[转帖]线性与非线性
线性关系应当好理解，就是一个变量其变化或与别的变量之间的关系是确定的。比如牛顿第二定律所描述的物体速度的变化关系就是线性的，在一个已知的力作用下，我们可以确定地知道物体速度具体是如何变化的，可以定量地确知变化量。再如牛顿万有引力定律所描述的天体之间的引力关系，这个关系也是确定，是线性的。我们只要知道二天体的质量，距离，就可以定量地确定地知道两者之间引力。什么是非线性的关系呢？如果我理解的不错的话，非线性关系就是用数学方程描述它，得不出方程解的关系，无论是本征的解，还是具体的解都得不出来，也就是非线性的定量关系，是完全确定不了的。
在非线性与线性关系之间还有一个线性不确定关系，线性不确定关系是指变量的具体关系不能确定，但平均的变量关系或本征的变量关系则可确定。比如一个势井中的粒子，它的本征的能量值，我们可以通过薛定谔方程定量地确定，但围绕着本征能量值的具体的能量值，是多种多样的，我们无法确定。还有分子热运动，分子平均的运动速度我们可以定量地确定，但具体的运动速度我们不能确定。
用一个数学表示来说吧，Y=KX，如果K是一个定值，X取一个值，Y有一个确定的值，或二个甚至三个确定的值与之对应，那么Y与X的关系是线性关系。但如果，X取一个值，Y有许多个不能确定的值与之对应，但我可以确定这许多个值的平均值，那么Y与X的关系就是线性不确定关系。但如果K不是一个定值，是一个不可知的值，那么Y与X就根本没有确定的关系，Y=KX这个方程是无解的。两者就是非线性的关系。
现在我要求自已用常识性的语言来解释一下线性关系，线性不确定关系，与非线性的关系。说实在的，我特意查了不少的书，还就没看到有人对它们给出常识性的解释。(由此可见当今科学界是多么无视定性理解问题，又是多么重视定量解释问题)
我以为线性关系是属于充分稳定的关系，是属于质量性的关系，凡是稳定性占上风，或者说质量性(即力求系统稳定存在的本能)占上风的系统，其空间性的相互作用关系，时间性的运动变化关系都是确定的线性关系。由于系统的力求稳定作用，力求稳定变化的缘故，系统的各个不同的运动状态，就是有一种连续的关系，是可以画出连续的运动轨道来的。系统之间的空间关系也是连续的，是没有明显间断性的。
我以为线性不确定关系是属于不充分稳定的关系，是系统质量性与能量性(也就是力求不稳定性)势均力敌时的关系。能量性有两个基本的属性，这就是力求随机变化性与力求弥散性(对称地质量性也有两个基本的属性，这就是力求确定性与力求凝聚性)，当系统质量性与能量性势均力敌或质量性稍占上风时，系统能量性中的力求随机变化 这个属性是表现出来了，于是系统的变化就具有随机性。随机变化意味着不同的具体的运动行为之间是有一定的间断性，但是由于系统还是受制于质量的凝聚作用，这就使得不同的具体运动都还有一个确定的共性，正因为有这个确定的共性，所以就存在一个能代表这个共性运动的平均值。
比如分子群体限制在一个容器里的热运动，由于热量与分子熵质量(力求分子均匀分布的本能量度)及容器的限制作用(容器的限制作用也是一种广义的质量性，它使得分子的运动凝聚在容器的体积范围内)势均力敌，所以分子群体内部的运动是随机，每一个分子的运动是随机的，其运动状态之间有着一定间断性，比如受一种碰撞力作用，分子显示出一种运动状态，过一会，又受另一种碰撞力的作用，分子便显示出另一种运动状态，由于受到的碰撞力是有区别的，这两种运动状态就有间断性。而不同分子之间的关系也显然是随机变化的，不存在一种确定的关系。
然而众所周知，这个分子群体的平均意义上的，或者上统计意义上关系是确定的，平均运动动能是可以测定的，在宏同上就表现为温度。统计意义上的空间关系也是可知的，比如分子群体若处在绝热状态，那么分子之间就是一种热力学平衡关系。
分子群体统计意义上的关系之所以能确定，是因为分子都有力求其运动能量均匀分布 的共性(熵质量性)同时也都受到了容器的限制。 假如我们将这种气体状态的分子群体降温，大量地散失其热量，最后使之变成凝聚性或称质量性充分占上风的固体，那么固体状态的系统的组成分子，其运动状态之间的关系或与别的分子的空间关系，就完全确定了。
