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特別是關於高階FPK 方程的數值解 ... 你可以找一下美国B.F. Spencer Jr 教授的文章，他早期主要搞得就是高维DPK方程另外下面的这本书你也可以参考一下
书名: <非线性随机动力学与控制—Hamilton理论体系框架>
序
随机动力学之源始，可追溯至二十世纪初物理学者对布朗运动之研究，至今已有百年之历史。其后因各种工程应用之需要，范围逐渐扩大，包括通讯、航天、航海、土木、机械等领域。近年来精益求精，注意力尤集中于难度较深之非线性系统、系统稳定性、及系统控制之发展。朱位秋教授以深厚之数学根底，对此三方面均有显著贡献，在随机动力学领域内，成为国际著名专家之一。其新著“非线性随机动力学与控制”一书，集十余年对此三方面研究之精华于一册，实属学术上重要贡献。书中理论上发展，以统一之哈密尔顿框架为基础，乃朱位秋教授之首创，尤属独特可贵。此书之广受欢迎，可预为朱教授贺。
Y. K. Lin于美国佛罗里达大西洋大学应用随机研究中心
前言
非线性随机动力学系统广泛存在于自然科学、工程学及社会科学之中。例如，强震、强风、强浪等严重随机载荷可使高层建筑、大型桥梁、海洋平台等工程结构产生强烈的非线性随机振动、失稳甚至破坏，因而需要加以控制。又如，在物理、化学、生物学中，噪声对非线性动力学系统可产生多种重要效应，近20年中，物理学界对随机共振进行了大量的研究，近10年来，化学与生物学界的科学家逐渐体会到，噪声在非线性动力学系统中可起积极的建设性的作用。因此，愈来愈多的学者从事非线性随机动力学与控制的研究。
上世纪初Einstein等人对布朗运动的研究标志着随机动力学研究的开端。对非线性随机动力学的研究则始于上世纪60年代初。至上世纪90年代初，对非线性随机振动的研究基本上局限于拟线性系统与单自由强非线性系统。对随机稳定性的研究基本上局限于单自由度线性随机系统。首次通过问题的研究局限于单自由度随机系统。随机分岔研究始于上世纪80年代初，至今也基本上局限于一、二维随机系统。对随机最优控制的研究始于上世纪60年代初，至今基本上局限于线性随机系统的线性二次Gauss（LQG）控制。然而，实际的非线性随机动力学系统往往是多自由度、强非线性的。因此，迫切需要发展多自由度强非线性系统随机动力学与控制理论。但是，这是一项十分困难的任务。
近10年来，作者将非线性随机动力学与控制的研究从Lagrange体系转到Hamilton体系，将非线性随机动力学系统表示成随机激励的耗散的Hamilton系统，根据相应Hamilton系统的可积性与共振性，将系统分成不可积、可积非共振、可积共振、部分可积非共振、部分可积共振五类，提出与发展了随机激励的耗散的Hamilton系统理论，包括Gauss白噪声激励下耗散Hamilton系统的精确平稳解与等效非线性系统法、拟Hamilton系统随机平均法、拟Hamilton系统随机稳定性、随机分岔、首次穿越以及分别以振动最小、稳定度或可靠度最大为目标的非线性随机最优控制理论方法，构成了一个崭新的非线性随机动力学与控制的Hamilton理论体系的框架，特别为解决多自由度强非线性系统随机动力学与控制问题提供了一整套理论方法，得到了非线性随机动力学系统四类能量非等分精确平稳解，打破了自1933年以来一直只有能量等分解的局面。该项研究成果获得了2001年中国高校科学技术（自然科学）奖一等奖与2002年国家自然科学奖二等奖。
本书是上述研究成果的一个系统总结。为便于读者理解，前两章较详细地介绍了Hamilton系统与扩散过程，6.1中介绍了随机稳定性与随机分岔的基本概念与基本方法，8.1中介绍了随机最优控制的基本概念与基本方法，各种理论方法的论述皆配以若干应用例子。上述理论尚待完善与发展，理论的应用更需进一步研究。作者希望本书能起到抛砖引玉的作用，期待更多的学者从事这方面的研究，共同继续发展该理论及其应用。
在本书即将出版之际，作者首先要感谢美国工程院院士、美国佛罗里达大西洋大学应用随机学研究中心主任、工程中Schmidt Chair Y. K. Lin教授与美国纽约州立大学布法罗分校Samuel P. Capen 教授 T. T. Soong的鼓励与支持，作者对随机激励的耗散的Hamilton系统的研究是从访问他们期间开始的，Lin教授还特为本书作了序。感谢国家自然科学基金委员会对此项研究工作的持续资助。感谢黄志龙副教授、应祖光副教授、雷鹰博士、杨勇勤与邓茂林等，他们与作者一起发展了上述理论。感谢吴勇军与刘中华，他们协助我整理手稿与绘制插图。感谢妻子朱巧芝的理解与全力支持。感谢中国科学院科学出版基金与国家自然科学基金优秀研究成果专著出版基金的联合资助。感谢科学出版社在本书出版过程中的全力支持与帮助。
衷心欢迎读者对本书提出宝贵意见与批评指正。
作者 2002年10月于浙江大学
目录
序…………………………………………………………………ⅰ
前言………………………………………………………………ⅲ
第一章Hamilton系统…………………………………………1
1.1Hamilton方程……………………………………………………1
1.1.1 从Lagrange方程到Hamilton方程………………………1
1.1.2 陀螺与非陀螺Hamilton系统………………………………3
1.2Poisson括号……………………………………………………14
1.3Hamilton相流…………………………………………………16
1.4正则变换…………………………………………………………19
1.5Hamilton-Jacobi方程…………………………………………23
