vibtable 发表于 2020-9-17 16:14

名义应力、工程应力与真实应力

在《材料力学》中,应力和应变分别定义为:单位面积上的内力和单位长度的改变量。用公式表示分别为:
为什么要定义应力和应变呢?

应力、应变在表征材料强度和变形能力中具有很强的实用性。

假设有A和B两种材料,用材料A做成直径20mm的圆棒试样,材料B做成直径为10mm的圆棒试样,材料A在50kN的拉力下被拉断,材料B在45kN 拉力下被拉断。
但我们并不能说材料A的承载能力就比材料B的承载能力高。为什么呢?我们根据以上的公式(1)可以求出两者的最大应力:
可见,材料B比材料A有更高的承载能力(3倍还多),只是因为试样B截面积较小才在较小的拉力下断裂,因此用“单位面积上的内力”就消除了试样截面尺寸的影响,得到材料的本身属性。

变形方面也是这样,还是材料A和B,假设其截面相同(直径10mm),但试样长度不同,材料A长为200mm,材料B长为250mm,假设在45kN下两种材料的伸长量都是0.2mm,同样我们也不能就说材料B具有和材料A相同的变形。按照应变的定义,有
在相同的外力下,两个样件产生了相同的伸长量,我们能说两种材料有相同的变形能力吗?不能,实际上材料A的变形要多一些。可见,应变通过“单位长度的变形量”消除了比较材料变形能力时的试样长度影响。
万能试验机(来源于网络)
材料强度和变形的测定一般用万能试验机来测定(如上图),将标准样件安装在上下两个夹具之间,通过力传感器和位移传感器,测出在拉伸试件过程中力的变化和样件的伸长量,并将其画在“力-伸长量”的坐标系内,将其分别除以截面面积和试件长度可得到“应力-应变曲线”。

下图所示为低碳钢拉伸曲线,由于它具有弹性变形、屈服流动、强化、颈缩四个典型的材料变形特征,因此常被用来说明材料的变形过程。
低碳钢拉伸曲线(来源于网络)
需要强调的是,按照前面应力、应变的定义,将拉力P除以试样面积A0,将伸长量

∆L除以试样长度L0,所得到的应力、应变,实际上有很大的问题,主要集中在颈缩阶段。在这个阶段,试样面积急剧减小,但是应力求解还是利用拉力除以原始截面面积A0,这就产生了错误!同样,试样在拉伸过程中,长度不断增加,但求解应变还是用伸长量除以原始长度L0,这也是不对的。因此,这样求出来的应力应变并不是真实的应力、应变,只能算是名义上的应力、应变,因此称之为名义应力和名义应变,大概是工程使用上比较方便,也称为工程应力和工程应变。

而真实的应力、应变称为真应力和真应变,需要以瞬时的截面面积和瞬时的试样长度为标准去定义。假设试样原始长度为L0,变形终了为Lf,变形过程中任意瞬时为Li,同样的下标也用来标识变形过程面积A。另外P表示瞬时的载荷,任意瞬时的真应力S定义为:
假设材料体积不变,即有
上式可推导出真应力:
对于真应变,设试样在加载过程中的变形的微增量为dl,则微变形过程中真应变为:
假设样件从L0变形到Lf,则总变形量为:
如果用真应力、真应变表示低碳钢的拉伸曲线,在颈缩阶段,真应力也是在上升的,如下图所示:
从式(2)和(3)可以看出,虽然名义应力和名义应变不是真应力和真应变,但它们却可以用来表达真应力和真应变,真应力是名义应力的(1+ɛ)倍,应变是(1+ɛ)的自然对数。真应力说明颈缩阶段,加在材料上的应力其实并没有减少。真应变可以合理的解释分次加载时应变的可叠加性。

例如,有一试样两次拉伸,原长为L0,第一次伸后长L1,退火后继续拉伸(退火保证两次材料性能一致)至L2,第一次拉伸的应变为:
第二次拉伸的应变为:
如果一次性拉伸试样至L2,则求解应变为:
我们发现:
这与事实不符,怎么会一次拉完和分两次拉会不一样呢!

但如果我们考虑真应变,就可以保证两次加载后的真应变可以叠加,如第一拉伸后的真应变为:
第二次拉伸后真应变为:
如果一次拉伸试样至L2,真应变为:
叠加两个真应变,有:
可见,真应变满足多次加载时应变的叠加性。

实验中很难直接直接测量出真应力,因为样件的截面积随时在变,很难实施跟踪,所以,现实中要获得真实应力,比较快捷的方法就是用公式(2)进行推导。

最后来总结下:

以实验拉伸样件为例,名义应力(Nominal stress)亦称工程应力,不考虑材料本身的截面变化,较粗糙。真应力(Real Stress)考虑材料本身的截面变化,较精确。

所以,你的有限元模型里,用的是名义应力应变曲线呢,还是真实应力应变曲线?

Tips:

1、如果你的模型不涉及大变形的话,变形都是微小应变,名义应力和真实应力差距不大,没必要区分。

2、如果你的模型设计大变形,那么名义和真实模拟出来的差距就比较大了。

3、以上推导仅针对于一般金属零件,且基于材料的不可压缩假设。


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