4级地震释放能量的30倍。而一次里氏8级地震所释放的能量，差不多是一次里氏5级地震的303即27000倍。里氏震度从0到9分为十级，但从理论上讲，它并没有上限，大于4.5级的地震便会造成损害。强烈地震的震级大于7。 勾股定理 早在公元前1800－前1650年，古巴比伦人就已知道了毕达哥拉斯定理。这要比毕达哥拉斯早1000多年。 　 想象中的首次宇宙“语言”。要是我们与外星人进行第一次交流，我们需要使用什么方式呢？ 华罗庚在《数学的用场和发展》一文中指出： 如果我们宇宙航船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样高级的生物存在。我们和什么东西作为我们之间的媒介。带幅画去吧，那边风景殊，不了解。带一段录音去吧，也不能沟通。我看最好带两具图形去。一个‘数’，一个‘数形关系’（勾股定理）。 为了使那里较高级的生物知道我们会几何证明，还可送去下面的图形，即‘青朱出入图’。这些都我国古代数学史上的成就。 也有人主张用“光线信号”表示出的勾股数来与其它星球上的人进行第一次谈话。比方说，当我们遇到其它星球上的人的时候，就可以用探照灯（或者其它发光器具）打膏三次，如果对方能用他们的发光器具打亮四次的话，那我们就可以打识五次来回答。接着，我们再打亮五次，如果对方能打亮十二次的话，那我们就可以打亮十三次来回答，等等。这样，再继续谈话就有基础.了。 人们为什么这样热衷于用勾股定理或勾股数，来作为与其它星球上的人进行第一次谈话的语言呢？ 勾股定理和勾股数，它们所表现的数学内容，不论古今中外，都几乎是不谋而合的。这充分说明了地球上的人们已经共同地、自发地认识了这条定理的共同本质。这是其它任何数学定理所没有的。这就是人们选择勾股定理或者勾股数来作为与其它星球上的人进行第一次谈话所用的语言的理由。 数论：数学的皇后 我们对数学的认识是从数，或者更清楚地说是自然数开始的。1、2、3、4………这样的数，早就是我们的老朋友了，甚至从幼儿园或者更早的时候我们就已经与它们打过交道了。然而，关于这些数所具有的性质，它所包含的深奥的东西，让最出色的数学家为之流连忘返。研究它们的一个数学分支，叫做“数论”，被称为“数学的皇后”。 数论，犹如任何数学分支一样，丰富而辉煌，堪称数学家的金矿。对它的任何肤浅认识必定很快被摈弃，因为这一数学领域产生了许多富于刺激性的难题，向一代一代的数学家提出了挑战。 这一迷人的数学分支中一些十分重要而又常常引起争议的问题。数论的一个真正诱惑是它的猜想简单得甚至连小学生都能看懂。然而，却使一代又一代世界一流数学家为它付出了艰苦的努力，，这似乎就是这一数学分支看似反常的特点。 在整个数学中，数论是一个最美的分支。长期以来，受到专家与门外汉的格外青睐与偏爱，数不尽的人为它倾注了精力。在整个数学中，数论的风格极为独特，它的内容包罗万象、深浅不一。 十九世纪数学家L·克罗内克说：自然数是上帝创造的，其余的一切是人的工作。对人类最基本的数学对象---――自然数――的永无止境的迷恋。 数论中的二次互反律被高斯称为算术中的一颗明珠。 在我们面前，比较高深的算术呈现为一个内在各种有趣真理的贮藏库。而且这些真理之间并非孤立的而是有密切联系的，随着我们知识的增长，我们在它们之间会不断发现一些新的有时是完全意料不到的联系纽带。它的大部分理论之所以特别诱人，是由于具有下列特点，有些使人觉得简单明了的重要命题，往往不难靠归纳方法发现，可是它们却有如此深奥的性质，以致经过许多徒劳的尝试以后仍然无法加以证明；甚至在我们能够证明的时候，也往往需要一些冗长的不自然的步骤，比较简单的方法则可能长期找不到。 1847年高斯为艾森斯坦的数学论文集写的序言： 高等算术给我们提供了无穷无尽的有趣事实――也是真理，它们不是孤立的，而是有着密切的内在联系，随着我们知识的积累，我们不断地在二者之间发现新的，有时产完全出乎意料的联系。