[转帖]非线性力学史话
一、动力学问题一开始就是非线性的，如用牛顿运动定律描述的行星运动微分方程。但历史上专门用非线性力学这一名词，还是1930年代的事。苏联的非线性振动理论学派(创始人Mandel'stam, Palalexi，以及作出重要突破的Andronov)用非线性力学这词代表非线性振动，如Krylov,Bogoliubov1937年所写《非线性力学引论》。<P> 1940年Th. von Karman作了综述报告，概括了当时力学各分支中所遇到的非线性问题以及它们的解法，但Karman没有采用非线性力学这名词。1947年Minorsky写非线性力学，仍和苏联学派一样，限于非线性振动，他在1962年改版时正名为非线性振动。1958年Kauderer写了一本《非线性力学》，包括非线性弹性力学和非线性振动，但前者只占约四分之一篇幅，而且前后两部分内容没有什么内在的联系。1966年《国际非线性力学杂志》创刊，按其编辑方针，内容包括理论和应用力学各个分支(固体、流体以及控制、流变等)中的本质上为非线性的问题。1982年10月在江苏无锡举行的全国非线性力学学术报告会，以及准备在1985年上海举行的国际非线性力学会议，也包括力学各个分支中的非线性力学问题。最后的这种非线性力学，几乎包括力学的大部分，自然比本课程所讲的一些主要非线性现象要广泛得多。 </P>
<P> 二、力学的发展过程表明，对于一些新的概念、理论、方法的引入，通常是从有限自由度( 包括单自由度)开始，而后逐渐转入固体、流体等连续体，这是因为前者比较简单，一些现象容易先被揭示出来。下面列出的非线性现象研究，也主要是就“离散系”力学或“一般力学”范围内而言，它们对于具体流体或固体的应用则是稍后的事。历史上重要的文献很多，只列出一些起关键作用的著述如下。 </P>
<P> 近代非线性力学中许多方法都可追溯到Poincare在十九世纪末的两套著作。一套是关于微分方程定性理论的几篇论文，总名为《由微分方程所定义的积分曲线》(1880年代)［(注1)188 1，1882，1885，1886］，这是现在常 用的所谓定性方法、拓扑方法等的最早系统著作。另一套是《天体力学新方法》(共三卷，1890年代）［(注二)1892，1893，1899］，其中不仅展开了小参数法对非线性方程的应用，而且也引进了许多重要的概念，如同宿的 (homoclinic)和异宿的(heteroclinic)双重渐近轨道，在1970年代又重新获得应用。第一个引进分叉(bifurcation)这名词和概念的，也是Poincare，他是在研究旋转流体平衡形状(与天体演化学说有关)时考虑到在某些转速时平衡形态可能有几种同时存在而引进这个名词的。 </P>
<P> 和Poincare同一时代而又更多从分析角度研究非线性问题的，是俄国的Lyapunov。他的博士论文《论运动稳定性一般问题》(1892)是有关这一学科的经典性著作。他提出两种判据稳定性的方法，现在用得最多的是第二套方法，或者简称为Lyapunov方法。到了1960年代以后，原先只在离散系统和控制理论中应用的所谓Lyapunov函数、Lyapunov指数等等，开始在流体力学、固体力学的稳定性研究中显示出作用。 </P>
<P> 在无线电技术的研究中，van der Pol1926年提出重要的非线性现象——自激振动 (self-excited vibration)。现在用van der Pol名字命名的方程 </P>
<UL>x^(..)+ε(x^2-1)x^.+x=0</UL>就是在研究这类振动中提出的。能量保守的自由振动只是一种理想化模型，在实际系统中总会由于阻尼而振动衰减下来。强迫的周期力可以使振动不衰减而维持着，但这是靠外来的力量。自激振动第一次阐明了一个系统怎 样依靠内部的常能量源而维持振动的，这是一种“ 活”的系统。顺便可提一下，van der Pol用非线性振荡器来模拟心脏(它当然不是自由振动也不是强迫振动)，并且利用四个振荡器产生出和心电图波形很象的振动。
