weixin 发表于 2018-12-18 09:31

浅谈理论力学中的一般位置

  建立力学方程时,一定要将所考察的力学量或点置于坐标系中的一般位置,才能得到正确的方程形式。所谓坐标系中的一般位置,即在直线坐标系中,是指坐标轴的正向;在直角坐标系中,是指坐标系的第一象限。如果没有将所考察的力学量或点置于坐标系中的一般位置,这将引起概念性错误,引起对力学量方向理解的混乱。下面分别选取静力学和动力学中的实例说明问题。

  在静力学中,各种教材都给出了空间力对任意点的矩的矢量表示:设F 为空间任意一力,其作用点为A,A点的位置矢量为r,如图1所示,则力F 对任意点O的矩为:
  其中,i、j、k 分别为x、y、z 方向的单位矢量,Fx、Fy、Fz 分别为力矢量F 在x、y、z 轴的投影。
  图1 空间力对任意点的矩
  推导公式时,实际上是默认矢量r 和F 都应处于第一象限,这样所得公式才具有一般意义。在具体应用该公式时,无论矢量r 和F 实际处于第几象限,都可以将其投影值直接代入上述公式进行计算。如果在推导上述公式时,没有将矢量r 和F 放置于第一象限,则会在实际计算时带来混乱,搞不清力F 对各轴的矩到底是什么方向。

  动力学中,列写质点运动微分方程时,也要特别注意将动点的位置置于第一象限,所得方程才是运动微分方程,否则只能是力与加速度的关系。例如下面的弹簧质量系统:将原长为l0、刚度为k 的弹簧和质量为m 的物块放置在光滑的水平面上,弹簧左侧固定在竖直墙上,设物块自平衡位置的初始速度为v0,试求出物块的运动方程。
  图2
  这是已知力(弹簧力)求运动规律,故为第二类动力学问题。可以先列出物块的运动微分方程,然后求出其运动方程。以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox 坐标系,如图2(a)所示,将物块置于任意位置x>0处,物块受力F=-kxi。根据直角坐标系中的质点运动微分方程的列法,可得:
  通过求解这个微分方程,可以得到物块在平衡位置附近进行振动的运动方程:
  如果建立图2(b)所示的坐标系,坐标原点位置与图2(a)相同,但坐标正方向与之相反。仍然设弹簧伸长了一段长度,这时物块的受力如图所示。这时可得:
  解此方程,将不能得到物块在平衡位置附近进行振动的正确运动方程。现将原有解释如下:

  根据运动学中的定义,
  ax 即物块加速度在轴Ox 上的投影,可知:若x>0,

  由
  则有ax<0,且x>>0,有|ax|>>0;

  由
  则有ax>0,且x>>0,有|ax|>>0。

  这意味着当物块处于轴Ox 的正方向时,由
  其加速度与轴Ox 相反;

  而由
  其加速度与轴Ox 相同,加速度在竖直上均与坐标值成正比。若x<0,由以上两式可有与上述相类似的结果。这说明上两式虽然只相差一负号,但
  为振动方程,而
  为加速度运动方程。

  上式绝不动描述质量-弹簧系统的振动性质,原因即在于没有将动点置于坐标系的一般位置。因此,进行动力学建模时,一定要将数学方程与物理性质结合起来考虑,将动点置于坐标系的一般位置。

  以上对理论力学中一般位置作了一些简单的介绍和总结。一般位置不仅在静力学和动力学中有应用,在运动学中也有应用,在学习和使用时,一定要加以注意,将所研究的力学量或点置于坐标系中的一般位置,才能得出正确的方程形式。否则就会出现理解上的困难,甚至错误。

  参考文献:
   郝桐生编、殷祥超等修订,理论力学(第3版),高等教育出版社,2003
   哈尔滨工业大学理论力学教研室编,理论力学(第六版):上册、下册,高等教育出版社,2002
   范钦珊主编,理论力学,高等教育出版社,2000

  来源:慧明力学微信公众号(ID:lx_zhm),作者:赵慧明。

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