[分享]非线性力学理论及其应用
南京大学九八物理学系 楼晓原 <BR><BR>［摘要］本世纪二十年代以来，在力学和工程方面，非线性科学得到了飞速的发展和广泛的应用。本文通过综述非线性力学的原理、特点及其应用前景，为进一步学习非线性力学及其相关学科提供参考。<BR><BR>［关键词］非线性科学，力学，非线性力学。<BR><BR>1939年底，冯·卡门在美国科学促进会(American Association for the Advancement of Science)和美国数学学会(American Mathematical Society)做了题为“工程师与非线性问题拼搏”的讲演，在此讲演中，这位力学大师(钱学森的导师)充分论证了非线性力学在其以后几十年间会对世界产生的重大影响，他提出，当时似乎处于物理学旁观地位的力学，定会通过在非线性方面的发展，而促进世界工业的进步。<BR><BR>半个世纪后的今天，非线性力学已不再停留在理论阶段，无论在航空工业、材料工业、还是建筑工业，都发挥着重要作用。它已成为整个物理学，尤其是力学的重要分支，值得我们研究和探讨。<BR><BR>1、线性与非线性 <BR><BR>什么是非线性力学？要想解决这个问题，我们先探讨一下“线性”和“非线性”的关系。线性和非线性本来是数学名词。谓线性是指量与量之间的正比关系，如用直角坐标形象画出来，便是一根直线。非线性则与之相反，无正比性质，因此更复杂，在线性系统中，部分之和等于整体，描述系统的方程遵从线性叠加原理，即方程的不同解加起来极为解。非线性系统则叠加原理失效。<BR><BR>为了更好的区分线性系统与非线性系统，我们从其两者之牺牲的特点入手，进行分析：(1) 线性系统<BR><BR>① 均匀性：首先它表现在系统量在空间分布上均匀，其次表现在系统各要素之间相互作用的权重在时间、空间上均匀。例如，一根线性弹簧的恢复力与被拉伸长度之比不随时空而变，其圆频率ω为常数，即是均匀的。<BR><BR>② 独立性：两个不同因素的组合作用等于每个因素单独作用的简单叠加，遵守线性叠加原理。如对于线性弹簧，则表现在每次拉伸1CM而拉5次的力之和等于一次拉5CM的力。<BR><BR>③ 可逆性：线性系统中将时间T反转变为T=-T，那么将沿同一轨迹回到原状态，例如牛顿第二定律，F=ma，如果T=-T，它的形式是不变的，将沿原运动的逆运动运行。<BR><BR>(2) 非线性系统<BR><BR>① 非均匀性：表现在空间颁布、作用方式、效果随时间、地点不同而不同，如我们熟知的台风，其便是复杂的非线性系统，它内部是不均匀的。<BR><BR>相干性：系统内部各要素相互约束，相互反馈，相互干扰乱的作用，这表现在线性叠加原理失效。在光干涉、衍射中，这种例子较多，例如两列相干光叠加，光强分别为I1和I2，则合成波光强在一般情况下不等于两者简单的代数和，而是I=I1+I2(其中为位相差) <BR><BR>② 不可逆性：这是非线性系统的普遍特征，生命活动不可逆每日天气不可逆，深化行为可逆，其主要原因便是由于非线性系统的非均匀性(主要是时空上的不均匀)，使得系统内部各要素的重要性及作用不对称。<BR><BR>另外，线性与非线性在物理现象上区分又有以下特征：在运动形式上，线性物理现象为时空的平滑变化，可用性能良好的函数(解析函数)表示；而非线性物理现象则为不规则变化，存在跃变。从物理系统对外界影响上不怕牺牲 响应平缓，光滑，稳定性好，往往表现为对外界影响成比例渐变。而非线性系统中参量的极微小变化，在关节点上，都会引起系统运动形式定性的变化，并产生与外界激励本质不同的行为。<BR><BR>2、非线性力学分析问题的方法 <BR><BR>非线性运动(一切变化都某种“运动”)实际上是一种无组织的混乱状态，是无序、复杂的现象。对于处理线性力学，我们已有一套行之有效的方法，如傅里叶变换，拉普 拉斯变换等，以往的力学在解决线性力学问题方面已达到很高的水平，正确的列出方程，正确的求解力学过程已成为研究传统力学问题的普遍方法。但非线性方程则“个性很强”只能具体问题具体分析。<BR><BR>在分析非线性问题时，我们毫无例外的从非线性系统的两个极端方向突破。一方面从可积系统的一端，研究无穷多自由度的非线性偏微分方程的一端，发一套系统的数学方法，对一些类型的非线性方程给出。