数学与非线性科学 - 声振论坛 - 振动,动力学,声学,信号处理,故障诊断

simon21 发表于 2005-8-30 23:48

[分享]复杂世界中的规整性的发现

孤波和孤子的发现
　　水面受到激扰后会出现四散的水波，但波纹很快就会消失，不可能传到很远的地方。但在1834年8月，英国科学家、造船工程师约翰·罗素（Russell，John Scott 1808～1882）却观察到一个奇怪的现象。他在勘察爱丁堡到格拉斯哥的运河河道时，看到一只运行的木船摇荡的船头挤出高约0.3米到0.5米、长约10米的一堆水来；当船突然停下时，这堆水竟保持着它的形状，以每小时大约13千米的速度往前传播。10年后，在英国科学促进协会第14届会议上，他发表了一篇题为《论水波》①的论文，生动地描述了这个现象：
　　1834年秋，我看到两匹骏马正沿运河拉着一只船迅速前进。突然，船停了下来，然而被船所推动的一大团水却不停止。它们堆积在船头周围激烈地扰动着，随后形成一个滚圆、光滑又轮廓分明的大水包，其高度约有1～1.5英尺，长约30英尺，以每小时大约8～9英里的速度，沿着水面向前滚动。我骑在马上一直跟随着它，发现它的大小、形状和速度变化很缓慢，直到1～2英里后，它才在蜿蜒的河道上消失。
　　罗素认识到，这决不是普通的水波。因为普通的水波是由水面的振动形成的，水波的一半高于水面，一半低于水面，而且在扩展一小段距离后即行消失；而他所看到的这个水团，却具有光滑规整的形状，完全在水面上移动，衰减得也很缓慢。他把这团奇特的运动着的水堆称为“孤立波”或“孤波”。罗素还仿照运河的状况建造了一个狭长的大水槽，模拟当时的条件给水以适当的推动，果然从实验上再现了在运河上观察到的孤波。他认为这应当是流体力学方程的一个解。他批评数学家们未能从流体力学基本规律预言孤波的存在。他的这些观点在科学促进协会会议上报告后，未能说服他的同事们，争论一直持续了几十年。1895年，两位年轻的荷兰数学家科特维格（Korteweg，D.J.）和德弗里斯（devries，G.）在研究浅水中小振幅长波运动时，考虑到可把水简化为弹性体，具有弹性特征之外，还注意到水具有非线性特征与色散作用，这些次要特性在一定条件下会形成相干结构。他们由此导出了单向运动浅水波Kdv方程②，由方程得出的波的表面形状与孤波的表面形状十分相似，从而给出了一个类似于罗素孤波的解析解，孤波的存在才得到了公认。此后这件事又被渐渐淡忘了。
　　20世纪60年代，电子计算机被广泛应用之后，孤波才被重新记起并被命名为“孤立子”或“孤子”。电子计算机的应用，使得科学家们敢于去探索过去用解析方法难以处理的复杂问题。首先进行这方面探索的是物理学家费米和他的两个同事。他们于1952年开始利用当时美国用于设计氢弹的Maniac计算机，对由64个谐振子组成、振子间存在微弱非线性相互作用的系统进行计算，试图证明统计物理学中的“能量均分定理”。但1955年完成的研究结果表明，开始时集中在某一振子上的能量，随着时间的进展并不均匀地分配到其它振子上，而是每经过一段“复归时间”后，能量又回到原来的振子上，这就是奇异的“复归”现象。这个现象引起了一批科学家的兴趣。
　　当时由于空间物理学和受控热核技术研究的发展，促使了人们对等离子体物理特性的研究。这涉及到等离子体中波的问题，推进了求解非线性方程孤波解的研究。丕林、斯克姆等人经过一系列近似处理，发现费米等人的谐振子系统可以看做是Kdv方程的极限情况，可以用这个方程的孤波解来解释初始能量的“复归”现象。1965年，美国科学家扎布斯基（Zabusky，N.）和克鲁斯卡尔（Kruskal，M.D.）等在电子计算机做数值试验后意外地发现，以不同速度运动的两个孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、动量的集中形态，其波形和速度具有极大的稳定性，就像弹性粒子的碰撞过程一样，所以完全可以把孤波当作刚性粒子看待。于是他们将这种具有粒子性的孤波，即非线性方程的孤波解称为“孤子”①。1965年以后，人们进一步发现，除水波外，其它一些物质中也会出现孤波。在固体物理、等离子体物理、光学实验中，都发现了孤子。并且发现，除Kdv方程外，其它一些非线性方程，如正弦-戈登方程、非线性薛定谔方程等，也有孤子解。1967年，美国的一个研究小组GGKM在解Kdv方程时，首次发明了著名的解析方法——“逆散射变换”，并得出了Kdv方程N个孤波相互作用的精确解①。这个方法经拉克斯（Lax，P.D.）②和AKNS等人推广到一大批非线性演化方程中去，完善为一个较普遍的解析方法，大大推进了孤子的研究。③。上述这些研究成果，已经开始推向实际应用。例如在光纤通讯中，由于色散变形，传输信息的低强度光脉冲，不仅传输的信息量小，质量差，而且每经一段传输距离后，都要做波形整复。70年代从理论上发现的“光学孤子”，由于在传输中具有波形不损失，不改变速度等特性，为消除前述缺点找到了有效的方法。物理学中的一些基本方程，如规范场论中的自对偶杨-米尔斯方程，引力场理论中的轴对称稳态爱因斯坦方程，以及一系列在流体力学、非线性光学、等离子物体中有重要应用的方程，都已应用孤子理论中的方法得到了许多有趣的精确解。另外，由于孤子同时具有波和粒子两重性质，引起了理论物理学家们的极大关注。他们尝试用它来描述基本粒子。但在应用中，上述的孤子定义有所扩展。但到目前为止，还有很多理论上的困难未能解决。

