weixin 发表于 2021-3-16 13:52

只见黄沙不见天:沙尘飞扬的力学分析

3月15日清晨,中国北京已出现明显沙尘天气,大部分地区能见度小于1000米,空气质量处于最高一级严重污染,指数达到500。北京环境监测官微发布,据沙尘遥感图显示,此次沙尘源起于蒙古国南部。
目前,遭遇沙尘天气的北京,大部分地区的能见度小于1000米。接下来,我们从力学角度聊一聊沙尘飞扬的现象。
唐朝诗人杜甫在其名篇《兵车行》中以“车磷磷,马萧萧,行人弓箭各在腰。耶娘妻子走相送,尘埃不见咸阳桥。”描述了一幅灰尘弥漫、车马人流、令人目眩的战前送别图。其实,灰尘漫天飞舞的现象我们司空见惯,从日常生活中的尘土飞扬到自然现象中“朔风怒号、黄尘万丈”的“沙尘暴”都与沙尘的运动相关。

物体在流体中运动时的阻力
当物体在粘滞性流体中运动时,物体将受到流体的阻力作用,在相对运动速率不大时,这种阻力主要来自于流体的粘滞力,并称为粘滞阻力。由于在流体中物体表面附着有一层流体,这层流体随物体一起运动,在物体表面周围的流体中必然形成一定的速度梯度,从而在各流层之间产生内摩擦力,阻碍物体的相对运动。英国力学家、数学家斯托克斯 (George Gabriel Stokes1819-1903) 于1851年提出球形物体在粘性流体中作较慢运动时,受到的粘滞阻力F 的大小由下式决定
式中,η 为流体的粘滞系数,它与流体性质和温度有关;r 为球体的半径;v 为球体相对于流体的速度。(说明:此表达式只对球体相对于流体的速度较小时近似成立。)
如果让质量为m、半径为r 的小球在静止粘滞流体中受重力作用竖直下落,它将受到如图所示三个力的作用:重力mg、流体浮力f、粘滞阻力F,这三个力作用在同一直线上。起初,小球速度小,重力大于其余两个力的合力,小球向下作加速运动;随着速率的增加,粘滞阻力也相应增大,合力相应减小。当小球速率增大到一定数值时(极限速率),小球作等速运动,此时作用于小球上的重力与浮力和粘滞力相平衡。如果流体密度为ρ,小球密度为ρ',小球速率为v,则有下面的关系
由此可求得小球下落的极限速率为:
若流体为空气,它在标准状况下,η 粘性系数=1.80×10-5Pa·s,假设小球(沙尘)的密度为2.0×103kg/m3(远大于空气密度1.293kg/m3),重力加速度为9.8m/s2。代入上式可得:
当小球的半径为1×10-7m(100纳米)时,小球下落的极限速率为2.4×10-6m/s;小球的半径为1×10-4m(100微米),小球下落的极限速率为2.4m/s;而当小球的半径为1×10-3m(1毫米)时,小球下落的极限速率为2.4×102m/s。可见,小球下落的极限速率与其半径的平方成正比,半径越大,下落的极限速率就越大。

从上面讨论还可看出,极限速率与小球密度有关,密度大相应的极限速率也越大,这实际上就是为什么粉尘较沙粒易于被扬起的原因。

沙尘飞扬的原因
现在,在上述分析的基础上讨论地面上沙尘是怎样被扬起成为风沙的。

由于沙尘在风力作用下运动时,颗粒的浓度较稀,且颗粒所受约束较少。所以,可忽略颗粒与颗粒之间的相互作用,可以用单颗粒的运动模型来描述沙尘颗粒的有关运动特性,即将沙尘颗粒视为“小球”。上面讨论了物体在静止流体中运动时的阻力,而风沙的形成则必须考虑当流体(空气)处于流动状态时的情形。因此,上面计算得到的极限速率应理解为沙尘相对于流动空气的极限速率,沙尘相对空气的速率只能小于或等于极限速率,即使给沙尘一个大于极限速率的初速度,在阻力作用下沙尘的速度将迅速减小为极限速率v。
如果空气的流动是水平的,当沙尘与空气的相对速度不是零时,小球就要受到与相对速度方向相反的“阻力”,这时小球就要沿空气流动方向加速,经过一定时间t(加速时间)和一定距离L(加速长度)后,颗粒的水平速度和空气的水平速度一样,运动趋于稳定,沙尘就随风飘扬。如果空气流动具有上升的速度v',当v' 大于极限速率v 时,地表附近沙尘将被掀起,加速上升,最终达到v'-v 的速度。当然,这一讨论还限于已处在空气中的尘埃如何随风飞扬。对于一粒落在地面上的沙粒,它随风飞扬可理解为:当有风贴着地面刮时,一般来说空气在沙粒的上表面流速大,从流体力学的伯努利定律可知尘埃受到一个向上的力,一旦这个力超过它的重力和地面对其吸附力,尘埃就可能被吹向空中了。

前面分析已知,对于粒径不同的沙尘,极限速率v 差异很大。对粒径很小的尘埃,v 也很小,易被加速,空气的任何轻微流动,上升气流的速度分量都可以超过它的极限速率,导致其随风起动,甚至人在屋里走动所带动的空气扰动,也会使它飞扬起来。这就是“为什么风一刮,总是有一批细小的尘埃随风起舞,飞扬起来”的原因。而且,这样的尘埃一旦处于空中,靠其自然降落到地面需要相当长的时间。

2001年9月美国的世贸大厦双子楼被恐怖分子劫机撞毁后,过了半个月,在纽约的上空还弥漫着灰尘”就是一个很好的例证。对粒径较大的沙粒,则不容易被风加速,颗粒很难随风起动。这表明沙尘是否起动,风速的大小是一个主要因素,而且风速越大,沙粒随风起动的可能性就越大。沙尘物理学中,把干燥沙尘临界起动风速定义为起沙风速。
在我国,根据主要沙区的观测和统计分析,起沙风速被确定为5m/s。气象中把浮尘、扬沙与沙尘暴统称沙尘天气。浮尘天气是由于高空中的风力较大,从其他地方携带来颗粒较细小的细沙、粉尘等物质所形成,相当于大气中尘埃的影响,其能见度通常大于10km;扬沙与沙尘暴都是由于本地或附近尘沙被风吹起而造成的,特点是天空混浊,能见度明显下降,沙尘暴天气能见度甚至小于1km。

由于极限速率与颗粒大小密切相关,风小,飞起来的尘埃颗粒就小;而风大时,除了小颗粒尘埃飞起外,还有颗粒大的尘埃飞起。一次“沙尘暴”会有成千吨的沙尘被吹到天空,真可谓“狂风肆虐、飞沙走石”。

当然,沙尘天气的形成是一个多因素问题,它不仅仅依赖于风速,还与风向、离地高度、地质地貌、沙尘含水量等许多因素相关。本文只是对沙尘飞扬的机理作了粗浅探讨。改善生态环境、防风固沙、遏制沙尘颗粒被风蚀起动,才是减少沙尘天气、防治沙尘暴的关键。

参考文献:
刘克哲.物理学. 背景:高等教育出版社,1993.

来源:图形公式不烦恼微信公众号(ID:ArtByMathematica),作者:陈建。

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