询问11楼
照你所画，如果特征值没有穿越横轴（即稳定性没有发生变化），那么特征值的迹线应该与横轴相切，即实部的导数为零，那么{\miu}_{k}点就不是Hopf分岔点。照你所说，如果迹线与横轴不相切的话，那么在{\miu}_{k}点处，将只能出现“尖点”的情况，也就是说这一点实部对于参数不可导，这样的话能满足导数不为零的条件吗？这一点应该就不是Hopf分岔点了吧？
所以我认为，发生Hopf分岔，必然伴随平衡点稳定性的改变，并伴随有极限环的产生（或湮灭）。
希望能与各位讨论。谢谢！
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