<P> 苏联振动理论学派对非线性理论作了重要贡献。Andronov的功绩在于他把Poincare的极限环 (limit cycle)这个数学概念和van der Pol所揭示的自激振动这个物理现象两者结合起来，为前者找到广泛的应用而为后者找到合适的数学理论(1929年)。Andronov的一生是在“相平面中生活”的，即他寻找各种各样的自激振动，并在相平面上进行分析。Andronov及其同事、学生们在这方面的研究总结于1937年的《振动理论》一书中。这本经典著作1959年有增订版，并在80年代出版了中文译本(80年代苏联再次重版)。Andronov学派对二维常微分系统的性质作了比较彻底的研究，总结于1960年代(Andronov已死)的著作，这一著作有两种英文译本。Andronov还和数学家Pontryagin提出“粗壮系统”的概念，在英语文献中，粗壮系统称为结构稳定系统(structurally stable systems)。 </P>
<P> 苏联振动学派另一贡献是发展了一套非线性力学的定量计算方法，现在通称为KBM方法即是由Krylov(N.M.Krylov),Bogoliubov所创立，后由Mitropol'skii所发展的。 </P>
<P> 继承Poincare在数学方面进行研究的，有美国的G.D.Birkhoff，其代表著作是《动力学系统》(1927年)，对遍历(ergodic)理论作了贡献。 </P>
<P> 苏联在1920-1930年在非线性力学方面获得的重要成果在十年后才为西方学者所获悉。四十年代初他们迅速翻译、介绍了苏联的有关著作。 </P>
<P> 1942年Hopf发展了Lyapunov稳定理论中的临界情况。他的结果现在通常被称为Hopf分叉 (Hopf bifurcation)。 </P>
<P> 前已提到，1940年von Karman总结了当时力学各个分支中的非线性问题及其解法。从以下列出的报告题目和小标题也可看出，Karman已意识到非线性问题对力学的重要性，也注意到非线性振动中成果的普遍意义。Karman文章的名称是《工程师们和非线性问题打交道》，工程师就是指力学家(Karman自称是工程师，不是科学家)，“打交道”(grapple)有“抓住”、 “搏斗”的含义。他文章各节的名称是： </P>
<UL>(1)非线性振动，一般说明 <BR>(2)自激非线性振动(张弛振动(relaxation vibration)) <BR>(3)次谐波共振 <BR>(4)弹性力学中的非线性问题，大挠度 <BR>(5)塑性、松散介质力学 <BR>(6)不可压缩流体动力学 <BR>(7)流体射流 <BR>(8)有限幅度波 <BR>(9)粘性流体 <BR>(10)可压缩流体。</UL>1940年代在连续体力学方面有两项成绩值得注意：苏联的Landau和上述Hopf提出的关于湍流是由多次分叉形成的模式(1941)，以及荷兰Koiter关于弹性系统稳定性的博士论文(1945年，荷兰文，较后才为英语世界所熟悉)。Landau?Hopf的分叉导致湍流的模型后来有异议(见下文)，作为非线性失稳的最简单模型在Karman、钱学森(1939)等人的工作中已有反映；尽管如此，这两方面的成果反映了非线性现象的认识正在向广处发展，正如有些作者指出的，数学中的分叉，流体力学中叫湍流、弹性力学中则叫屈曲。
<P> 1950年代美国数学家Lefschetz主编了五卷《非线性振动论文集》(第五卷1960年出版)。在揭示van der Pol方程受迫振动的性质时，英国女数学家Cartwright发现了许多奇怪现象，如极低频(周期很长)的次谐波解，正是这些问题，后来在1960年代促使Smale提出他著名的马蹄(horseshoe)变换。1950年代起，日本的林千博(Hayashi)长期从事非线性振动的电模拟计算，他的许多实验结果对后来60～70年代一些非线性现象研究提 供了例证。在Abraham和 Shaw所拟就的动力学(dynamics,也可认为包括抽象的动态系统在内)历史人物的“光荣榜”( Hall of fame)中，列进了Cartwright和Hayashi(这个名单是以伽利略为开头的)。 </P>
<P> 1960年代和1970年代是非线性研究突飞猛进的时代。首先是关于哈密顿系统(或保守系统)的研究中，提出了著名的卡姆(KAM)定理，即用其发现者Kolmogorov，Arnold和Moser名字命名的定理，开始揭示了保守系统中的浑沌现象(限于抽象理论)。接着是Smale在考虑对 Cartwright等人结果的几何解释时提 出了马蹄变换，为70年代浑沌理论作好了重要的数学理论准备。在Abrham和Marsden《力学基础》(二版)开头，列出了作者们认为对力学作出杰出贡献的历史人物照片，其中有牛顿、爱因斯坦，而最早的是Aristotle，最晚的是Smale (1930年生)和Arnold(1937年生)。 </P>