simon21 发表于 2005-8-30 23:49

2．复杂系统相干结构的研究
　　自然界存在着大量复杂系统。如由大量原子结合成的固体，奔腾的河流，湍动的大气，大小不一的涡旋等。这些系统除了具有变化不定的运动形态外，还具有空间上局域、时间上长寿的规整结构。这就是由于系统中存在的色散与非线性两种作用相互平衡而形成的“相干结构”。孤子就是一种特殊的一维相干结构。相干结构存在于用连续介质或流体力学方程描述的具有无穷多自由度的复杂系统中。相干结构的稳定性与非线性系统具有无穷多守恒律密切相关。很多具有孤子解的非线性演化方程，就有无穷多个守恒律，因而也有无穷多个守恒的物理量。对相干结构的形成机制和相互作用的探索，是非线性科学研究的前沿。
　　除孤子之外，各种尺度的涡旋是自然界一大类相干结构。大者如直径达四万千米的木星大红斑，小者如晶体中只有几纳米大小的电荷密度波，都是涡旋现象。通过计算机模拟和实验室实验，对木星大红斑的形成机理的研究，已取得了重大进展。天文学上观察到木星的大红斑，是在伽利略用他的望远镜观察木星之后不久的事情。罗伯特·胡克（Hooke，Robert1635～1703）也观察过它。这个大红斑还被画在梵蒂冈的画廊里。它是一个巨大的、涡旋状的卵圆形，就像一个不运动、不消退的巨形风暴一直处在木星上。长期以来，它引起了人们的各种猜测。19世纪末期，天文学家们认为木星红斑是由火山熔岩形成的一个卵圆形的熔岩湖；也许是一颗小星体撞击木星簿壳造成的一个大洞。一位德国科学家认为红斑是木星表面正在分化出的一个卫星的雏型。后来人们发现，红斑在木星表面上有些浮动，所以在1959年有人提出，红斑是一个漂浮在木星外大气中的一个实体，就如一枚蛋浮在水中一样。有人认为这可能是一个很大的氢或氦的气泡。但是，由于红斑的漂移距离很小，所以60年代科学家们又提出它是巨大火山口上形成的气柱的顶端。1978年，宇宙飞船旅行者二号在太空中拍到的照片显示，木星并不是一个固态的星球，而是一个运动的流体，表面是沸腾的湍流，有东西向的水平带。木星大红斑是一个巨大旋流中的飓风系统，旋动在流体木星的上空。它把木星上空的云层推向外边，嵌入在东西风带之内，形成了这行星上一条水平的带状构造。照片显示，红斑中存在着大量小尺度的、非组织性的迅速流动，在一天或不到一天的时间内，涡流出现又消失，但大红斑依然存在，而且长期不变。这真是一个宇宙奇迹。80年代初期，美国年青的天文学家、数学家菲利浦·马尔卡斯（Marcus，Philip），根据致密的氢或氦的运动规律，建立了一组模拟木星气候的流体力学方程组，并编制了计算机程序，试图揭示大红斑的秘密。木星的自转很快，大约每10小时自转一周。这种自旋使其上的一切物体都受到科里奥利力的作用，这个力正比于运动物体的速率，垂直于物体运动的方向，正是这个力驱动了红斑。马尔卡斯用蓝色表示顺时针方向流体的转动，用红色表示逆时针方向流体的转动，中间夹杂有黄色，用计算机绘制美丽的色彩图象。意想不到的事情发生了，不论从哪一种构型开始，由不同颜色间杂组成的棋盘式的花样，在旋转之后蓝色块都要分解成碎片，红色块则越聚越拢，最后汇成一个其中包含着大量小尺度混沌流的卵圆形大红斑，在四周混乱的湍流海洋背景中稳定而相容地存在着。这就是大尺度的红斑！马尔卡斯得出结论说：大红斑是一个非线性作用的产物；一个复杂系统既可以造成湍流，同时也可以相互协调形成一种空间上局域、时间上长寿、相对稳定的相干结构。

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