weixin 发表于 2021-12-31 11:29

趣味力学之:杂技艺术中的顶技

杂技艺术是中国的传统艺术之一,已有2000多年的悠久历史。杂技的许多精彩表演蕴含着深刻的力学原理,之前我们也发过几篇讨论过与杂技相关的力学问题。近期发出的关于运动稳定性的博文内容太理论化,有必要换个较轻松的话题。实际上,杂技表演中的力学现象多与稳定性有关,不妨作为对运动稳定性的理论知识提供应用的实例。本文先从最常见的“顶技”开始讨论。

在顶技表演里,演员用头,额、鼻或肩,甚至口衔棍棒顶着各种物件,巧妙掌握物体的平衡维持稳定不倒。所顶的物体五花八门多种多样,但所有的顶技表演都归结为同一个力学模型,即以动点为支点的一个倒置的复摆。所蕴含的力学问题是:复摆的不稳定直立状态,是如何依靠支点的运动转化为稳定的。

将一种最古老也是最华丽的顶技“耍幡”作为具体的讨论对象。它起源于晋代,已有一千多年历史。是中国民间的传统绝技,也是国家级的非物质文化遗产(图1)。幡是皇室出行仪仗中装饰华丽的长条形旗帜,旗手将幡旗在手中耍舞能显示军队的勇武智慧,鼓舞斗志。耍幡在清代盛极一时,是朝佛、庆典等活动的常备项目。根据《百戏竹枝词》的记载:"幡为四五尺高,上悬铃锋,健儿数辈舞之,指挥甚如意,佐以金鼓声,观者如堵墙焉。"
图1 耍幡
表演耍幡的艺人将十余米高、几十斤重的幡竖起,托在手中或支在肩膀、脑门、下巴、项背上,上下飞舞、交替腾挪,舞出许多花样,而幡始终竖立不倒。将幡简化成重心在上,支点在下的复摆。众所周知,倒置复摆的平衡状态是不稳定的,稍受扰动即倾覆,但此现象仅是对支点固定的复摆而言,而幡在表演者身上的支点是不固定的。在耍幡过程中,熟练的耍幡艺人能根据幡的状态随时控制支点的运动,使幡保持稳定。

设复摆的支点P 与地面保持等高度,O 为与P 高度相等的固定点,以O 为原点建立惯性坐标系 (O-x0y0),x0 轴沿P 点的运动方向,y0 轴为垂直轴。以P 为原点建立动坐标系 (O-xy),x 轴与x0 轴重合,y 轴平行于y0 轴。列写矩心为P 的动量矩定理时,将 (P-xy) 取作动参考坐标系,且将坐标系运动引起的惯性力视为外力,对定点的动量矩定理即转变为对动点的动量矩定理。
图2 支在动点上的倒置复摆
令OP=x,复摆的摆轴与y 轴的夹角为θ,设复摆的质量为m,其相对P 点的转动惯量为J,质心与P 点的距离为l(图2),基于上述对动点P 的动量矩定理列出
忽略θ 的二次以上微量,简化为一次近似方程:
若支点固定不动,则x 的导数为零,此二阶线性系统的特征值为λ1,2=±(mgl/J)1/2。因存在正实数特征根,表明支在固定点上的复摆为不稳定平衡。根据 “李雅普诺夫一次近似运动稳定性理论浅释”中的说明可以断定,原系统的平衡也不稳定。

对于动支点情形,为使包含两个未知变量θ、x 的方程(上式)封闭,还须补充给出表演者对幡的控制规律。在表演过程中,表演者密切观察手中托起的幡的状态,如发觉幡向一边倾斜,立即通过支点朝倾斜方向对幡用力。这个控制过程先用以下线性规律近似地描述为:

代入上式,得到仅含θ 的微分方程:
若上式的所有系数均为正值,则特征值为纯虚根:
因此,只要满足k>g 条件,就能使倒置的复摆稳定。根据李雅普诺夫一次近似稳定性定理,此结论不能判断原系统的稳定性,但可用于解释实践中已观察到的稳定现象。

复摆受扰后在地垂线附近作微辐摆动。将幡简化为长度为2l 的细杆,则J=4ml2/3,周期为
杆愈长则周期愈长。对于长度超过10m的幡,其摆动周期极长,幡上的缨络、小旗和彩绸迎风飞舞产生的空气阻尼更使摆动过程延缓,表演者得以从容不迫地完成霸王举鼎、苏秦背剑等各种精彩动作。

若表演者对幡的控制动作极灵敏,不待幡出现倾斜角θ,只要幡有向一边倾斜的趋势,有角速度dθ/dt 出现时,即能被感知而对幡施加控制力。则可将控制规律方程 修改为
代入
化作
解出特征值为
若满足以下条件:
则特征值的实部均为负值,复摆为渐近稳定。根据李雅普诺夫一次近似稳定性定理,线性系统和原系统的零解均为渐进稳定。

一旦幡被表演者脱手抛起,转变为悬空状态时,对其运动的描述必须改用对质心的动量矩定理。由于重力对质心的力矩为零,幡对质心的动量矩守恒。表演者只要在脱手时避免幡出现初始角速度,随后在空中必保持竖直状态不变。

耍幡是杂技表演中形形色色的顶技功夫之一。上述力学分析适用于所有的顶技表演,其稳定性的保持均得力于支点的受控运动,而控制规律的实现则取决于表演者的熟练技巧和深厚功底,就不是一朝一日所能达到的了。

原文注:改写自刘延柱. 漫谈耍幡. 力学与实践,2009,31(5):100-101;刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版),2.4节. 北京:高等教育出版社,2018)

来源:刘延柱科学网博客,作者:刘延柱。原题《杂技力学之一:顶技》。

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