数学与非线性科学 - 声振论坛 - 振动,动力学,声学,信号处理,故障诊断

SQP 发表于 2005-12-10 18:22

非光滑力学是目前一个不错的研究方向

非线性力学中存在一大类包含单侧约束条件的问题，这些约束条件要么施加于边界上，要么施加于域内。单侧约束条件的存在，控制着某些力学量只能在由一组不等式定义的可行集内进行变分，从而导致力学问题的变分原理要么是不等式形式，要么包含不可微的函数形式。
对于单侧约束问题的研究，早期的工作可以追溯到Fourier于1789年在Journal de l’École Polytechnique上发表的一篇论文。对于单侧变分问题，Fourier建立了一组关于虚功的不等式组，并且给出了虚位移与约束反力之间满足的一个关系，这个关系用现代的观点分析等价于接触条件中的两个不等式关系。然而，由于缺乏足够的数学工具，此后相当长的时间内，关于不等式问题研究的进展相当缓慢。关于力学中不等式问题研究的真正兴起，应归功于20世纪中期数学上处理不等式约束问题的成熟，如变分不等式、凸分析和数学规划等理论的发展。变分不等式是Fichera于1964年研究经典弹性接触问题—Signorini问题的变分原理时创立的，其力学含义为不等式形式的虚功原理，利用变分不等式模型，Fichera讨论了Signorini问题解的存在性和唯一性；凸分析最早在力学中的应用源于1966年Moreau对受单侧约束的有限自由度动力问题的研究，通过类比经典力学中双侧边界条件的“势(potential)”的概念，Moreau针对单侧边界条件引入了“超势(superpotential)” 的概念（这个概念后来在凸分析中被进一步发展为“次梯度”的概念），“超势”刻画了一种凸的、允许为不可微和非有限的能量泛函；而数学规划的理论和算法被用于研究不等式力学问题始于Maier对于弹塑性结构分析问题的研究，继1964年Cottle和Dantzig关于互补问题的奠基性工作，Maier通过利用一般塑性增量理论中的屈服函数与塑性乘子之间的互补关系，根据KKT条件及二次规划的对偶理论得到完整塑性分析的二次规划模型。
数学的介入一般被认为是一门学科正式诞生的标志。Fichera、Moreau和Maier的工作均是通过发展或借用必要的数学工具来处理受不等式条件约束的力学问题，这些数学工具的引入不仅极大地方便了当时对力学中各类不等式问题的研究，同时，随着凸分析与非凸分析、变分不等式与半变分不等式、线性与非线性互补问题以及非光滑优化等应用数学的不断发展，进一步推动了含单侧约束问题研究的深入发展。1988年前后，Panagiotopoulos、Moreau等出版了3部著作，对于此前关于力学中不等式问题的研究工作做了总结，并由Panagiotopoulos将正式其命名为“非光滑力学”。现在看来，非光滑力学的诞生和发展主要是有两个原因，一是为研究涉及不可微或受不等式约束的力学问题提供完整的理论分析体系，如最完整、简洁的数学模型提法，以及这些数学提法的数学理论问题；二是为这些力学问题的求解提供方法，特别是针对工程实际问题，给出有效的数值求解策略。作为一门诞生还不到30年的力学分支，非光滑力学的研究远远不及经典力学那么完善和成熟，但是其在经典力学所无能为力的很多问题上却显示了极强的潜力，特别是针对弹塑性问题、摩擦接触问题和冲击问题等传统非线性力学问题，非光滑力学不仅在理论上提供了分析的完整工具，还为构造高效的数值算法提供了新的思路；而且，由于非光滑力学所依托的数学的内在一致性，使得非光滑力学对于涉及非凸问题研究的扩展显得非常自然和容易。截至目前，非光滑力学的研究在多个方面取得了进展，特别是一些基本的概念，理论和分析手法已经逐步成形。如，关于非光滑力学基本数学模型及其变分原理的研究，内容涉及静力、动力和冲击等问题的研究，非光滑力学系统的特征值和稳定性问题研究，非光滑结构灵敏度分析、结构设计和控制问题研究，以及各类非光滑力学问题的数值方法的研究，等等。

adminftp 发表于 2005-12-11 11:34

回复：（SQP）非光滑力学是目前一个不错的研究方向

关键还是在算法上的研究

728 发表于 2005-12-11 23:13

当然是现在数学上研究了，

superliu 发表于 2005-12-23 21:55

佩服，斑竹数学功力

jiyuyunlh 发表于 2005-12-26 11:55

很难说

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