weixin 发表于 2021-5-27 13:34

应力圆:应力状态的可视化

应力圆,也称莫尔应力圆,是由德国著名的土木工程师莫尔 (Christian Otto Mohr, 1835-1918) 于1882年提出的一种描述一点处应力状态的图示法,该方法可直接得到最大主应力、切应力用以进行强度校核,应力圆法一经提出就受到广大工程师的青睐,成为结构工程师必须掌握的知识点之一。
图1 Christian Otto Mohr (1835 –1918)来源:网络
理解莫尔应力圆,需要先解释一下提出应力圆的背景。以图2所示的拉杆为例,若求其上P 点的应力,方法如下:过P 点做一个假想截面A,并以P 点为基准取一微面积△A,设微面积上的内力为△F,则P 点的应力表示为
可见,求一点的应力,需先要过该点做一个假想截面A。问题在于,过一点可以做无穷多个假想截面,这意味着一点的应力表达有无穷多种(当所取截面不垂直于杆轴线时,会分解出正应力σ 和切应力τ),这无穷多种应力表达就表示了该点处的应力状态。
图2 过P 点可以做出无数多个截面
最早对一点处应力状态进行描述的是法国数学力学家柯西 (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857)。1822年,柯西以纳维的弹性理论为基础,提出了弹性力学的微元体分析法,如图3所示为四面体微元体,假设四面体的三个直角边均趋于0时,斜面就趋于一点,斜面上的应力就成了该点的应力。只要斜面取完所有可能的方向,则该点的所有应力表达就可以全部确定。

不过柯西的方法是解析法,即使用严谨的数学推导,得出应力的数学表达式(参见弹性理论的建立),这在工程应用上多少有些不方便,工程师们更喜欢用图形的方式表达各种结果,对于各种应力描述也希望有一种一目了然的图解法。
图3 柯西和他的四面体微元体来源:网络
在力学发展史上,一直都有零散的利用图示法求解力学问题,例如杠杆原理、力的分解与合成、对重心的讨论,拱和悬链线类比分析等等。19世纪下半叶,德国结构工程师卡尔·库尔曼 (Carl Culmann, 1821-1881) 对力学图解方法进行了系统化的整理和发展,于1866年(该年份参考铁木辛柯,其它资料有出入)写出了《图解静力学》(德文:Die Graphische Statik,英文:Graphic Statics),标志着图解力学作为一门知识学科正式建立(孟宪川,图解静力学简史,2012)。
图4 库尔曼与他的图解静力学来源:网络
与之前的图解法相比,库尔曼对图解静力学进行了系统、生动、纯熟的解释,极大的推动了图解法的推广应用。他的学生里有因实践图解静力学而享誉世界的工程师,也有继续进行相关研究的学者,他深深的影响了随后几代工程师和学者,也包括莫尔和他的应力圆。

在《图解静力学》中,库尔曼首先证明了斜面上的应力满足圆的关系,这是在分析梁的弯曲应力时得到的,如图5(a) 所示,在A 点(任意点)处取一微元体Amn,用σx 和τxy表示Am 微面上的应力分量,斜面mn 可任意旋转,用以表示过A 点的各方向平面,则斜面mn 上的应力分量就代表了A 点应力状态的各种分量表示。
图5 库尔曼应力圆来源:网络
从这里可以看出,库尔曼在梁上取的三角形微元体,很像《材料力学》中分析任意斜面上应力的三角形微元体,如图6所示。
图6 三角微元的应力分量与几何关系来源:网络
写出图6微元体的平衡方程,为
求解斜面上的应力分量,则有
考虑上面第1式和第3式,有
两边平方后,叠加上面两式整理后,得
这就证明了在二维情况下,斜面上应力分量可表示为一个圆。库尔曼证明并提出了应力圆,但他做应力圆的方法和莫尔还有很大的不同,而且库尔曼从应力圆 (Circle of stress) 上分析得到的结果也不如莫尔的丰富。

为了作出应力圆,库尔曼先建立一个坐标系xy,以 (σx, τxy) 为坐标画出一点a,然后过a 点作水平线交y 轴于b,再作a 点关于x 轴对称的a1 点,连接ba1,则以为直径ba1 作出的圆即为应力圆。

库尔曼指出,任意斜面上的应力分量均可由该圆上的坐标给出;该圆与x 轴的两个交点e 和d 代表了两个主应力;他还证明了最大剪应力的值为圆半径,且其作用平面将平分主应力平面间的夹角。有了库尔曼应力的基础,莫尔应力圆几乎就要呼之欲出了。

1882年,莫尔在研究库尔曼应力圆的基础上,给出了自己的应力圆作图法。考虑下面表示的应力状态。
图7 莫尔的微元体分析法来源:网络
莫尔首先对切应力的正负进行了定义:

正应力引起微元体绕中心顺时针旋转。
(Positive shear would cause a clockwise rotation of theinfinitesimal element about the element center.)