如果一个系统能量性占上风，其质量性占下风，那么这个系统就有着非线性的关系。能量性占上风意味着系统不仅有随机变化的不确定性，还有弥散性。什么是弥散性？从空间关系上来讲，就是指有固定联系或称连续性的空间关系断裂了，元素之间弥散开来了，存在着明显间断的关系。从时间关系上来讲，就是本来是连续变化的状态，弥散开来的，状态之间有明显的跳跃明显的间断。
由于体系的质量性占下风了，所以现在我们还看不到明显间断性关系的各元素或各运动状态之间的共性，或者说这种共性不明显了。
文学性的散文虽散，但还是有一个中心，这好比可统计处理的现象，可统计处理的现象虽不确定，但它们还是围绕一个中心值或称平均值浮动。非线性的现象还不是象散文，而是象诗歌，各具体现象的关系相当于跳跃性的诗歌意像关系。诗歌的各意像之间并没有一个明显连续的关系，但却可以营造出一个抽象的艺术意境。非线性现象就如诗歌，它是有抽象的可定性解释的意境，但没有可定量的实在的本质。
比如薛定谔那只猫，如果我们不去看它，它是处在不死不活的状态，如果我们一去看它，它就一下了跳到死的状态或活的状态，这中间没有一个连续的过程。再如复杂性相变，系统只要受到一个小小的扰动，就一下子发生相变了，从一种状态跳到另一种状态。再如关在一个容器里的气体，如果热量太高了，发生了气体爆炸，容器的“限制性质量”被崩溃了，那么无论是气体整体，还是气体的任何一个组成分子，或分子之间的关系，其变化都是明显间断的，是非线性的。
更本质地看，线性的变化都还是属于受力作用的变化，而非线性变化，实质上是受信息作用的变化。线性的空间关系都还是作用力的关系，而非线性的空间关系则是抽象的信息关系。
因为质变(间断性变化)，质的关系(间断性关系)，相对于量变(连续性变化)，量的关系(连续性关系)来讲，是更具有信息性。那只薛定谔猫，之所以会从不死不活的状态质变成活的状态或死的状态，是因为它给了观察者一个信息作用，或者说观察者给了它的一个反信息作用。
既然非线性方程无解，那么数学物理学学者们为什么还要建立这样的方程来定量解释现象呢？关健是非线性方程经过某种处理，可以变成线性方程。
那么这个非线性方程怎么就可以变成线性方程呢？
关健是间断连续，量变质变这个概念是相对的，如果我们处在更本质的高度看事物的质变，那么质变也是量变，如果我们处在更间断的高度看事物的间断，间断也就是连续。如果我们处在更抽象的意境看抽象的艺术，抽象的艺术也变成不抽象的艺术。
协同学的创立者哈肯先生，就成功地将处理系统相变的非线性方程，变成了线性方程。他是怎么变得呢？
如果我们从所有的没有明显共性的具体变量的角度来看系统整体相变，那么这个看法的数学描述就是非线性方程，现在哈肯先生提高了自已的认识层面，它不看所有的具体的变量，而只看哪 些比较稳定存在，在系统中是属于主流性变量，即所谓慢变量，而将为慢变量支配的快变量统统忽略不计，于是问题就显著简单了，原来的非线性方程就可以简化为线性的统计性数学方程。
如果我们还要简化的话，你可以站在系统相变的整体高度看系统相变，创立系统质量及系统上层质量(力求系统达到更高层次稳定态的本能量度)这样的概念来描述系统的相变。那么数学方程就会变成了更简单的线性关系了 对于一个系统，判断他是否是线性的标准有两个
一、叠加原理
即如果x1，x2是方程的两个解，那么ax1+bx2也是它的一个解
叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。
二、物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。
在《自然辩证法研究》1996年2期，中有这样一句话“非线性是相对于线性而言的，是对线性的否定，线性是非线性的特例。” 精辟 收获不小! 本质上讲，线性关系是一对一的关系，非线性关系是多对一、一对多或者多对多的关系。 原帖由 happyman 于 2006-8-9 19:52 发表
本质上讲，线性关系是一对一的关系，非线性关系是多对一、一对多或者多对多的关系。
这个理解有点问题,非线性也可以是一对一的 线性一般是从相互关联的两个角度来进行的：