它们的那些定理的很大一部分从这样一个特性中得到了附加的魅力：有着简单特征的重要命题经常很容易由归纳法发现，然而这个特点却是如此深奥，我们只是在经过了许多徒劳的努力以后才能找出它们的证明；甚至当我们确实成功了，也通常是通过一些令人生厌的矫揉造作的过程证明的，而更简单的方法可能会长时间地未被揭晓。 皇后屈尊《上帝掷骰子吗》293－294： 锁相需要新的数学工具。那些工具所以新，是因为以前它们未被用于这一目的。事实上，它们以前从未被用于任何非常实际的目的，尽管它们居于数学中最美妙的思想之列。我指的是数论。 高斯也认为皇后不愿弄脏她们那洁白的双手。数论的公开主题――普通整数的模式的疑难――并不马上招致对科学的应用。“这门学科本身是一个特别引人、特别雅致的学科，但它的结论没什么实际意义。1896年鲍尔（WWRouse Ball）如是说。按照把数学分为“纯粹”数学与“应用”数学的通常分法，数论或许是你所能获得的最纯粹的了：它与传统的应用科目例如动力学相比，有如南辕北辙。 数论以可观的细节解释锁相那优美而复杂的模式。例如，锁相区出现的顺序可用称为法雷序列的妙招得到。法雷序列由介于0和1之间的所有有理数从小到大排列而成。其中q不超过给定的大小。 这并不是混沌动力学中唯一出现数论的地方。不久以前尚被认为最无用的数学分支――就实际应用而言――突然在动力学系统理论中获得新的重要性。经典数论被巧妙地应用于环面的混沌映射。一位活跃于混沌动力学领域的数学物理学家斯维丹诺维奇说：我主要参考哈代和赖特的著作。这是经典数论的圣经。 王元论《哥德巴赫猜想》第213页： 数论有什么用处呢？有一点是确凿无疑的。费马、欧拉、拉格朗日、勒让达、高斯等都是出自数论内在的趣味及其特有的美而研究人类知识的这一领域的，他们确实毫不在乎他们那些优美的定理是否会有什么“有用的”应用。 高斯把数论置于科学之巅，他把数论描绘成“一座仓库，贮藏着用之不尽的，能引起人们兴趣的真理”。希尔伯特则把数论看成“一幢出奇地美丽而又和谐的大厦”“它有简单的基本定律，它有直接了当的概念，它有纯正的真理”。闵可夫斯基比喻数论“以柔美的旋律来演奏强有力数论音乐”。总之，数论是“纯正洁白”的。 位值制 由于有了位置制，于是可以用有限的数字表示出无限的自然数。这是记数历史上的一个创造。许多古代民族没有能够发现这一点，而使得自己关于数的计算长期处于极端落后状态。在后来的筹算中，我国才基本上具备了十进位置制的思想，而筹算的引入时间可以确信的是在春秋时期已经有了明确记载。许多民族，虽然很早就创造了数字，懂得进位，却没有产生出位值制思想。与其他民族相比，这是很大的进步。位值制是千百年来人类智慧的结晶。 数论基本上就是一门研究自然数性质的数学学科，对于从毕达哥拉斯学派至今的所有数学家，正如高斯所说的，数论一直是数学的女王。 在数论中，以极为明显的形式体现了数学内部深刻的一致性.在现今的数论进展中，代数、实与复分析、几何，甚至概率论的方法，都作出了至关重要的贡献。这些不同数学方法的深刻的相互影响，使我们清楚地看到了一个惊人的事实，从而也让我们几乎不可避免地会产生一种玄秘的感觉。有些定理的陈述，仅仅牵涉到一些关于自然数的最简单的概念－诸如是质数、可以展开成这样或那样的幂次之和等等－然而要证明这些定理，却非得用到分析、代数几何之类的复杂工具不可，尽管光看定理的假设条件或结论是怎么也想不到会要这样在动干戈的。的确很难解释，人类的认知机制为什么非要这么七弯八兜上一个大圈子，才能在一个假设条件和另一个看上去跟它那么相近的结论之间建立起联系来。定理的陈述如此简单，所用的方法却如此深奥，其中的思想所包含的深刻的和谐一致性，使数论深深地吸引了世世代代的数学家。 数论又是一个包含着大量尚未解决的问题的数学领域，这些问题，即使是路上碰到的随便哪个并没有受过这方面训练的普通行人，也能听明白题目是怎么回事。

