weixin 发表于 2018-2-8 15:56

计算气动声学CAA:主要的空间离散格式简介

  计算声学(CAA)和计算流体力学(CFD)通过求解由偏微分方程组构成的控制方程来预测声场/流场的特性,二者的差异主要体现在:
  · 声场能量和不稳定流动能量值差别巨大;
  · 声场传播和流体动力学中的特征长度不尽相同;
  · 频率范围差异巨大(CAA处理的声波动问题频率宽得多)。

  为了准确计算声学现象,因此需要发展更高数值精度、更小耗散(dissipation)和色散(dispersion)的数值格式。
  · 数值耗散(dissipation),在CFD中会有助于数值计算的稳定性,但是在CAA中会把声学小扰动量抹去;
  · 数值色散(dispersion),会破坏声场各个谐波量之间的相位关系。

  时间步进(Time Marching)和空间离散(Spatial Discretisation),例如:
  其中:∂u/∂t对应于时间离散(time marching),∂u/∂x对应于空间离散(spatial discretisation)。

  空间离散的方法有:有限体积法(FVM)、有限元法(FEM)、有限差分法(FDM)。以下介绍CAA中主要的空间离散格式。

  有限体积法  FVM的基本步骤:
  · 将计算域划分为多个有限体积(控制体);
  · 对每一个控制体使用积分形式的守恒关系;
  · 使用恰当的方法解这些关系式。

  对于2-D连续方程:
  有:
  其中vi为控制体,Lij为控制体边的长,u为向外法向量。

  对上述控制体写出守恒形式的积分方程:
  此处S为控制体的表面,n为控制体表面指向外面的法向量。

  考虑如图所示的非结构型网格所定义的i节点,将其关于空间离散化后有关系式:
  上述式子是FVM的一般形式,vi代表控制体的体积,Lij为相应的表面积。一般来说,FVM的精度比较低(≤2nd order),在CAA中用途不是很广。

  有限元法  FEM(Finite Element Method)是将计算空间离散成任意形状和大小的子元,所求解量用所谓的basis functions和周围的量线性组合而得。

  如果用Ni(x)表示basis function,则q(x)的近似解可以表示为:
  FEM具有适用于非结构网格和易于拓展至高阶的特性;在实际运用中,综合了FVM和FEM特性的discontinuous Galerkin(DG) method已经成功的用于求解N-S方程。

  有限差分法  FDM(Finite Difference Method)用网格节点上物理量来表示空间导数的值,其基础就是泰勒展开。以一维连续方程为例:
  对于∂f/∂t,可分别使用如下两图所示的计算格式:
  Explicit 3 points stencil with 2nd order:
  Explicit 5 points stencil with 4th order:
  · FDM的误差是以o(Δx)ⁿ来衡量的,其中Δx为空间步长,n为误差精度,n越大表示精度越高,具体取决于所用stencil和格式;
  · 有限差分格式适用于结构网格;
  · 有限差分格式很容易推广到高维情形;
  · 提高计算精度无外乎:(1)提高n;(2)减少Δx。但减小Δx的值意味着增加网格数目,会使得计算量大大增加,因此需要设计高精度格式;
  · 在一般的CFD计算中2nd精度格式稳定性较好,同时又能提供足够的精度来模拟流动。但在CAA中为了准确模拟声学小量的发展过程需要使用高精度计算格式。

  格式小结  · FDM只使用结构网格(Structural Grid System),而FVM及FEM可适用非结构型网格,其中FEM的网格可以是任意大小和形状,因此后两个方法可以采用网格自动生成工具;
  · 一般而言,FVM的精度较低(≤2nd order),FEM及FDM都可以延展至高阶;
  · FDM由于形式固定,容易延展至高阶精度,因此在CAA中常常使用此格式;
  · FDM主要有显式格式和隐式(紧致)格式之分,在阶数越高时,显式格式会需要较大结点数目的stencil,隐式格式则可以用较小的stencil实现高阶格式。


  本文根据北京大学工学院力学与空天技术系特聘研究员黄迅的PPT讲义《计算气动声学:空间离散格式》的部分内容编辑而成。

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