数学与非线性科学 - 声振论坛 - 振动,动力学,声学,信号处理,故障诊断

frogfish 发表于 2005-7-6 19:55

跨越分形

作为一门新兴学科，分形不但受到了科研人员的青睐，而且因为其广泛的应用价值，正受到各行各业人士的关注。那么，在我们开始学习分形之前，首先应该明白的一件事情是：我们正在学习什么？或者说：什么是分形？ 　　 　　严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。 　　 　　让我们来看下面的一个例子。下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330028a.gif" align=center border=0>
图1.1 分形植物
 　　 　　如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330028b.jpeg" align=center border=0>
图1.2 分形风景
 　　 　　上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330028c.gif" align=center border=0>
图1.3 Mandelbrot集的放大 　　
 　　除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330028d.jpeg" align=center border=0>
图1.4 月球模型
 　　 　　不管你信不信，上面的这张月球表面的照片也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看，也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么放大，最终，还是可以看见清晰的细节。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330028e.gif" align=center border=0>
图1.5 Kohn雪花 　　
 　　Kohn雪花和Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，它们都具有严格的自相似特性（仔细看看，是不是这样？）。但是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严格自相似。所以，用“具有自相似”特性来定义分形已经有许多局限了，在接下来的课程中，我们将继续探讨分形的含义。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330028f.gif" align=center border=0>
图1.5 Sierpinski三角形 </DD></DL>

frogfish 发表于 2005-7-6 19:56

——分形的起源 　　
 　　其实，分形的研究可以上溯到很久以前。大约100年前分形的思想已经开始出现在数学领域。但是，就象其它的一些革命性的思想一样，分形的研究受到了主流学术的谴责，被人们认为只是研究一些数学中的怪异现象。那个时候著名的数学家 Charles Hermite 把分形称为“怪物”，这代表了绝大多数人的观点。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330030a.jpeg" border=0>
图2.1 分形风景 
 　　 　　IBM公司的数学家 Benoit B. Mandelbrot 认真地研究了分形与自然的关系。他象人们展示了分形广泛地存在于我们身边，一些现象都能够用分形来进行准确的描述。他和他的同事们用分形来描述树和山等复杂事物。他还扩展了维数的概念，开创性地提出了分数维的概念，并创造了“fractals”一词。“fractals”就是我们所说的“分形”，也叫“分维”，台湾的学者则称之为“碎形”。为了褒奖 Mandelbrot 的突出贡献，人们把他称为“分形之父”。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330030b.gif" border=0>
图2.2 Mandelbrot集 　　
 　　象所有伟大的思想家（例如牛顿、爱因斯坦）一样，Mandelbrot的工作也建立在前期一些数学家的研究成果之上。Gaston Julia、Pierre Fatou 以及 Felix Hausdorff 等一些伟大的科学家都是这个领域的先驱，他们都为 Mandelbrot 的开创性研究铺平了道路。Mandelbrot 的研究成果激励了许多在这个领域感兴趣的学者，并继而使分形成为现代科学中的热门学科。 　　 
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图2.3 分形风景 
 　　 　　分形的许多理论和应用刚刚被人们发现。尽管分行的应用十分广泛，但在当前的研究中，图象压缩是分形应用中比较诱人的一个领域。因为自然景物可以利用分形表述，所以，分形在压缩图象上非常有用。我们将在后面对这个领域进行专门的介绍。现在，我们开始认识分形的特性。 </DD></DL>

frogfish 发表于 2005-7-6 19:56

——分形的特征 　　
 　　通过前面的介绍，我们已经知道：分形最明显的特征是自相似性，其它的特征包括无限复杂、无限细致等。但是，分形的正式定义是依据分维（分数维）来判断的。因为分维的概念非常复杂，所以，我们先继续研究分形的自相似特性，为分数维的研究奠定基础。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330031a.gif">
图3.1 Sierpenski垫圈
 　　 　　自然界中许多植物具有自相似特性，例如，我们在前面所介绍的分形植物。在这棵厥类植物中，枝杈是整个植物的小版本，而枝杈的枝杈则是更小的版本。这种特性可以无限地持续下去。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330031b.gif">
图3.2 分形植物 
 　　 　　许多著名的分形图形都能展现这种自相似性。例如下图所示的Sierpenski三角形。在Sierpenski三角形中每个小三角形都是大三角形的更小版本。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330031c.gif">
图3.3 Sierpenski三角形 　　
 　　前文提到的另一个著名的分形图形是Koch 雪花，它象Sierpenski一样，表现出完全的自相似的特性。但是，这里的自相似体现在：每一个边都是由它的更小版本组成，而整个图形并没有重复。也就是说，这时的自相似的实质应该是某一个部分在其它地方重复出现。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330031d.gif">
图3.4 koch曲线 
 　　 　　Julia 集也是一个非常好的具有自相似特征的分形图形。仔细观察下面的动画你会发现，许多部分都在其它地方重复出现。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330031e.gif">
图3.5 Julia集的放大 
 　　 　　下面这幅图是真实拍摄的一张厥类植物的图片。它也具有自相似特性。但是，它并不象计算机生成的分形图形那样严格地自相似，这大概是因为在成长过程中，受到了许多外界因素的影响吧。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330031f.gif">
图3.6 真实的植物 
 　　 　　正是因为分性所具有的自相似特性，才使分形如此重要并且具有实际应用意义。很多物体都可以通过分形来精确描述。因为分形可以描述植物、雪花等自然物体，同样也可以生成风景图象，甚至是音乐作品，我们将在后续的文章中进一步讨论。 　　 　　我们通过前面的介绍还了解到：分性的另一个重要特征是具有无限精细和无限复杂性。但是，应该记住，无论师资相似性还是无限精细性都不能用来科学地定义分形，因为这些都只是分形中普遍存在的特点。为了定义分形，必须引进分维的概念。从下节开始，我们将探讨分维，这是一个很有趣但也很难掌握的概念。</DD></DL>