这样,利用图7微面上应力分量构造两点的坐标B (σx, -τxy) 和A(σy, xy),并将其绘制在σn-τn 坐标系内,如图8所示。则AB 连线即为应力圆的直径,依据该直径可绘出莫尔应力圆。
图8 莫尔应力圆来源:网络
从莫尔应力圆,可以看出最大主应力(切应力为0,圆与σn 轴的交点),最大切应力(圆的半径,可计为 (σ1-σ2)/2,该面上正应力为σavg=(σ1+σ2)/2)。此外,莫尔还给出了斜面旋转时,其转动角θ(见图7)与应力圆上坐标点旋转角度之间的关系,即斜面旋转θ,应力圆上旋转2θ,如图8中C、D、E斜面所对应于应力圆上各点与斜面旋转角度之间的关系,利用这一关系可以方便的找出主应力平面所在方向。

除了二维情况,莫尔还给出了三维情况下的应力圆作图法,如图9(d) 所示应力圆,在绘制三维应力圆时,需要先求出主应力σ1,σ2,σ3,然后在σ 轴上分别标出三个主应力,然后分别以σ1 和σ2 为直径,以σ1 和σ3 为直径,σ3 和σ2 为直径做出三个圆。
图9 三维莫尔应力圆来源:网络
单独看三个应力圆,以σ1 和σ2 为直径的圆表示微元体绕σ3 旋转时的各种应力表达,其最大切应力为 (σ1-σ2 )/2,如图9(a);以σ1 和σ3 为直径的圆表示微元体绕σ2 旋转时的各种应力表达,其最大切应力为 (σ1-σ3)/2,如图9(b);以σ2 和σ3 为直径的圆表示微元体绕σ1 旋转时的各种应力表达,其最大切应力为 (σ2-σ3)/2,如图9(c)。从图中很容易看出,最大切应力为最大圆上的 (σ1-σ3)/2。莫尔还证明了与三个主轴都相交的平面上,应力分量所表示的点全部都落入三维应力圆的阴影区域。

1900年,依据应力圆,莫尔还提出了他的强度理论。1864年,特雷斯卡 (Henri Tresca, 1814-1885) 已经给出了判定金属材料屈服的最大切应力强度理论,认为当材料中的最大切应力达到临界应力时,材料将发生失效。事实上,当时人们采用的强度理论都是这样,选定一个指标量,然后通过判定该指标量是否超过临界值,超过即为材料失效,如最大拉应力理论,最大线应变理论,以及最大切应力理论都是这样,莫尔强度理论则有些不同。

类似于最大切应力准则,莫尔也假定了材料发生破坏的平面为最大切应力平面,但又不仅仅只与切应力有关,还与该平面上的正应力相关。对于各种应力状态下的应力圆,莫尔只考虑最大圆,即足以使材料发生破坏的应力圆,莫尔称之为主圆,在各种加载条件下,如纯拉伸(圆I)、纯压缩(圆II)、纯剪切(圆III)画出三个圆,如图10所示。然后作出主圆的包络线,应力圆的所有部分都不应该超过该包络线。这样,该包络线就成为莫尔强度准则的判定依据:在任何应力状态下,如果应力圆的任何一个部分超过包络线,则材料将发生失效。
图10 从应力圆到莫尔强度理论(铸铁试样)来源:材料力学史
莫尔建议只用纯拉伸和纯压缩绘制包络线,如上图中,利用纯拉伸和纯压缩应力圆,可以求得纯剪切时的最大切应力为:
对于更为一般的应力状态,如图11所示的圆O3。
图11 一般应力状态示意图应力圆O3 所示来源:网络
欲确定应力圆O3 的最大切应力,则需用相似三角形定律,即
这里,有
将上上代入上式中,可得
如果考虑安全系数,相当于包络线缩小一下,上式变为
值得一提的是,与第三强度理论相比,莫尔强度理论与实验结果具有较高的一致性,从而得到了工程界的认可。当然,莫尔强度的推广还因为它避免了繁琐的数学计算,用图形的方式形象直观的告诉给工程师们设计要求,使得人们一旦见到就很难忘记。

参考文献:

铁木辛柯.材料力学史. 上海科学技术出版社.

孟宪川, 赵辰. 图解静力学简史. 建筑师, 2012(6):33-40.

Mohr’sCircle. MATERIALS AND STRUCTURES - #M-6. MIT, Unified (16.001/16.002).
https://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/materials/documents/HO-M-6(Mohrs)(08).pdf

维基百科. 库尔曼. https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Culmann
https://leancrew.com/all-this/2012/10/mohrs-circle-and-the-march-of-time/

来源:力学酒吧微信公众号(ID:Mechanics-Bar),作者:张伟伟。

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