其一，叠加原理成立,两个态的叠加仍然是一个态,叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。
其二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的
而非线性是相对线性来说的,是对线性的否定 有收获 如果上述内容是楼主是自己的看法，不管正确与否，楼主都是极有思想的人，这种人令人赞赏，应为能成论者，皆牛人也（先恭维一番）
内容中提到楼主对线性是确定的，而非线性是不确定的，这个从何谈起，确定性与否恐怕与线性或非线性之间没有太必然的关系吧，正如版主举的例子线性系统中也有非确定性，统计力学中就是这样，我认为系统如果找到其自身运动的关系，不管线性和非线性关系，在一定的是尺度上都是确定的；但如果严格起来这个宇宙的任何事物都是非确定性的，小尺度中比如鲍利不相容原理就说明了其不确定性；大尺度到行星轨道的运行，我们通常的观念是其做不变椭圆轨道运行，实际上在10^6年这个尺度上，行星轨道是混沌运动，不能精确测定其下一时刻的准确轨道；在我们日常生活中，我们经常会得出必然，肯定之类的结论，而且绝大多数情况下事物按照我们的意志行动，这个并不是说明我们就处在一个确定性的世界里，而是由于事物内在不确定性尺度在我们人类的尺度中体现不出来；
所以确定性在整个宇宙没有什么必然性，但对人类理解自身世界和改造自身世界却很有意义，于是我们需要寻找事物之间的确定关系，就有了线性和非线性关系之说，当寻找出这种表达式后就认为关系已经确定，可以按照这种关系来预测它运动行为了。就性质而言，线性有着叠加性质，这个关系处理起来非常方便，一般意义上是确定的，所以这类系统可以用类似传递函数（在控制中）完全确定其运动行为；非线性的多值性和不具备叠加性，不能应用这样类似方法完全确定，寻找不到研究非线性关系的有效统一方法。
楼主还提到的一个观点“占上风”（或“谁更有势”），通过操作改变这种势是否同时改变这事物本身的尺度呢？从而导致了我们站在同一个尺度上研究它，认为它的确定性或非确定性发生了改变呢？
（欢迎批评讨论指正） 关于非线性和线性系统的判断（供参考）：（转自牛人帖）
举个简单例子
比如考虑某一系统
Y=2X+3
这个系统不满足可加性
若X1=2，X2=3
X1————————Y1=2X1+3=7
X2————————Y2=2X2+3=9
而对X3=X1+X2的响应却是
Y3=2X3+3=2（X1+X2）+3=13
不等于Y1+Y2=16
大家对于这个例子是一个非线性系统可能会有些吃惊
因为，表面上看，明明是一个线性方程
其实，这个系统的输出可以表示为一个线性系统的输出与另一个等于该系统零输入响应的信号之和，而实际上这是一类增量线性系统（incrementally linear systems）,即这种系统中，其响应对输入的变化是线性的。换句话说，对增量线性系统而言，对任意两个输入的响应的差是两个输入差的线性函数。
当且仅当一个系统是线性的必须同时满足均匀性(homogeneity) 与叠加性(additivity)，而且，信号和比例常数都可以是任意复数。否则都是非线性系统
为了强调这一重要性，也举一个简单的例子，在考虑下面的系统
Y=Re{X}
显然这个系统满足additivity，但却不满足homogeneity
比如X1=r+js
则Y1=r
现在把X1乘以一个复数a=j
也即考虑输入为
X2=jX1=j(r+js)=-s+jr
Y2=Re{X2}=-s
并不等于aY1=jr
所以这个系统违反了homogeneity，所以也不是线性的
回复 #11 中原 的帖子
中原说的很有道理！线性运动是一种确定性运动，而非线性运动也可以是确定性运动啊，譬如说混沌，首先肯定是一种非线性运动，而且它也是一种 貌似随机的确定性运动啊！
回复 #12 octopussheng 的帖子
混沌是确定性的？ 原帖由 咕噜噜 于 2007-7-23 08:54 发表混沌是确定性的？
混沌是确定中的不确定，不确定中的确定 从其定义来看，混沌就是一种确定性的随机运动！
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