大太阳 发表于 2019-12-6 13:07

结构动力学-非线性系统研究

动力学中,杜芬系统是一个典型的非线性系统,它可应用在很多工程领域中。当结构进入弹塑性状态时,结构体系不能满足弹性动力方程,这时将结构应当简化成一个非线性模型更符合实际受力状态。传统结构研究中,考虑的是将结构进行等价线性化,然后再将其按照线性体系进行研究,但结果往往是与实际情况相差较大,因而,对非线性体系的研究更具有工程重要的意义。

考虑一个动力学方程,它是如下的自治杜芬振动方程:
该方程表明,对于不受外界激励作用的一个系统,其解应当是不会发生任何振动的情况的值,即速度与位移均是0。如果系统处于某一状态后,撤去外部激励,该时刻速度与位移不全为0,此时,体系受自激的影响,逐渐将趋于稳定的状态,即最终速度与位移均趋近于0。

我们对于它的运动轨迹予以捕捉,假定初始位移与初始速度分别是0和-0.5,对于该微分方程,将它写成伊藤微分的形式,即写成低阶微分方程组,然后用龙格库塔算法进行数值求解。取时间30s,将该时程分成3000步分析,则步长为0.01s。现取c=k=1,三次及五次非线性项系数为0.5,得到的结果如下图所示。
现在我们将参数改变,得到三个速度与位移关系的曲线,得到的结果如下图所示:
从上图我们可以看出,非线性系数对体系的振动影响较小,而线性系数对体系的影响较大,甚至可以改变运动轨迹。在增大线性系数(刚度与阻尼系数)之后,系统将更快趋于稳定,而且速度与位移的幅值也将变小。这表明,大刚度体系可以使得振动幅度更小。

非线性的分析涉及到数值计算,计算效率将会是制约其进行工程推广的关键因素。对于更加高效的计算,非线性分析的研究与发展将还有很大提升空间。


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