weixin 发表于 2022-4-15 09:46

模态分析与稳定分析

任何一款结构分析软件,其结构分析功能都可以做这样一个简单的分类,线性分析和非线性分析。从数学角度来说,把结构分析问题抽象成一个数学问题,如果求解的问题是一个线性系统,施加的荷载和结构的响应是线性相关的,这就是线性分析,线性分析的计算是非常高效的。非线性问题就比较复杂,计算时间比较长,包括很多种类型。

另一个大的分类,从结构分析当中是否考虑结构本身的惯性力来分类,分为静力分析和动力分析,静力分析中不需要考虑结构的质量,但动力分析中结构的质量会产生惯性力,会影响结构的动力平衡方程。区别就在于,是否考虑本身的惯性力。

这两种分类有交叉,既有线性静力分析,又有非线性静力分析,对动力分析也有线性和非线性区别,具体见图1。
图1 结构分析分类
一、模态分析振型叠加法,把耦合的动力平衡方程转化为解耦合的单质点动力平衡方程,n 个自由度问题转换为n 个单自由度问题,不考虑自由度之间的耦合,求解效率非常高,求解完之后再进行叠加,解耦过程见图2。
图2 通过引入振型进行方程解耦
对解耦后的单自由度体系可以直接进行求解,求解时程效应,这就是振型叠加法的时程分析法。也可以只求解它的峰值,最大的效应,若干个振型的峰值进行组合,这就是反应谱分析方法。时程分析能得到每个时刻的效应,反应谱分析只能得到某一刻最大的效应。

这两种分析方法都需要用到坐标变换,将位移自由度转换为广义自由度,这里面用到振型矩阵Ψ,一般情况下采用特征向量模态分析得到的振型矩阵,振型矩阵并不要求一定由特征向量组成,只要振型矩阵满足关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性,因此工程上也常用利兹向量求解的振型矩阵。

特征向量法求解的振型矩阵的缺点见图3,特征向量法只考虑自身质量和刚度的分布求解振型矩阵,描述结构自身固有的振动性质,不考虑外荷载的空间分布,会产生很多对后期振型组合无用的振型。
图3 特征向量法的缺点
事实表明,使用与动力荷载的空间分布相关的向量进行振型叠加法的动力计算,比使用相同数量的特征向量进行的计算更高效更准确。利兹向量法中的向量可以理解为空间结构的一种变形形式,一组利兹向量就是一种变形形式,振型和频率用于后续的动力分析。利兹向量本身没有多大意义,主要是为后续反应谱分析、模态时程分析打下基础。这种方法求解的振型和频率并不是结构固有的特性,它是结构在某种特定荷载分布的情况下才具有。比如分析楼板的固有频率,只能用特征向量法,不能用利兹向量法。

振型质量参与系数,它的物理意义是特定方向的单位地震加速度作用下,某振型贡献的地震剪力与总地震剪力(总剪力)的比值。抗震设计规范一般要求振型质量参与系数不小于90%。

二、稳定分析1. 失稳类型包括三类,特征值失稳、极值点失稳、跳跃失稳。

· 特征值失稳是弹性失稳,不考虑非线性,即不考虑几何非线性和材料非线性。在数学上也叫平衡分叉失稳或分支点失稳,是理想情况下除原始平衡状态外出现的新的其他平衡类型,比如一个受压构件,刚开始一个受压平衡状态,随着压力增加,横向一个扰动,出现一个新的压弯平衡状态。结构特征值失稳时的荷载称作屈曲荷载,也叫临界荷载,屈曲荷载=屈曲因子×实际荷载,屈曲因子是施加荷载的放大系数。比如拱的失稳。

