数学危机的启发
<P><FONT face=黑体 color=#4822dd size=3>数学危机的启发<BR></FONT> ——自然随想录之4<BR> 数学推理依已知看似合理的知识体系中推导出有悖常理甚至自相矛盾的结果称之为悖论。</P><P> 悖论的产生告诉我们，一向以严谨著称的数学科学，其中的真理也是相对的，有层次的。三次危机告诉我们，思辩本身也必须存在于某种范围才是合理的，条件和范围并不是其他科学领域才需要的前提，数学也是同样，而且体现的更加鲜明。这就是真理相对性的具体体现。</P>
<P> 无理数的发现，宣告了第一次数学领域危机的结束，人类对数的认识扩充到实数范围。</P>
<P> 牛顿发明流数（导数）时，由于当时还没诞生无穷小概念，他勇敢的推导出如下结果：<BR>设幂函数 Y=X^n，X的增量为“0”，Y的流数（导数）最终通过牛顿二项式定理的展开，导出结果Y"=nX^n-1。<BR>当时的大主教贝克莱针对牛顿的破绽指出其中的自相矛盾之处：如果“0”是零，就不应该用来做除数；如果“0”不是零，那么就不应该把后面的各项去掉。这个逻辑矛盾导致了数学的第二次危机。这就是数学史上著名的贝克莱危机。这场危机促成了柯西极限概念的建立，数学分析就此又得到了一次跃迁式的进步。<BR> 而罗素悖论的发现又一次炸毁了原有数学基础的大厦，导致了数理逻辑的诞生。<BR> 但是，数理逻辑目前的所有论述就可以解释所有的客观事实了吗？<BR>为了解释无穷大概念，有必要建立一些基础概念，于是，就有∞＋∞＝∞，而不等于2∞。<BR>类似的具体小例子是：<BR>1、1+2+4+8+……。解：设S=1+2+4+8+……；则S=1+2（1+2+4+8+……）=1+2S。由S=1+2S导出：S=－1。显然错了。不能把无穷大范围的知识用有限范围的计算方式来推理计算。<BR>2、 计算1－1/2+1/3－1/4+1/5－1/6+1/7……。解：设S=1－1/2+1/3－1/4+1/5－1/6+1/7……=（1－1/2－1/4）+（1/3－1/6－1/8）+（1/5－1/10－1/12）+……=（1/2－1/4）+（1/6－1/8）+（1/10－1/12）+……=1/2（1－1/2+1/3－1/4+1/5－1/6+1/7……）=1/2S。S=0，错误结论的出现仍然告诉我们，不能用对具体量有限值的计算方式计算无限范围的结果。<BR>思考：<BR>1、 那么，∞×∞，∞÷∞；∞－∞等等的计算结果能够和（A∈R），A+A、A×A、A－A一样吗？我不知道。谁来回答一下？<BR>2、 A×∞﹦∞，A÷∞﹦0，∞÷A=∞；A＋∞﹦∞；∞－A=∞；A－∞=－∞……，等等。其中有矛盾没有？</P>
<P>克莱因在《数学：确定性的丧失》中说：“与未来数学相关的不确定性和可疑，将取代过去的确定性和自满。"虽然，以上所列举出的数学悖论可以并且已经找到解释，但是更多的还是未知，因为只要仔细分析，矛盾会被认识深刻的许多研究者发现，这种发现不应该被认为是”危机“，而应该感到，下一个突破的机会来到了。</P>
<P>这就是数学“危机"现象给我们的最深刻的，存在潜在的无穷价值的启示。</P>
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是危机也是机遇
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