yejet 发表于 2005-7-28 11:23

星期的由来 星期起源于巴比伦历法，按这个历法，七天中有一天是休息日，理由是这天是一个不吉利的日子。公元前6世纪，犹太人把它建立在宗教基础上，使它成为一个愉快的日子。在为期六天的创世工作之后――第七天，上帝结束了他所做的工作，于是他在第七天便休息了。 犹太人的安息日源出于希伯来语休息一词。规定为星期的第七日即最后一日，这个日子即我们历法上所标的星期天。因此星期日是新的一星期的第一日。基督教社会中，休息日是星期日。 等角螺线 等角螺线是一种迷人的曲线，它出现在以下的自然界的生长形式中：鹦鹉螺的壳、向日葵的种子盘、球蜘蛛的网等等。公元1638年，笛卡尔首先研究了等角螺线。17世纪后半叶，贝努力发现了许多有关它的性质，事实上他对等角螺线情有独钟，临终前特地嘱咐，要求将一正一反的两条等角螺线刻在他的墓碑上，并附以简洁而又含义双关的颂词：我虽然变的，但却和原来一样！ 等角螺线有许多奇妙的性质： 螺线的切线与半径所成的角全等，因此采用术语“等角”。 等角螺线按几何比率增长，因此任意的半径被螺线所截的线段构成等比级数。 当等角螺线旋转时，它的大小变了，但它的形状却保持不变。 自然数P次方和的最早的推导 即计算1p＋2p＋3p＋………＋np的公式。 当P＝1时，就是等差数列求和问题。它的和应该是n(n+1)/2. 当P＝2时，这个和等于。在高中数学中我们可以学到这一结论。在历史上，这个结果是古希腊数学家阿基米德最早给出的。 当P＝3时，这个和是。它是由古希腊数学家毕达哥拉斯得到的。 当P＝4时，和等于n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30.这个公式是由阿罗弥在十五世纪给出。 十七世纪，欧洲很多数学家，热衷于寻求一般公式。最早解决这个问题的是荷兰数学家雅各·贝努里。在他所著的《猜度术》一书里给出以下公式： 这里，B1＝1／6；B3＝1／30；B5＝1／42；B7＝1／30………人们把这个级数称为贝努里级数。 雅各·贝努里原来研究神学，是德国数学家莱布尼兹最早的学生之一。他在数学中贡献很多，如极坐标的应用，悬链线、双纽线、对数螺线和半立方抛物线等曲线的研究，我们在中学数学解析几何部分中将会学到。另外，他对微积分的研究也获得很多的成果。他死后，按照他生前的愿望，在墓碑上刻了对数螺线。 资料来源：数学之最第50页 　 几何资料 几何这一名词是从希腊传出来的。是由土地和测量两词合并而成的。其本来意义是测地术。 世界上第一个几何学家泰勒斯于公元前六百多年来到埃及，在向埃及人学习了丰富的几何知识后，把古埃及的经验几何上升到理论的高度，并开创对几何命题的证明这一研究领域。后来，经过毕达哥拉斯、欧几里德等大数学家的开拓与发展，使几何学作为数学的一个重要分支，得以确立和发展。 泰勒斯完成的主要几何定理有：等腰三角形的底角相待，所有直角都相等，对顶角相等，直径把圆分成全等的两部分等定理。 几何原本的印刷本用各种文字出了一千版以上。 算： 算字古代写作，即一个竹字头下放一弄字。竹者，即当时所用的算筹，一种竹制的工具，是几寸长的竹签。 也写作：。示中的“二”，是古文的上字。“小”是日、月、星。古人以为天上有神灵。神的表示是从上面下来的。 射影几何 图画的描绘是射影几何的最早起源。 文艺复兴时期透视学的蓬勃发展为其成长准备了良好条件。 笛沙格引入了无穷远点与无穷远线。 帕斯卡于18岁提出“帕斯卡六边形定理”。 蒙日：微分几何、画法几何。 彭色列：讨论交比、射影对应、连续原理。 斯太纳：建立了射影几何的严密系统。 沙尔：对偶理论。 “尺趣”三谈 “丈夫”的原意：身高一丈的男子。 