1.6可积Hamilton系统……………………………………………29
1.6.1Liouville定理…………………………………………29
1.6.2作用-角变量……………………………………………30
1.6.3环面上相流……………………………………………36
1.6.4Hamilton系统的积分方法……………………………39
1.6.5可积Hamilton系统之例………………………………44
1.6.6Hamilton系统在平衡位置邻域的可积性……………48
1.7不可积Hamilton系统…………………………………………50
1.8部分可积Hamilton系统………………………………………56
1.9Hamilton系统的遍历性………………………………………58
参考文献………………………………………………………60
第二章扩散过程…………………………………………………62
2.1扩散过程及其概率描述………………………………………62
2.1.1Markov过程……………………………………………62
2.1.2扩散过程与Forkker-Planck-Kolmogorov方程……64
2.1.3后向Kolmogorov方程…………………………………70
2.2Wiener过程……………………………………………………75
2.2.1独立增量过程…………………………………………75
2.2.2Wiener过程……………………………………………77
2.3广义随机过程与Gauss白噪声…………………………………84
2.4 随机微分方程………………………………………………86
2.4.1 随机积分…………………………………………86
2.4.2 随机微分与 微分公式…………………………92
2.4.3 随机微分方程……………………………………97
2.5 随机微分方程之解…………………………………………99
2.5.1强解与弱解……………………………………………99
2.5.2稳态解…………………………………………………100
2.5.3精确解析解……………………………………………102
2.5.4数值解…………………………………………………108
2.6 随机微分方程与Kolmogorov方程………………………112
2.7Stratonovich随机微分方程…………………………………116
2.8一维扩散过程的边界…………………………………………122
2.8.1边界的分类…………………………………………123
2.8.2奇异边界……………………………………………125
2.8.3扩散过程的渐近性态与其边界类别之间的关系…131
参考文献………………………………………………………131
第三章精确平稳解…………………………………………134
3.1随机激励的耗散的Hamilton系统……………………………134
3.2Gauss白噪声激励下耗散的Hamilton系统…………………136
3.2.1FPK方程………………………………………………136
3.2.2求精确平稳解之方法…………………………………140
3.3精确平稳解：Gauss白噪声激励下耗散的不可
积Hamilton系统………………………………………………145
3.4精确平稳解：Gauss白噪声激励下耗散的可
积Hamilton系统………………………………………………150
3.4.1非内共振情形…………………………………………151
3.4.2内共振情形……………………………………………156
3.5精确平稳解：Gauss白噪声激励下耗散的部分可
积Hamilton系统………………………………………………161
3.5.1非内共振情形…………………………………………161
3.5.2内共振情形……………………………………………163
3.6Gauss白噪声激励下耗散的陀螺系统的精确平稳解………167
3.7推广……………………………………………………………172
3.7.1更一般的系统…………………………………………172
3.7.2Gauss白噪声与周期激励下耗散的Hamilton系统
的稳态解………………………………………………………174
参考文献………………………………………………………181
第四章等效非线性系统法…………………………………180
4.1引言……………………………………………………………184
4.2Gauss白噪声激励下耗散的不可积Hamilton系统…………188
4.3Gauss白噪声激励下耗散的可积Hamilton系统……………193
4.3.1非内共振情形…………………………………………193
4.3.2内共振情形………………… …………………………201
4.4Gauss白噪声激励下耗散的部分可积Hamilton系统………207
4.4.1非内共振情形…………………………………………208
4.4.2内共振情形……………………………………………217
参考文献………………………………………………………223
第五章随机平均法…………………………………………225
5.1随机平均原理…………………………………………………225
5.2拟不可积Hamilton系统的随机平均…………………………228
5.3拟可积Hamilton系统的随机平均………………………………237
5.3.1非内共振情形…………………………………………238
5.3.2内共振情形……………………………………………246
5.4拟部分可积Hamilton系统的随机平均………………………252