另一方面，在自然界，可积分的物理现象毕竟占极少的一部分，从不可积系统出发，都能解决更多问题，现在，在天体物理等领域对一些看似简单的不可积系统的研究中，发现一种复杂的运动形式……混沌运动。<BR><BR> 在非线性力学的研究中，计算机成为重要的研究手段，使我们可以近似解决一些解析手段<BR><BR>法处理的问题，因此“计算物理”这一新学科分支也成为物理学家手中的利器。<BR><BR>3、非线性力学的典型问题： <BR><BR> 生活大千世界中，非线性的物理现象可以说多如牛毛，而在其中极其经典的，影响人类<BR><BR>学进程的非线性力学问题很多，如三体问题，非线性振动，孤立波与孤立子，湍流，非线性<BR><BR>学问题等待，由于篇幅所限，现举几个典型物理模型加以分析：<BR><BR>(1) 三体问题；学过《力学》的同学一定都了解“三体问题”之物理现象，其主要所含的基<BR><BR>问题是，三个质点在万有引力作用下如何运动。我们用牛顿力学的万有引力定律发言解决所<BR><BR>的“两体运动”，可以精确的求解出两个质点在万有引力作用下的运动轨迹，即为椭圆，还<BR><BR>任意时刻运动状态。那么再加入一个质点，三个质点会如何运动呢？<BR><BR> 这个问题在牛顿时代，就已提出，在解决天体九大行星间的作用上，也正是问题的写照<BR><BR>其在于给定初始位置及速度，并不能用经典力学运动方程求精确解，确定以后任意时刻的位<BR><BR>与速度，从而确定其轨迹。<BR><BR> 这是为什么呢？这主要是由于用牛顿力学所严格给出的三体运动方程是一组非线性方程<BR><BR>无法求其解析解。若我们用法国数学家庞加莱的简化艺术形式，即其中体为两个行星，另一<BR><BR>为一颗宇宙尘埃，由于质量比很大，于是只考虑尘埃运动。我们将条件输入计算机通过机器<BR><BR>示你会发现，尘埃的运动进杂乱无章的，并且因为初始条件的任何微小偏差，都会导致计算<BR><BR>果严重失实(即“蝴蝶效应”)，这是非线性力学现象的普遍特征，也是“混沌”扔雏形。<BR><BR>(2) 湍流问题：湍流被称为是经典物理学的最后的疑难。湍流问题难在哪里？其关键是，它<BR><BR>一个真正我“多体”非线性问题。其自由度可以用雷诺数(RE)的次估计，即使RE为104，其<BR><BR>由度也高达109，相当于目前计算机的上限。湍流是多自由度的，在无规则背景下进行的大<BR><BR>度变化。其过程相当复杂。以液体流动为例，当流速较小，出现我们已熟知的层流，但当流<BR><BR>达某一临界值，层流便 被破坏形成湍流。实验证明，临界值Recr约为2300——2800，当R<BR><BR><Recr时为层流，RE>Recr时为明显的例子便是点燃的香烟，烟雾一半部分为层流，上段出现<BR><BR>机转析打旋的烟，则为湍流。<BR><BR>(3) 正如上例所述，湍流普遍存在于大气运动，海洋潇洒，锅炉室及血液流动之中。即使我<BR><BR>不考虑它的空间结构，液体力学方程一紊乱的多自由度过程。因此对于如由非线性力学特点<BR><BR>立理想模型，假设其是由少数自由度，经空谈而形成的复杂无规则运动，都有益于我们的<BR><BR>作。<BR><BR>4、非线性力学的作用前景 <BR><BR>站在世纪之交的人们，面临着自然观由机械论到非线性的转变。如今，从航空航天到大型<BR><BR>木、海洋工程，从气象预报到生态保护，从空间天体到基本粒子，核心困难往往目送强非线<BR><BR>作用及其人空谈问题上，而归根到底，就是力学解决模型的建立上。显然非线性力学是理论<BR><BR>实践，科学与工程的交汇点。记得1940年美国Tacoma大桥在大风中的坍塌，正是由于设计师<BR><BR>了解风和大桥的非线性只按静载设计造成的。如果物理学不在非线性力学领域有所突破，很<BR><BR>类似的重大问题都将无法解决。<BR><BR> 正如前中科院院长，物理学家周光如院士所述：“我们看到的将是与牛顿、爱因斯坦创建的决定性的、简单和谐的模式不同的世界，是一个深化的、开放的、复杂的世界，这是一幅更接近真实的世界图景。
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