支承刚度对转子模态的影响
转子的模态转子动力学的研究对象——转子，是一个多自由度振动系统，它既有多自由度系统的一般力学特性，即转子也有模态；但它又有其特殊性，即其模态是随转速而变化的。图1 单圆盘转子
如图1所示，单圆盘转子由一根细的立轴和一个圆盘构成。圆盘质量为m，置于细轴的中央，轴的质量较小，可以不计。轴的两端由刚性轴承支承，轴中央的刚度为k。即如果轴中央有弯曲变形r，那么圆盘受到的弹性恢复力为F=k×r，方向垂直于轴线指向O1 点。转子的转动角速度为Ω。取固定坐标系Oxyz，转子的轴线沿Oz，圆盘的圆心为A。圆盘中心A绕O1 点在圆盘平面内作圆周运动。此时，轴本身仍以角速度Ω在转动（自转），同时，弯曲变形了的轴还以角速度ω 绕Oz 轴线转动（公转），这种运动称为涡动。
涡动方向和转子的转动方向相反，称为反向涡动，或反进动，如图2所示。涡动方向和转子的转动方向相同，称为正向涡动，或正进动，如图3所示。
图2 单圆盘转子反向涡动模态
图3 单圆盘转子正向涡动模态
如果任意给圆盘一个横向冲击，以激发转子的自由振动，一般来说，上述两个模态会同时激发。根据激发的不同，两模态所占的大小比例不同，圆盘的涡动轨迹会是不同形状的椭圆（特殊情况为直线），涡动方向可能为正，也可能为负。
如果将转子的模态运动投影到xOz或yOz平面内，那么看到的是轴以频率ω 在作横向弯曲的简谐运动。此外，转子运动方程的实部或虚部，在形式上也与轴的平面弯曲振动的方程相同。因此，常用分析轴的横向振动的方法来讨论转子的运动，但从概念上必须把轴的振动和转子的涡动这两种运动加以区别。
如果转子系统有阻尼，那么模态阻尼就不为零，模态振动就是一个衰减振动，衰减的快慢决定于阻尼的大小。此时，转子的模态振型一般也就不在一个平面内，即振型曲线是一条空间曲线。为了表示振动有衰减以及振型为空间曲线的特点，频率和振型都要用复数才能表达，故称为复频率和复振型，相应的模态就称为复模态。
转子是一个特殊的振动系统，它的力学特性随着转速而变化，其各阶模态参数也就随转子的转速而变化。因此，在说转子模态时，必须说明是该转子在什么转速下的模态。
造成转子模态随转速变化，主要是两方面的因素：
· 由于圆盘的回转效应改变了转子的刚性；
· 转子转速变化影响了轴承（特别是滑动轴承）的工作状态，导致轴承油膜的刚度和阻尼的变化，从而改变转子的模态。
对于通常见到的圆盘，极转动惯量Jp 大于直径转动惯量Jd，故圆盘转动惯量通常是在正向涡动中升高模态频率，在反向涡动中降低模态频率。
支承刚度对转子模态的影响转子的支承主要包括轴承和轴承座，有些场合还要计及基础（或机匣）的影响。支承作为转子系统的一部分，对于转子的动力特性有重要的影响。在建立转子系统的分析模型时，通常把轴承，特别是滑动轴承简化为具有刚度和阻尼的支承，轴承座简化为一个弹簧刚度。阻尼主要影响转子系统的模态阻尼，而刚度影响转子的模态频率，甚至振型。
一个简单转子的模态随支承刚度变化的示意如图4所示，图中横坐标为支承的刚度；纵坐标为转子系统的模态频率。先看图的最右边，此时支承刚度为无限大，相当于刚性支承，图右侧的纵坐标给出了转子前3阶的模态频率，边上的小图为相应的振型。沿着横坐标慢慢向左移，支承刚度逐渐减小，曲线显示，这3阶模态频率都逐渐下降，当然下降的快慢不一。此时，振型也在慢慢变化，从图中部的小图看到，转子变形在减小，支承处开始有位移，但是振型中的节点数目保持不变；图的最左边为支承刚度为零的极端情况，这相当于无支承。在此情况下，转子的前2阶模态频率降至零，振型相应变成为筒形和双锥形的刚体运动，在第3阶振型中转子才有弹性变形。航空发动机的转子常采用很软的支承，接近这种情况，其目的是获得很大的平稳变速范围。
图4 转子的模态随支承刚度的变化
总之，可以得到下列规律：
· 支承刚度增加，转子的模态频率也增加，反之亦然；
· 各阶频率对于支承刚度变化的灵敏度并不一样，在支承刚度不同的范围内，灵敏度也不同；
· 支承刚度很低时，转子前2阶频率趋于零，振型相应是筒形和双锥形的刚体振型。
来源：DeepFEA微信公众号，作者：Pantheon0805。
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