[转帖]100个著名初等数学问题
<P>100个著名初等数学问题 <BR>100 Great Problems of Elementary Mathematics <BR>|算术题1-26|平面几何题27-41|圆锥曲线和摆线题42-66| <BR>|立体几何题67-76|航海与天文学题77-88|极值题89-100|<BR>第01题 阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum <BR>太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。 <BR>在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛 <BR>，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6 <BR>+1/7。 <BR>在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数 <BR>是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。<BR>问这牛群是怎样组成的？<BR>第02题 德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac <BR>一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都 <BR>是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。<BR>问这4块砝码碎片各重多少？ <BR>第03题 牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows<BR>a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；<BR>a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；<BR>a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了； <BR>??求出从a到c"9个数量之间的关系？ <BR>第04题 贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens <BR>在下面除法例题中，被除数被除数除尽：<BR>* * 7 * * <BR>┏━━━━━━━━━━ <BR>* * * * 7 * ┃* * 7 * * * * * * * <BR>╯* * * * * * <BR>━━━━━━━<BR>* * * * * 7 * <BR>* * * * * * *<BR>━━━━━━━<BR>* 7 * * * *<BR>* 7 * * * *<BR>━━━━━━━<BR>* * * * * * *<BR>* * * * 7 * * <BR>━━━━━━━<BR>* * * * * * <BR>* * * * * * <BR>━━━━━━━ <BR>0 <BR>用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢 <BR>第05题 柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem <BR>某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每 <BR>个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？ <BR>第06题 伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misa <BR>ddressed letters<BR>求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。 <BR>第07题 欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division<BR>可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？ <BR>第08题 鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couples <BR>n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的 <BR><BR>妻子并坐，问有多少种坐法？ <BR>第09题 卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion <BR>当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂。 <BR>第10题 柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem <BR>求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。<BR>第11题 伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem <BR>确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np。 <BR>第12题 欧拉数The Euler Number<BR>求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值。 <BR>第13题 牛顿指数级数Newton's Exponential Series<BR>将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数。<BR>第14题 麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series <BR>不用对数表，计算一个给定数的对数。 <BR>第15题 牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series <BR>不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数。 <BR>第16题 正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tan <BR>gent Series<BR>在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于 <BR>两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列。 <BR>试利用屈折排列推导正割与正切的级数。 <BR>第17题 格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series<BR>已知三条边，不用查表求三角形的各角。<BR>第18题 德布封的针问题Buffon's Needle Problem <BR>在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面 </P><P>上，问针触及两平行线之一的概率如何？ <BR>第19题 费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem<BR>每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示。<BR>第20题 费马方程The Fermat Equation<BR>求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数。 <BR>第21题 费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem<BR>证明两个立方数的和不可能为一立方数。 <BR>第22题 二次互反律The Quadratic Reciprocity Law <BR>（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式<BR>（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2] <BR>第23题 高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra <BR>每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根。 <BR>第24题 斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots <BR>求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数。 <BR>第25题 阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem<BR>高于四次的方程一般不可能有代数解法。<BR>第26题 赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem <BR>系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不 <BR>可能等于零。 <BR>第27题 欧拉直线Euler's Straight Line <BR>在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上， <BR>而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接 <BR>圆的圆心至各中线的交点的距离。 <BR>第28题 费尔巴哈圆The Feuerbach Circle<BR>三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一 <BR>个圆上。 <BR>第29题 卡斯蒂朗问题Castillon's Problem <BR>将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆。 <BR>第30题 马尔法蒂问题Malfatti's Problem <BR>在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切。<BR>第31题 蒙日问题Monge's Problem <BR>画一个圆，使其与三已知圆正交。 <BR>第32题 阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius<BR>画一个与三个已知圆相切的圆。<BR>第33题 马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem <BR>证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出。 <BR>第34题 斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem <BR>证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便 <BR>可作出。<BR>第35题 德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem <BR>画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边。<BR>第36题 三等分一个角Trisection of an Angle <BR>把一个角分成三个相等的角。 <BR>第37题 正十七边形The Regular Heptadecagon <BR>画一正十七边形。 <BR>第38题 阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi{/color] <BR>设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米<BR>德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1 <BR>的等比中项。假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项。这个方法叫 <BR>作阿基米德算法。<BR>第39题 富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Qua <BR>drilateral <BR>找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系。（注：一个双心或弦切 <BR>四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形） <BR>第40题 测量附题Annex to a Survey<BR>利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。 <BR>第41题 阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem<BR>在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形。<BR>第42题 由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii <BR>已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆。<BR>第43题 在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram <BR>在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点。 <BR>第44题 由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents <BR>已知抛物线的四条切线，作抛物线。 <BR>第45题 由四点作抛物线A Parabola from Four Points <BR>过四个已知点作抛物线。<BR>第46题 由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points <BR>已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线。<BR>第47题 范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem <BR>平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是 <BR>什么？ <BR>第48题 卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem <BR>一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描 <BR>出的轨迹是什么？<BR>第49题 牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem <BR>确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹。 <BR>第50题 彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem <BR>确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹。 <BR></P>
