声场有限元仿真中的界面条件
01、引言对于汽车乘员舱内的结构噪声而言，有限元法目前仍然是最主要的仿真手段。声波在声场中的传播，只需要一个以声压为基本未知数的方程就可以描述，所以声场域的有限单元离散非常简单，每个声场网格节点只需要一个声压自由度，对声场网格质量也没有太高的要求。
声场界面条件则相对复杂一些。通常声场在界面上与结构耦合，界面可能随结构发生振动，激励内侧的声场从而产生声压。界面还可能有一定吸声能力，使声波在界面上发生透射和反射。因此，使用有限元法进行声学仿真，必须考虑如何处理固定和自由边界、如何处理声固耦合，以及如何模拟界面的吸声能力。
图1 车辆声固耦合分析模型
02、声场域内基本方程
声学基本方程都是建立在欧拉坐标(空间坐标)下，一共三个基本方程。
基于牛顿第二定律，描述声压与质点加速度之间关联的运动方程如下：
其中，密度 ，对于小振幅声波，为小量可忽略，只需保留静态密度 。声学介质质点加速度，是质点速度的随体导数，它包含本地导数和位变导数两部分，对于小振幅声波，位变导数可以忽略。
所以，对于小振幅声波，运动方程可以简化为：
基于质量守恒定律，描述可压缩介质的密度变化与质点速度之间关联的连续性方程如下：
小振幅情况下，进行线性化，连续性方程可以简化为，
物态方程描述的是声压和介质密度之间的关联，如下
其中 为总压强，为静态压强与声压 之和。对于小振幅声波，声压 可以视为总压强的微分，密度变化量 可以视为密度 的微分，所以物态方程可以简化为：
根据线性化后的平衡方程(2)、连续性方程(4)和物态方程(6)，可以得到声波波动方程
其中， 。
波动方程(7)是建立在欧拉坐标系下。声介质并没有流动，只是在平衡位置小幅振动，所以声压的空间导数可以忽略欧拉坐标和拉格朗日坐标的区别，声压的随体导数(对时间的全导数)可以忽略位变导数项。这样就可以基于初始构型建立波动方程，如下：
其中 和为声学介质在平衡位置时的坐标，即拉格朗日坐标。
声学有限元分析实际使用的并不是基于欧拉坐标的波动方程(7)，而是基于拉格朗日坐标的波动方程(8)
03、常见的几种界面条件
根据平衡方程(1)，对于声场界面，假设其外法向单位矢量为，则有，
即
其中 为界面上声介质的法向加速度。很多人认为只有在无吸声的声固耦合界面上(10)式才成立，但实际上(10)式完全由平衡方程导出，并不受界面特性的影响。式(10)对于任何声场界面，甚至是声场中随意画的一条虚拟曲面都是成立的。
域内波动方程(8)的边界条件通常有两种，即给定的Drichlet边界条件和给定的Neumann边界条件，
Neumann边界条件中，最常见的一种特例是固定边界条件。如果法向声压梯度为0，意味着声腔表面为刚性壁面，这叫做固定边界，如下式。
固定边界上，声学介质的法向速度为0和法向加速度均为0。
Neumann边界条件中，还有一种特例是弹性边界条件。声场表面与结构耦合，即为弹性边界条件，此时结构的振动加速度将影响声压。耦合界面上声介质与结构的法向速度和法向加速度保持相等。即
则式(10)变为
式(14)和式(10)的差别在于，(14)中的为结构单元的法向振动加速，(10)中的为界面上声介质的法向加速度。式(14)仅对于弹性边界成立，式(10)对于任何声场界面都成立。
Drichlet边界条件中，如果界面上指定声压为0，这叫做自由边界条件，即，
自由边界上的声压为0，相当于声场的声介质在该边界处暴露于真空中，处于完全自由的状态。
04、表面吸声特性的模拟
前面我们所讨论的固定边界条件和弹性边界条件，都忽略了界面吸声行为，即假定界面是在声学上是完全刚性的，声波在界面上只能反射而不会透射，两种边界条件的区别仅在于前者是静止刚性界面而后者是运动刚性界面。
实际上，壁面上可能覆盖有吸声材料，例如汽车白车身内表面通常有内饰包覆，内饰和车身钣金之间还有一定空腔存在，使乘员舱内表面呈现很强的吸声特性。这种情况下，如果仍旧采用全反射假设，会导致仿真结果与实际偏差过大。
平面声波在均匀的无限大理想介质中传播时，声压与质点速度同相，其比值即阻抗率为实常数
如果壁面上有一层吸声材料，则声波在吸声材料与声场的交界面上发生反射和透射，透射波到达壁面后还会发生二次反射，导致声场界面上声压与法向速度不再保持同相位，其比值即表面声阻抗率也不再为空气特性阻抗 ，而是一个复数。因此，表面声阻抗率与特性阻抗的差异能够体现界面上反射和透射的影响。