<P> 给出浑沌解的第一个例子的，是1963年Lorenz的文章《确定性的非周期流》，他是在企图分析长期天气预报是否可能时，从对流问题中提炼出一组三维常微分方程组，且发现它的解是浑沌性的(文章中用“非周期”的名称)。Lorenz被誉为“浑沌领土的开拓者”。 </P>
<P> Ruelle和Takens在1971年创造性地提出，湍流的形成并不是象原先Landau和Hopf所设模型那样，而是可由常微分方程的定性理论得到解释。这种假设为湍流理论这个近百年的难题提出了解决的新希望，也反过来对浑沌和与之相关的数学理论(马蹄)、奇怪吸引子理论(strange attractor theory)起了极大的推进作用。近十年来(70年代后半期起)动力学系统的内在随机性在许多学科领域中得到重视，从力学、物理学各分支、数学、化学，一直到生态学(首先是R.May，他在1976年Nature上的文章是有关一维迭代中怎样出现浑沌的一篇经典文章)。奇怪吸引子和浑沌研究的浪潮方兴未艾，比起1960年代中期开始，1972年曾震动许多科学分支的突变理论(catastrophe theory)来，浪潮来势要猛烈得多，影响的面也要宽得多。人们过去对于“确定论”和“随机论”，往往认为是“非此即彼”，而现在非线性系统研究的深入，正在两者之间沟通起来。前面已经提过，明确指出这种观点的，是Heisenberg，这也许是因为Heisenberg一方面是量子力学的奠基人，但他同时也是对湍流理论有过深入研究的工作者，所以尽管他并没有看到后来70年代那样的浪潮，但明确指出非线性物理现象中的不可预测性。 </P>
<P> 作为完整的非线性力学，也许得加上关键性的关于空间分布上的特殊非线性效应，如以Riem ann-Hugoniot为代表的激波，1844年Scott Russell在马背上观察到的孤立波， D.J.Korteweg和G.de Vries1895年的文章等等。但本课程只准备涉及在时间序列上出现的非 线性效应，这些问题就留给“非线性波”这类课程去说了。 </P>
<P> 三、在当代出版的论著中，能作为读者系统地由浅入深的阅读材料的，我推荐： <BR>Guckenheimer,J.和Holmes,P.著，《非线性振动、动力学系统和向量场的分叉》(Nonlinear Oscillations，Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields),Springer -Verlag,1983年，共453页，系《应用数学丛书》(Applied Mathematical Sciences)之42。 (上海交大凌复华等已译毕)。 </P>
<P> 这两作者的意图是继承Andronov《振动理论》的传统，并由二维推广一维成为三维。这个“ 推广一维”并非易事，因为在二维系统中，一条闭曲线把相平面分为内外两部分，如果轨线不准自相交割(在自治系统中是这样)，系统中至多出现极限环，这正是Andronov一生的功夫所在。从二维到三维(或者在二维相平面上容许自相交叉的轨线)，闭曲线不能把三维空间分成两部分。至少从目前看来，二维到三维是关键的推广，这一推广一下子把确定论和随机论的界限打破了。这两作者很好地实现了他们的意图。本课程试图作为引导读者阅读该书的一个阶梯。课程中有关的定义、概念都并不作严格的定义，读者可参考该书。该书最后有些习题达到博士学位论文题目的水平。 </P>
<P> 哈密顿系统和耗散系统(dissipative system)在许多非线性现象上不相同。上述书偏重耗散系统，对哈密顿系统也有必要的叙述。对于更多地对哈密顿系统感兴趣的读者(如天体力学工作者)，建议同时看上述《应用数学丛书》之38：Lichtenberg和Liberman著：《规则运动和随机运动》(Regular and Stochastic Motion),1983年，它从哈密顿正则方程讲起，但也涉及一些耗散系统。两者正好相互补充。</P>
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