据考证：夏禹时，一尺约为16~16cm，三国时，一尺约为24厘米。因此，诸葛亮身高八尺约为1.92米。 尺有长短，古今不同，中外有别。 秦时，一尺为23厘米。 一件汉代铜尺长23.1cm。故项羽身高八尺，只有一米九。 李世民以左右脚各行一步，作为尺的标准，叫“步”，并规定一步为5尺。三百步为1里。唐1尺约为32.88厘米。 清：一尺约为32厘米。 古代，还常以中指中节之长为一寸。迄今，针灸中还袭用这种尺度。 腕尺，公认为最古老的一种尺。5000年前，古埃及法老用肘拐至中指尖距离为长度单位。胡夫金字塔，塔高三百腕尺，约合今天147米。 古希腊人以美男子库里修斯向两侧平伸又臂时两手中指尖间的距离定为1哷？，约为今天的1.829米。 八世纪末，罗马帝国查理一世骄横地伸出他的一只脚，当众宣布：这就是新罗马尺。 九世纪，英国亨利一世，宣称以他手臂向前平伸时，他的指尖到鼻尖度为1码，合81.44cm。 十世纪，英王又规定以他拇指关节长度为1英寸的标准。 1英寸＝2.54cm，1英尺＝12英寸。 天下统一的米尺： 1789年，人们对巴黎的子午线进行了精确的测量。 1790年，法政府规定，1米＝通过巴黎的子午线的长度的1／40，000，000。 80年后，发现子午线实长40，003，244米。 1875年，各国在巴黎签署米制公约。1889年，国际标准协会制造了一根铂铱合金的国际标准米尺。当0度时，尺长是最标准的1米。 1960年，国际上正式采用光波的波长作为长度标准。规定1米为1650763.73个氪波长。 电子时代话算盘 算盘是我们祖先留下来的宝贵的文化遗产之一。 李俨说：算盘的出现，是我国数学史上的一件大事，计算尺、电子计算机都没有能代替它。 1962年，第一台电子计算机进入日本时，日本社会上许多人觉得算盘该进博物馆了，当时还出版了一本《算盘，再见吧！》的书。但事实却非如此。 计算加减法，尤其是几十遍多位数的连续加减，计算机速度远远落后于算盘。 幻方：数学世界的“百慕大三角” 我国许多古数学书籍一提到数学起源时总要说：“自龟马呈祥，图书阐秘始，数学于是焉肇世”之类的话。 传说，大禹治水时，陕西洛水中浮出一只大乌龟，龟背上有一幅图。北宋时代人称其为“洛书”。 传说，古时黄河里曾跳出一匹龙马，背着一幅图，叫“河图”。 汉数学家徐岳称三级幻方为“九宫算”。又被称为“九宫图”。“宫”指方格。 杨辉称幻方为“纵横图”。在《续左摘奇算法》中记载了许多方形和花形纵横图。 古印度也出现过四阶幻方。古人将这些图形当作吉祥物，相信将它画在门上可避邪，佩在腰间可护身。 15世纪初，幻方首次介绍到欧洲。 德国名画家丢勒曾发表了一幅题为《苦闷》的铜版面，画面中包含了一个有趣的四阶幻方。其最下面一行中间两数为15、14，而1514为绘画的年代。 数学家的理论计算和统计，4阶幻方有880种不同形式的排列。 　 幻方是一个易于引起人们兴趣的“自然之谜”。现在人们已陆续得到了各种各样的幻方，如“同心”、“分块”、“马步”、“质数”等类型的幻方。其形式稀奇古怪，性质光怪陆离。其中最奥秘的是“双料幻方”。这是一个八阶幻方。其和为840，其积为常数：2058068231856000。 六角幻方的研究： 阿当斯，从1910年对其进行研究。一层的显然不存在，他整天 幻方不仅是一种供娱乐的数学游戏，而且有实用之处。数学家通过研究，发展了它，使其成为一个内容丰富的新的数学分支：组合数学。

多情清秋 发表于 2005-7-30 09:09

[分享]清华大学弹性力学精品课程

数学问题确实都很有意思，我都快爱上它了，哈哈

页: [1]

声振论坛's Archiver

数学方面的小资料

[分享]清华大学弹性力学精品课程