coohit 发表于 2018-9-6 10:04

鸡兔同笼与弹性力学的方程思想

  已知鸡和兔同在一个笼子里,头有35个,脚有94只。问笼中有多少只鸡,多少只兔?这是我国历史上著名的鸡兔同笼问题,现在也成了奥数的经典题目。


  鸡兔同笼问题在我国已经流传了1500多年(出自《孙子算经》,成书于公元4-5世纪),有多种求解方法。不用方程,一种有趣的解法是先假设鸡和兔能听懂人话,然后一个人下命令:所有动物都抬起一只脚, 94-35=59,地上还有59只脚;再抬起一只脚,59-35=24,还有24只脚,此时鸡一屁股就坐地上了,站着的全是兔子,每只兔子两只脚,24/2=12,得兔子12,再35-12=23,得鸡23只。


  这种方法虽然有效,但其通用性较差。设未知数、列方程则是这类问题的通用方法,让求解变得简洁、明了。先设笼中有鸡x只,兔子y只。然后,依据题意,列方程:


  · 脑袋数:x+y=35

  · 脚数:2x+4y=94


  解上述方程组,得 x=23,y=12。则得鸡、兔数目。


  在求解鸡兔同笼问题中,首先要设出未知数(鸡有x只,兔子y只),然后依据题目求解未知数满足的等式(2个未知数列两个方程,x+y=35,2x+4y=94),最后求解(x=23,y=12)。从设未知数、列方程、求解这三个步骤看,弹性力学的理论体系和鸡兔同笼问题具有一致性,也是设未知数、列方程、求解三个步骤。以下我们重点来讨论弹性力学是如何以这三步构建的理论体系。


  一、弹性力学的未知数
  设未知数和要求解的问题紧密相关,那么弹性力学要解决什么问题呢?


  在材料力学中已经指出,变形体力学主要解决三类工程问题:强度、刚度、稳定性,这也是弹性力学的工程目标。但是材料力学只能解决细长结构,如杆、轴、梁的强度、刚度、稳定性问题。


  然而,在生活中放眼一望,非细长结构在我们的日常生活中占据着主要地位,如吃饭用的锅、碗,居家的房子,路上跑着的汽车,天上飞着的飞机…,实际上细长结构在我们的生活中只是一类“特殊结构”,也就是说除了“细长结构”下,大量的工程问题材料力学无能为力。弹性力学的工程目标就是突破材料力学的这一局限,解决一切形式工程结构中的强度、刚度、稳定性问题。反过来,为了这一工程目标而形成的一般理论,又可以在特殊情况下,去证明材料力学中某些结论的正确性。


  怎么解决一切形式的结构问题呢?弹性力学想到了微元体。


  微元体的好处就是可以组成任意形状的结构,这就突破了材料力学细长结构的限制。如图1所示的任意形状的物体,考虑其上任意一点P,画出P点的微元体。由于所取点的任意性,只要研究清楚一点处的情况,就可以推广到物体上任意一点的情况。


  图1
  考虑微元体的受力和变形情况,可以通过应力、应变和位移三类力学量来描述,如下:


  · 应力分量:σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx
  · 应变分量:εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx

  · 位移分量:u,v,w


  这里一共有6个应力分量,6个应变分量和3个位移分量,共15个量。回顾一下材料力学是如何解决工程中的强度、刚度、稳定性的。


  对于强度问题,第一强度理论最大拉应力理论,第二强度理论最大伸长线应变理论,第三强度理论最大切应力理论,第四强度理论形状改变比能理论。很明显,如果我们能求出P点的应力、应变,强度问题就可以解决。


  刚度要求指构件在变形过程不能超过规定的最大变形量,如果我们能够求出P点位移分量,那么刚度是否满足要求也可以判定。


  稳定性问题在材料力学中的核心是研究结构失稳的临界载荷,载荷换算到内力上,就可以用应力来表示,也就是说求解P点应力就可以解决P点的稳定性问题。


  再强调一遍,由于P点的任意性,也就是说P点的求解结果,同样适用于物体上任意的其它点,当我们把物体上所有点的结果都求出来了,整个物体上的强度、刚度、稳定性问题也就都解决了。所以,前面提到的6个应力分量、6个应变分量和3个位移分量(共15个量)就是弹性力学的待求未知量(由于这些量有确定的力学含义,纯数学方程中的称为未知数,这里称为未知量)。


  二、弹性力学的基本方程
  理解了弹性力学中的未知量,剩余的就是如何列方程和求解方程的问题。我国古代数学家刘徽在《九章算术.方程章注》中说,“程,课程也。群务总杂,各列有数,总言其实,令每行为率。二物者二程,三物者三程,皆如物数程之,并列为行,故谓之方程。”其中,“二物者二程,三物者三程”求两物的数列两个方程,求三物的数就列三个方程。显然,有几个未知数,就需要列几个方程。


  在弹性力学中15个未知量就需要列15个方程,如下所示,有平衡方程3个,几何方程6个,以及物理方程6个,恰好15个方程构成封闭方程组。只不过这些方程变成了偏微分方程,要比鸡兔同笼问题中的代数方面要复杂的多。


  平衡方程:


  几何方程:


  物理方程:



  三、弹性力学求解
  再来看求解,对于求解线性方程组,常用消元法先将未知数的数量减少,然后再求解。求解弹性力学大致也是这样,必须先减少未知量的个数才能求解。弹性力学问题求解有两类方法,力法和位移法,实际上力法就是将所有未知数都用应力来替代,而位移法是将所有的未知数用位移来替代,如果从线性代数、方程组角度来看就是消元法。


  另外,从弹性力学的基本方程可以看出,组成弹性力学基本方程的平衡方程和几何方程都是偏微分方程,求解微分方程必然会产生积分常数,而积分常数的确定就必须补充边界条件,只有在一定的边界条件下,弹性力学的解才是唯一的。


  试想一下,同样是混凝土,做成水库的大坝、盖成高楼大厦、抑或做成桥梁,如果用弹性理论求解,这些结构所满足的基本方程都是前面所说的15个方程,但它们的解肯定不一样。这正是因为边界条件的千差万别,才造成了现实世界中弹性力学解的丰富多样。


  结 语
  以此来看,弹性力学的基本思想和求解鸡兔同笼问题的基本思想是一致的,都是先设出未知量,然后列出未知量满足的基本方程,最后通过消元法求解。画出鸡兔同笼问题与弹性力学的对应关系如下表格:


  在弹性力学学习中,理解了弹性力学的工程目标和方法,设未知数相对简单,重点就是列方程和求解,可以说弹性力学有两大主要内容:


  · 一是构建弹性力学的理论体系(列方程,包括设未知数);


  · 二是如果求解弹性力学问题(求解方程,包括边界条件)。


  来源:力学酒吧公众号(ID:Mechanics-Bar),作者:张伟伟 太原科技大学。
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