· 极值点失稳是弹塑性的、几何非线性失稳,平衡状态无质变,变形迅速增大,但无新的变形形式,此时结构失稳的荷载叫做极限荷载。

· 跳跃失稳是弹性、几何非线性的失稳,结构平衡状态发生明显的跳跃,突然过渡到非临近的另一个具有较大位移的平衡状态,比如网架的失稳。这种失稳一般分析不多。

2. 特征值屈曲分析

在说屈曲分析之前,先说下什么是几何非线性,在说几何非线性之前,先说下什么是线性。线性分析的基本假定是结构承受的荷载和产生的位移都较小,结构分析根据原始(变形前)的几何位置建立方程,其计算优势是结构刚度矩阵的组装和求逆只需一次。

几何非线性体现两种情况:一种是大荷载效应,一种是大位移效应。荷载比较大,结构产生的内力或应力就比较大,会产生应力刚化效应,引进一个几何刚度来说明对结构刚度的影响,修正结构的整体刚度。虽然荷载比较大,但是结构的位移和变形可能很小,可是结构刚度明显发生显著变化。平时我们提到的P-Delta效应就是一种大荷载效应,它指较大的正应力对横向弯曲和剪切的影响。见图4。
图4 P-Delta效应
在sap中考虑P-Delta效应,可以建立两个工况:一个非线性静力工况(考虑轴力对结构刚度的影响),一个是线性静力工况(接续上一个非线性工况的刚度,不继承其他因素)。此时的线性静力工况就考虑到轴力对结构刚度的影响之后的情况,结构的内力和变形都会发生变化。

由上述可知,结构的轴向应力会影响整体结构的刚度,拉力会提高几何刚度,压力会降低几何刚度,见图5。K 是结构整体刚度,G(P) 是应力产生的几何刚度,如果轴力过大,整体刚度K 接近零,就会发生屈曲失稳。
图5 应力刚化效应
特征值屈曲分析可以看成结构P-Delta效应达到极限的一种状态,刚度弱化了,挠度和内力增加;刚度强化了,挠度和内力减小。图5中的两个方程看着很相似,上面是特征值屈曲分析方程,λ 是屈曲因子,φ 是模态矩阵,结构的变形形状;下面那个是模态分析方程,λ 是圆频率,φ 是振型矩阵,它们的求解方法一致。一个结构的特征值失稳特性,一个是结构的自振特征,在数学上是一致的。

特征值屈曲分析是一种线性分析,它只是继承一个非线性的工况下的刚度,特征值屈曲分析的屈曲模态和施加的荷载模式有很大关系,集中荷载、线荷载、面荷载作用下的模态是不同的。

屈曲分析的一阶失稳就是欧拉公式计算的临界荷载,可以在sap中直接建立屈曲分析工况类型。如果是基于恒载作用条件下的屈曲分析,可以建立两个工况:一个是非线性静力工况,零初始条件+P-Delta效应+恒载;第二个是屈曲工况,继承工况1的的结构刚度,另外施加活荷载,见图6。此时得到的屈曲因子就是活载的放大倍数。
图6 基于恒载作用下的屈曲分析
基本上,任何一款程序计算屈曲分析时,都不区分整体屈曲和局部屈曲,负特征值在特征值屈曲分析中很常见,只是施加的荷载反向就行了。

3. 非线性稳定分析

非线性稳定问题也叫全过程稳定分析、后屈曲分析,反正就是非线性,材料非线性和几何非线性,其实非线性稳定分析属于非线性静力静力分析的一种,常见的非线性静力分析有以下几种,见图7,sap中的非线性类型包括以下几种,见图8。
图7 非线性静力分析
图8 非线性类型
大位移效应,大位移效应对应上述大荷载效应,是几何非线性的一种,位移或者转动很大,导致变形后几何模型变化,形成新的结构刚度,应力或内力可能很小,但结构刚度显著变化,见图9。大位移举例见图10。常见运用于索结构、膜结构、静力弹塑性 (pushover) 分析、跳跃失稳分析等。
图9 几何非线性两种类型
图10 大位移效应
其他非线性分析不在赘述。

来源:望月问水微信公众号(ID:gh_eab931e6be95)

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