5.4.1非内共振情形…………………………………………253
5.4.2内共振情形……………………………………………257
5.5平稳宽带随机激励下拟可积Hamilton系统的随机平均……265
5.5.1单自由度系统…………………………………………266
5.5.2多自由度系统…………………………………………280
5.6谐和与白噪声激励下单自由度强非线性系统的随机平均…289
5.7有界噪声激励下单自由度强非线性系统的随机平均………296
5.7.1有界噪声………………………………………………296
5.7.2随机平均方程…………………………………………297
参考文献………………………………………………………300
第六章随机稳定性与随机分岔……………………………304
6.1随机稳定性与随机分岔概述…………………………………304
6.1.1随机稳定性……………………………………………304
6.1.2随机分岔………………………………………………312
6.2拟不可积Hamilton系统的渐近稳定性………………………319
6.2.1用平均 方程的Lyapunov指数判定概率
为1渐近稳定性………………………………………319
6.2.2用平均扩散过程的边界类别判定概率渐近稳定性…329
6.3拟可积Hamilton系统概率为1渐近稳定性…………………336
6.3.1拟可积Hamilton系统的最大Lyapunov指数………336
6.3.2线性随机非陀螺系统…………………………………340
6.3.3线性随机陀螺系统……………………………………344
6.3.4非线性随机系统………………………………………350
6.4拟部分可积Hamilton系统概率为1渐近稳定性……………353
6.5求概率为1渐近稳定域的一种新方法………………………356
6.6拟不可积Hamilton系统的的随机Hopf分岔…………………361
6.7Duffing振子的随机跳跃及其分岔…………………………371
6.8拟Hamilton系统的随机同（异）宿分岔与混沌………………376
6.8.1单自由度系统…………………………………………377
6.8.2二自由度系统…………………………………………381
参考文献………………………………………………………383
第七章首次穿越………………………………………………389
7.1时齐扩散过程的首次穿越问题的一般提法……………………389
7.2拟不可积Hamilton系统……………………………………… 393
7.3拟可积Hamilton系统………………………… ………………400
7.4拟部分可积Hamilton系统………………………………………405
7.5谐和与白噪声激励下的单自由度强非线性系统………………412
第八章非线性随机最优控制………………………………416
8.1随机最优控制概论……………………………………………416
8.1.1引言……………………………………………………416
8.1.2随机最优控制问题的提法……………………………417
8.1.3随机动态规划方法……………………………………420
8.1.4部分可观测系统的随机最优控制……………………429
8.2拟不可积Hamilton系统的随机最优控制……………………435
8.2.1一般方法………………………………………………435
8.2.2Duffing 振子的无界遍历控制………………………443
8.2.3滞迟系统的无界遍历控制……………………………446
8.2.4弹簧摆的有界遍历控制………………………………451
8.3 拟可积Hamilton系统的随机最优控制………………………454
8.3.1 基本方法………………………………………………454
8.3.2 非线性阻尼耦合谐振子的无界遍历控制……………457
8.3.3 非线性阻尼耦合的Duffing振子的有界遍历控制…460
8.4 应用ER/MR阻尼器的随机最优半主动控制……………………461
8.5 部分可观测线性系统的非线性随机最优控制…………………468
8.5.1问题的提法……………………………………………468
8.5.2等价的完全可观测随机最优控制问题………………471
8.5.3随机平均………………………………………………472
8.5.4动态规划方程与最优控制力…………………………474
8.5.5最优控制结构的响应…………………………………477
8.5.6LQG控制………………………………………………479
8.5.7数例……………………………………………………480
8.6 随机稳定化………………………………………………………482
8.6.1 拟不可积Hamilton系统：Lyapunov指数法……………483
8.6.2 拟不可积Hamilton系统：边界类别法………………490
8.6.3 拟可积Hamilton系统…………………………………497
8.6.4 拟部分可积Hamilton系统…………………………504
8.7 首次穿越损坏的反馈最小化……………………………………506
8.7.1 拟不可积Hamilton系统………………………………507
8.7.2 拟可积Hamilton系统…………………………………517
8.7.3 拟部分可积Hamilton系统……………………………527
参考文献………………………………………………………530 Thanks for your hints
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