weixin 发表于 2020-7-23 08:54

对称概念:体会非线性力学问题的复杂性

如果使用坐标选择自由的概念,物理量的对称性与坐标选择无关,因而,保持对称性。这样在张量表达方式上,对称性不变。

但是,对变形运动张量,作为运动的客观描述,谈其对称性在数学上没有本质性含义。在物理上,则完全不同。但这是与经典理论对立的,也就是说,变形张量本身就是物理量。但是,这个物理量在具体坐标下有不同的分量表达方式。很早以前就有很多物理学家指出,简单的对称和反对称分解得到的不是真正的变形张量。

一般地说,数学上的对称要转化为物理上的对称,必须引入各向同性(对易)条件。另外,数学上对称的,完全可以在物理上不对称。反之,物理上的对称并不等价于数学上的对称。

故,变形运动张量这种表达方式是物理的。但是,也的确有工程量纲化概念:取初始系为标准系。因而,工程量纲化后,对称性未必保留(除非增加条件),外在的和内在的是有本质区别的。

这是很有迷惑性的,对混合张量,工程量(如果它是物理本质量的话)的对称性能作为张量的对称性;但是,如果工程量不是物理本质量的话,就不能;反之,物理本质量的对称性不一定能在它对应的工程量形式中得到保留。

过去的物理学家、数学家认为,这对于使用混合张量是灾难性的;因而,直接给出结论:最好不用混合张量。但是,今天物理学家特意的去构造(物理本质量的)混合张量。

时代不同了,对称性概念下降了地位,尽管还有很多人(大多数)在拼命维护。因而,对非线性力学问题,寻求物理本质量的精确定义是关键所在。

变形运动张量F=S+R 的对称性S=各向同性(可逆),而R 就是方向性(极化方向,不可逆)。因而,总能选出好的坐标系,使位移场为最简单化的。

而S 的对称性就解释为:变形的可逆属性;对应的应力也解释为可逆属性(无论是以当前位形为参考,还是以初始位形为参考,得到的应力应变是一样的)。因而,陈至达称之为内在的是得到了其要点。

内在的对称性+内在的转动角是与坐标系选择无关的。但是,在使用位移场表达方式时,很容易造成误解。

读者由此可以体会非线性力学问题的复杂性,这种复杂性是运动的内在对称性决定的。如果找出了运动的内在对称性特征,则问题可以简化而得到解。否则,将与真实解相差悬殊。

因而,对变形力学,现代张量理论的核心考虑是:寻求这样一个坐标系,使得对所求的位移场,转动的效应可以通过单位坐标基矢的调控而消除。以此,获得精确的应变。

抽象的说,可归结为:针对所考虑的实际变形特点,寻求一个内在的与变形的对称性对应的位移(在弯曲系下的位移,而不是欧几里得几何位移)。这种对对称性的追求已经上升为一个物理学上的“定理”:一切物理运动必有其内在的对称性,因而,一切正确的物理定律,必定存在某种对称性。只要找到这种对称性,问题就能大大化简。

在这样一个信念下,对各种具体的物理运动,寻求其内在的与对称相应的坐标系(弯曲的任意系)就是研究运动的本质规律。

这样,现代物理也就归结为:对物理运动的坐标系选择研究,即一般说来的,对物理运动的时-空的几何属性的研究。而如果只是单纯的使用直角坐标系,这种特性是没有可能得到的。

不理解这个最基本的定理,就会得到相反的结论:张量理论把简单问题复杂化。因而,在哲理上理解张量理论是进入现代科学的入场券。而在具体操作上的能力直接决定了一个人解答物理问题的能力。

可惜的是:“坐标选择不应改变给定物理量的对称或反对称属性”这句数学上的不变性要求,在我国被很多力学教科书错误的解释为:“应力、应变的对称性(简单的对称和反对称分解得到的)不因坐标选择的不同而改变”。

事实上,理论物理学界也不过是近十几年才反思这个问题(在自旋的大帽子下,简单的对称和反对称分解得到的不是真正的几何张量)。

来源:肖建华科学网博客,作者:肖建华教授

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