刚体姿态的数学表达之：对偶四元数
对偶数和对偶矢量工程技术中涉及的刚体运动往往移动和转动同时发生，需要有表达刚体位置和姿态同时改变的更具普遍性的数学工具。1873年，英国数学家克利弗德 (Clifford,W K.) 创造出对偶数 (dual number) 的数学概念（图1）。对偶数与复数概念类似，是由实数单位1和对偶单位ɛ 组成的包含两个实元的一对有序组合[1。ɛ 称为Clifford 算符，被赋予特殊的运算规则：图1 克利弗德 (Clifford,W K. 1845–1879)用带顶标“˄”的字符表示对偶数，以和为例，令
基于Clifford 算符的基本规则，可推出对偶数的加法和乘法运算规则：
对偶数中的实数集合如改为矢量集合，则称为对偶矢量 (dual vector)。将式
中的标量换作矢量a、b，构成对偶矢量和：
对偶矢量的运算遵循对偶数的加法和乘法运算规则，以及矢量的加法、点积和叉积规则：
普吕克矢量设a 为空间中的任意矢量，可沿作用线自由滑动。从空间中的固定点O 向矢量的作用线上任一点作矢量ra，将ra与a 的叉积定义为a 对O 点的矩，记作a ꞌ=ra×a。1869年德国数学家普吕克 (Plücker,J.) 提出（图2），矢量a 与矢量矩a ꞌ 二者的结合可完全确定矢量a 在三维空间内的位置。a 与a ꞌ 组成的矢量偶对称为普吕克矢量 (Plücker vectors)，所对应的6个投影坐标称为普吕克坐标 (Plücker coordinates)。设矢量a 在空间中作任意位移到达矢量b 的位置，利用Clifford 算符ɛ，将矢量a 和矢量b 的位置以对偶形式的普吕克矢量表示为
图2 普吕克 (Plücker,J. 1801-1868)
在单位矢量a 和b 的公垂线方向作p 轴，以p 为p 轴的基矢量。设a 和b 的垂直距离为l，则a 沿p 轴移动l 距离后与b 的作用点重合于P 点，与b 的夹角为θ。可以认为矢量b 是矢量a 沿p 轴平移l 距离，且绕p 轴转动θ 角后到达的位置（图3）。1830年，法国物理学家沙勒 (Chasles,M.) 将这种运动称为螺旋运动 (screw motion)。他同时证明，刚体在空间中的任何位置移动均能通过绕某根轴的螺旋运动实现。换言之，螺旋运动是刚体运动的最普遍形式。
利用Clifford 算符ɛ 将转角θ 与平移l 组合成对偶数：
称为a与b之间的对偶角，作为螺旋运动的数学描述。
图3 矢量a和b的平移和转动
将上式定义的对偶角的正弦和余弦函数展成泰勒级数，由于Clifford 算符ɛ 的特殊性质，ɛ 的二次以上的所有项均等于零。导出
计算式
的普吕克矢量 、之间的点积和叉积。利用rb=ra+lp，以及矢量的点积和叉积公式：
遵循对偶数的运算规则，利用适当的矢量变换，导出
其中，为p的普吕克矢量
将式
与式
对比，可看出对偶矢量与一般矢量的点积和叉积规则在形式上完全相同。直接验算还可证明，对偶角也存在类似的三角恒等式，例如
由此可见，借助抽象的Clifford 算符，能使矢量代数和平面三角公式以同样的形式，发展为对偶矢量和对偶角的计算公式。
对偶四元数将矢量b 沿正交的a 和p×a 方向分解（图3），得到
给定p 轴的基矢量p 和矢量a 绕p 轴的转角θ，即可利用上式算出矢量a 绕P 点作有限转动后的位置b。对于刚体作螺旋运动的更一般情形，矢量b 的空间位置应以式
定义的普吕克矢量 表示。将
代入
令rb=ra+lp，遵循对偶数的运算规则，且利用适当的矢量变换公式，化作
依据式
将下式中括号内的变量用相应的对偶数和对偶矢量代替
得到螺旋运动的变换公式[2：
与
对比可看出，将有限转动的变换公式 (上式) 中各字符增加顶标“˄”，即转换成螺旋运动变换公式。二者在形式上完全一致，仅上式中的矢量a、b 和转角θ 分别以普吕克矢量、和对偶角代替。
将对偶数与对偶矢量的组合定义为对偶四元数(dual quaternions)，记作：
则
可表示为
其中的空心圆点“ο”表示四元数的乘法运算。
对偶四元数也称为螺旋算子 (screw operator)，是有限转动张量A 的扩展概念。利用螺旋算子可以很方便地确定矢量作任意螺旋运动后到达的新位置。多次螺旋运动对应的螺旋算子等于各次螺旋算子的四元数乘积：
刚体在空间中有6个自由度。仿照欧拉角的定义，刚体的任意空间位置变动也可分解为绕不同坐标轴的螺旋运动，所对应的3个对偶角可称为对偶欧拉角。所包含的6个标量可作为表达刚体位置和姿态的独立变量。
以上利用对偶数和四元数对刚体螺旋运动的推导结果，充分显示出数学表达的简洁和优美。利用对偶四元数处理刚体的螺旋运动在工程技术中，尤其在空间机构和机器人技术中有广泛的实际应用[3。用对偶形式描述的力学基本定律具有最简练的形式，在此基础上建立起来的运动学和动力学称为力学的旋量理论。
参考文献：
Clifford M K. Preliminary sketch of biquaternions. Proc. London Math. Soc., 1873, 4: 381-395.
Wittenburg J. Duale Quaternionen in der Kinematik rämlicher Getriebe, Eine anschauliche Darstellung. Ingenieur Archiv, 1981, 51: 17-20.
Yang A T. Freidenstein F. Application of dual-number quaternion algebra to the analysis of spatial mechanisms. J. of Appl. Mech., ASME, Ser.E, 1964, N2.
原文注：改写自“刘延柱. 关于刚体姿态的数学表达. 力学与实践，2008，30(1)：98-101
来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。
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