神秘的极限环，百年不得其解的难题
话说微分方程dx/dt=p(x,y)，dy/dt=q(x,y) 构成的平面自治系统，它的解是由无穷多条互不相交的解曲线(x,y)=(x(t),y(t))构成。如果平面上的一点X是该微分方程的一个奇点，那么过X点附近任一点的解曲线，在t 趋向正无穷或者负无穷时都无限趋近X，或者环绕X周期性地旋转。解曲线趋向X的方式有图1所示的前三种可能，它们对应的X分别称为微分系统的焦点、结点、鞍点，而解曲线环绕X旋转时的X则称为微分系统的中心。(a) 焦点 (b) 结点 (c) 鞍点 (d) 中心 图1 微分系统的4类奇点及其附近解曲线的示意图
如果平面上的一个闭环T是上述微分方程的一个孤立周期解，那么过T附近任意一点的解曲线，在t 趋向正无穷或者负无穷时都会无限逼近T。这时T就是微分系统的极限环：如果解曲线都在t趋向正无穷时逼近T，则称该极限环稳定;否则称其不稳定，如图2所示。
(a) 稳定极限环 (b) 不稳定极限环 图2 稳定和不稳定极限环示意图
微分系统的解曲线构成的向量场中会出现极限环，这一现象是由法国大数学家H.Poincare首先观察发现的。极限环的出现让微分系统解向量场的性态和结构特征陡添神秘色彩。
什么时候会出现极限环?会出现多少个?它们会处于怎样的相对位置?
德国大数学家D.Hilbert将这些问题作为第16问题的后半部分，列入了他在1900年国际数学家大会上提出的、影响整个二十世纪数学发展的23个问题。Hilbert所提的问题是：当p(x,y)和q(x,y)为n次实系数多项式时，上述平面微分系统极限环的最大个数是多少?它们的相对位置关系如何?
经过诸多数学家一百多年的不懈努力，Hilbert 23个问题中的大部分问题都已获得解决，唯有第16问题，其研究进展缓慢，人们至今仍看不到这一问题被完全解决的希望。尽管如此，勇于攻坚克难的有志之士仍然不妨一试。
(a) Henri Poincare (1854-1912) (b) David Hilbert (1862-1943) 图3 极限环研究的先驱
Hilbert的极限环问题为何百年不得其解?神秘的极限环背后到底暗藏着何等玄机?
在说明这些问题之前，我们来看两个具体例子。首先容易验证原点是三次平面系统dx/dt=-y-x(x2+y2)，dy/dt=x-y(x2+y2)的唯一孤立奇点，它是稳定焦点，见图4(a)。考虑该系统的扰动系统dx/dt=kx-y-x(x2+y2)，dy/dt=x+ky-y(x2+y2)：当扰动参数k大于0时，扰动微分系统都会有一个稳定的极限环，见图4(b)。
(a) 稳定焦点 (b) 稳定极限环 图4：稳定焦点和不稳定焦点附近的极限环
通过适当扰动焦点型微分系统，通常可以得到具有极限环的扰动系统。这种通过扰动分岔出极限环的经典方法是由Poincaré、Lyapunov、Andronov等数学大家在十九、二十世纪发展起来的。该方法及其奠基理论——微分方程的定性理论，可以用来有效地分析微分方程解的稳定性、周期性、分岔等各种结构性质。结构性质的研究会相对容易，如果我们知道解的解析表达式，可是在绝大多数情形微分方程的解都无法用解析表达式给出。所以微分方程的定性理论在解的形式未知时，为分析解的性态提供了一条有效的途径。
微分方程的定性分析方法涉及到大量繁琐复杂的推理和演算，往往超出了以纸笔为工具的传统数学家推演能力的极限，很多经典的定性分析结果都未能幸免这样或那样的推演错误。特别值得一提的是，1955年俄国数学家I.G.Petrovskii和E.M.Landis声称证明了平面二次系统最多只有3个极限环。这个结果曾轰动一时，但其中的若干引理很快受到其他学者的质疑。1978年，我国数学家史松龄与陈兰荪、王明淑分别举出了具有4个极限环的实例，从而推翻了俄国数学家的结论。中国数学家令人称奇的这一发现将极限环问题的研究推向高潮，同时也展示了中国学者在这一领域的研究水平。1990年前后，王东明首先将特征列、Gröbner基等符号计算方法用于微分系统的定性分析，很大程度上化解了定性分析中的繁琐推演问题，并取得了若干研究成果，包括给出了一类具有6个极限环的平面三次系统。王东明的工作引发了大量基于符号计算软件和方法分析微分系统性态结构的后续研究，一大批著名学者包括N.G.Lloyd、H.Zoladek、李继彬、李承志、韩茂安等，相继对极限环问题展开了深入研究，获得了一系列标志性的成果，从而使该领域的研究热度二十多年持续不减。与此同时，符号计算方法还被用于生物学、控制理论、系统科学等领域中的微分系统和离散动力系统的定性分析。
微分方程是描述非线性现象和规律的最基本数学工具，遍及数学、力学、生物学等众多科学和工程领域，其研究和应用范围都非常广泛。微分方程的定性分析始终会是十分重要的难题。随着符号计算和算法数学的不断发展、计算机计算能力的不断提高、计算机软件的不断改进，微分方程定性分析所涉及的推理和计算问题有望在未来的20年内取得重大突破。正在兴起的超大规模网络并行计算和以构造性数学为基础的计算智能，有可能帮助揭开极限环的神秘面纱，为希尔伯特极限环问题的最终解决提供系统化、机械化的工具和途径。
翘尾观望、拭鼻以待——阿狗必有用武之地!
来源：阿狗数学AlgoMath公众号
作者：黄博
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