xray 发表于 2007-12-29 15:20

极值点性质的证明问题

对于一个连续可微的函数，下面命题：
两个极大（小）值点之间必有一个极小（大）值
如何证明啊？

yelv123 发表于 2007-12-29 19:03

涉及到两个定理
（1）若函数http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image845.gif可导，且http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1568.gif是http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image845.gif的极值点，则有http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1569.gif，即http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1568.gif是http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image845.gif的驻点，（驻点即导函数的零点）
（2）第一充分条件：若函数http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image845.gif在http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1570.gif内连续，http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1568.gif是http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image845.gif的驻点或者http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1568.gif是http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image845.gif的不可导点，若在http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1568.gif附近的两侧http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1441.gif异号，则http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1571.gif是极值。明确地说，若在http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1568.gif左侧http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1572.gif，在http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1568.gif右侧http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1573.gif，则http://col.njtu.edu.cn/course/xnjp/lxy/wjf/gaodengshuxue/char3/Image1571.gif是极大（小）值。

本题证：不妨设a1、a2分别为函数f（x）的极大值点（设a1<a2）
因为，f（x）为一个连续可微的函数，由定理（1）有f '(a1)=f '(a2)=0
由第一充分条件，存在a1的右邻域(a1,a1+delta1)使得x属于(a1,a1+delta)，有f'（x）<0
a2的左邻域(a2-delta2,a2)，使得x属于(a2-delta2,a2)，有f'(x)>0
又因为：f（x）连续，所以存在e属于(a1,a2)，使得若在e左侧f'（x）<0，在e右侧f'(x)>0,则f(e)是极小值。

xray 发表于 2007-12-29 19:36

回复 #2 yelv123 的帖子

“ f'（x）连续，所以存在e属于(a1,a2)，使得若在e左侧f'（x）<0，在e右侧f'(x)>0 ”

这是根据哪个定理啊？前面仅仅是a1的右邻域满足f'（x）<0，而不是e的左邻域啊？

我觉得，根据f'（x）连续，仅仅能推出: 存在e属于(a1,a2)，使得f'(e)=0 啊？

此外，这个性质的证明可以在哪本书上查到啊？

yelv123 发表于 2007-12-29 20:56

原帖由 xray 于 2007-12-29 19:36 发表 http://www.chinavib.com/forum/images/common/back.gif
“ f'（x）连续，所以存在e属于(a1,a2)，使得若在e左侧f'（x）0 ”

这是根据哪个定理啊？前面仅仅是a1的右邻域满足f'（x）
因为
存在a1的右邻域(a1,a1+delta1)使得x属于(a1,a1+delta)，有f'（x）<0

a2的左邻域(a2-delta2,a2)，使得x属于(a2-delta2,a2)，有f'(x)>0
f '（x）连续，则在（a1+delta，a2-delta2），f '(x)有一个变号啊，变号的界限就是e啊

[ 本帖最后由 yelv123 于 2007-12-29 20:59 编辑 ]

xray 发表于 2007-12-29 21:35

回复 #4 yelv123 的帖子

噢，基本上懂了，谢谢啊！

不过还有一点小疑问：在（a1+delta，a2-delta2），也可能存在多个变号的过程啊（比如有多个极值点），如何能肯定必然至少有一个从负到正的变号？有没有哪个定理来保证这个？（虽然这个看起来很直观）

yelv123 发表于 2007-12-30 00:07

原帖由 xray 于 2007-12-29 21:35 发表 http://www.chinavib.com/forum/images/common/back.gif
噢，基本上懂了，谢谢啊！

不过还有一点小疑问：在（a1+delta，a2-delta2），也可能存在多个变号的过程啊（比如有多个极值点），如何能肯定必然至少有一个从负到正的变号？有没有哪个定理来保证这个？（虽然 ...
你题目里面限制了在两个极大值（极小值）之间，如果还存在一个变号，那么极小值点（极大值点）的下个变号点一定对应于极大值点（极小值点），这时那就不止仅仅的两个极大值（极小值）点了。
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