表面声阻抗率分为实部和虚部，其表达式如下
其中，实部叫做声阻率，虚部叫做声抗率。
吸声表面上出现的能量衰减通常用吸声系数来量化，吸声系数可根据表面声阻抗率得出，如下式
其中θ为入射角度。
令入射角为0，可得正入射吸声系数，
吸声系数反映的是声能量在界面上的衰减比例，必然有，因此声阻率。
表面声阻抗率不是常数，声阻率和声抗率都随声频率变化，所以界面吸声系数也是跟频率相关的变量。常见的多孔性吸声材料一般在中高频的吸声系数较大，而在低频段的吸声系数较小。
已知表面声阻抗率后，根据(10)式和(17)式，可以导出吸声界面的边界条件，
式(20)形式的边界条件，叫做Robin边界条件。
式(17)和式(20)是基于界面平衡位置（无声压作用时的界面位置）完全静止的假定。界面平衡位置静止，界面上的声介质在声压作用下小幅振动，声压与介质法向振速 的比值为。
对于运动吸声界面，尤其是声固耦合的弹性吸声界面，界面平衡位置并非静止，而是随结构一起运动，界面平衡位置和结构的法向运动速度均为。在声压的作用下，声介质与界面平衡位置发生相对运动，因此(17)式变为
根据(10)式和(21)式，可以导出弹性吸声界面的边界条件
比较弹性吸声边界条件(22)式、弹性边界条件(14)式和吸声边界条件(20)式，可知弹性吸声边界条件就是将结构振动的影响和界面吸声的影响直接叠加。
05、界面条件在有限元软件中的实现
声场网格节点的自由度为声压，可按结构有限元的位移自由度来处理。在Nastran软件中，利用SPC或MPC卡片，可限定声腔表面节点的声压值，即为固定边界条件。
在有限元分析中，如果某段声场界面未施加任何载荷和约束，也未与结构建立耦合关系，该界面就是固定边界。常见的声腔模态分析使用的就是固定边界条件，假定声腔外边界为刚性固定壁面，声波在壁面上发生全反射。
弹性边界条件的建立要稍微复杂一点，表征界面上结构加速度与声压之间关联的方程式(14)虽然形式简单，但在有限元分析中体现并不容易。因为声场网格节点的只有声压自由度，而结构网格节点只有位移自由度，所以结构和声场单元无法在界面上共用同一节点。我们需要分别建立在空间上接近或者重合的声场节点和结构节点，然后再设法实现两者之间的耦合关系。
利用Nastran中的ACMODL卡片，可以设定声腔与结构之间的耦合。建议在ACMODL卡片中选择BW算法，该算法不要求声腔表面节点与结构节点存在对应关系，Nastran将自动搜索临近的结构节点和声腔表面节点，建立耦合关系。ACMODL卡片中的其他字域推荐使用默认值，即
在Nastran中，可使用CAABSF单元模拟吸声内饰件。选择需要考虑内饰吸声的声-结构耦合界面，建立CAABSF单元。CAABSF单元应覆盖于声腔的外表面，并且与声腔网格共用节点。如果声腔采用四面体单元离散，声腔表面应采用三角形CAABSF单元，以保证节点协调一致。
CAABSF单元的表面声阻抗率用PAABSF卡片定义，如图2。
图2PAABSF卡片
实际使用时，通常在TZREID和TZIMID字域各引用一个TABLEDi卡片，后面的各字域留空白。TZREID和TZIMID所引用的TABLEDi卡片分别定义了表面声阻抗的实部和虚部随频率的变化，即
06、结语
表面声阻抗率的概念不限于声固耦合界面，它实际适用于流体中任意表面，体现了任意边界任意位置的声压与该位置介质法向速度之间的比值。此处的法向指的是声场的外法向，不是结构表面的外法向。表面声阻抗率只考虑法向入射情况，即入射角为0的情况，与入射角度无关联。
在推导声固耦合吸声界面的边界条件时，隐含一个假设，即吸声界面的平衡位置与结构保持相同的法向加速度。实际上，如果结构表面覆盖较厚的吸声材料，则吸声界面与结构的距离较远，界面平衡位置的运动与结构运动无法保证一致。所以(22)式的弹性吸声边界条件仅适用于结构表面吸声层很薄的情况。
对于较厚的吸声材料层，应该用实体声场单元代替CAABSF单元来模拟，并赋予适当的声学材料特性。这些实体声场单元只需要保证与内侧的空气声腔单元节点融合，无需施加额外的边界条件。
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