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回复：（mariah）[转帖]100个著名初等数学问题
第51题 作为包络的抛物线A Parabola as Envelope <BR>从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线 <BR>段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，<BR>2，1，0。 <BR>求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线。<BR>第52题 星形线The Astroid <BR>直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络。<BR>第53题 斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid <BR>确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络。 <BR>第54题 一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circu <BR>mscribing a Quadrilateral<BR>一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？ <BR>第55题 圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections<BR>确定一个圆锥曲线的曲率。 <BR>第56题 阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola <BR>确定包含在抛物线内的面积。 <BR>第57题 推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola <BR>确定双曲线被截得的部分所含的面积。 <BR>第58题 求抛物线的长Rectification of a Parabola <BR>确定抛物线弧的长度。<BR>第59题 笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem <BR>(Theorem of Homologous Triangles) <BR>如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直 <BR>线上。反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶 <BR>点连线通过一点。 <BR>第60题 斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction<BR>由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素。<BR>第61题 帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem <BR>求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上。 <BR>第62题 布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem<BR>求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点。<BR>第63题 笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem<BR>一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一 <BR>个对合的四个点偶。一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该<BR>四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶。<BR>*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交 <BR>点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）。<BR>第64题 由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements<BR>求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的。 <BR>第65题 一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line<BR>一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们 <BR>的交点。<BR>第66题 一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point <BR>已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该<BR>曲线的切线。<BR>第67题 斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planes <BR>n个平面最多可将整个空间分割成多少份？ <BR>第68题 欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem<BR>以六条棱表示四面体的体积。 <BR>第69题 偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines 2<BR>计算两条已知偏斜直线之间的角和距离。 <BR>第70题 四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron <BR>确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径。 <BR>第71题 五种正则体The Five Regular Solids <BR>将一个球面分成全等的球面正多边形。<BR>第72题 正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a <BR>Quadrilateral<BR>证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象。 <BR>第73题 波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem <BR>一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四 <BR>面体的各隅角的斜映射。 <BR>第74题 高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry<BR>正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面， <BR>三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和 <BR>等于零。 22239575© -- 932338726 <BR>第75题 希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection<BR>试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法。<BR>第76题 麦卡托投影The Mercator Projection<BR>画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的。<BR>第77题 航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome <BR>确定地球表面两点间斜驶线的经度。<BR>第78题 海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea <BR>利用天文经线推算法确定船在海上的位置。 <BR>第79题 高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem <BR>根据已知两星球的高度以确定时间及位置。<BR>第80题 高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem <BR>从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的 <BR>高度。 <BR>第81题 刻卜勒方程The Kepler Equation <BR>根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角。 <BR>第82题 星落Star Setting <BR>对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角。 <BR>第83题 日晷问题The Problem of the Sundial<BR>制作一个日晷。<BR>第84题 日影曲线The Shadow Curve <BR>当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点<BR>投影所描绘的曲线。 <BR>第85题 日食和月食Solar and Lunar Eclipses <BR>如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知 <BR>，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值。 <BR>第86题 恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods <BR>确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期。<BR>第87题 行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets <BR>行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？<BR>第88题 兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem <BR>借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间。 <BR>第89题 与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number次方根为最大？<BR>第90题 法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem <BR>在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形。<BR>第91题 费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli <BR>试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小。 <BR>第92题 逆风变换航向Tacking Under a Headwind <BR>帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？ <BR>第93题 蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)<BR>试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预<BR>定的容积，而其表面积为最小。 <BR>第94题 雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem<BR>在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大 <BR>？）<BR>第95题 金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus <BR>在什么位置金星有最大亮度？<BR>第96题 地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit <BR>慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？ <BR>第97题 最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight <BR>在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？<BR>第98题 斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem <BR>在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面 <BR>积？<BR>第99题 斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem<BR>在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积。<BR>反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长。<BR>第100题 斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem <BR>在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积。 <BR>在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面。<BR> <P>有趣的东西</P>hehe
interesting 数学魅力所在
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