frogfish 发表于 2005-7-6 19:57

——分维
 　　 　　分维？你是说还有一个2.8126维的物体吗？是的！尽管听起来似乎比较荒诞，但这是事实。在这个概念的基础上才有分形学的发展，这个概念也可能会进一步改变我们的世界观。在前面我们曾介绍过“分形之父” Benoit Mandelbrot ，他正是从分维的概念出发创造了“分形”（Fractal）这个词。因为这是一个非常复杂的问题，所以我们必须慢速前进。让我们先作一个类比。 　　 　　牛顿是1600年代时代的人物。牛顿的运动学定律可以使人们预测运动物体的运动情况。但是，当运动物体的速度接近光速时，这个定理就变得极不准确。于是，在1900初，爱因斯坦发明了相对论。这个成果发展了牛顿定律。如果你去检验相对论，你会发现，在低速的情况下，相对论的结果等同于牛顿定律。 　　 　　那么，这和分维有什么联系呢？象相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维数概念的进一步发展。它并不和你所了解的分维知识相冲突，而是一种发展！我们正要拓展你的关于维数的概念，而引进分数维的概念。 　　 　　我们生活在一个具有长度、宽度和深度的三维世界里。你可能知道：一个平面是二维的，一条直线是一维的，而一个点呢？零维的！我们能够想象具有类似维数的任何物体。但是，你能想象一个具有1.2618维的物体吗？或许不能吧？那么，下图所演示的Koch曲线就是1.2618维的。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330032a.gif">
图4.1 Koch曲线的形成 
 　　 　　为了构造Koch曲线，我们首先作一条直线，然后在直线的中央作一个等边三角形，于是，直线变得复杂一些。然后，再在每一条线段的中央分别作一个等边三角形，这条直线变得更加复杂。依照此法，无限制地进行下去，就形成了Koch曲线。这个时候，这条直线开始接近一个平面，因为它明显地具有“高度”，但是，更精确地说，它却并不是一个平面，或者说，并不是一个二维的曲线。它的维数只有1.2618。为什么这样说呢？因为它高过一维，但却不到二维？ 　　 　　听起来是不是够玄乎的？不过，不要着急，我们将介绍更多的例子来帮助你来理解分维的概念。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330032b.gif">
图4.2 Sierpinski三角形的演变 
 　　 　　在Sierpinski三角形中，我们首先作一个完全填充的三角形（二维）。然后，我们从中间移去一个三角形，然后再在剩下的三角形中分别移去一个三角形。最终它的面积等于零了，于是，它的位数自然小于 2 ，但是却永远达不到 1 ，因为，无论何处，它都不接近一条线。所以，它的维数也在2与1之间，经过数学计算，它的真正维数大约是1.5850。 　　 　　现在你理解了分维的概念了吗？但愿如此吧！尽管这种思想非常奇怪，但却非常美妙，特别对于数学研究来说。你现在明白了吗？如果还不明白的话，回过头，把这部分内容再阅读一遍，相信你会有更多的收获。 　　 　　现在，你已经了解分维的意思了，那么，怎么计算分维呢？在学习分维的计算方法之前，你应该对代数知识（特别是对数）知识有一定的了解。 　　 　　假如你把一条直线分为 N 段，那么，你就有了原始直线的 N 个更小的版本，每一个都按照一个比例系数 r 减小，在这里 Nr = 1。对一个正方形来说，也分成几个小的正方形，也让每一正方形的每边的缩放比例为 r 。注意，这个时候 N 和 r 的关系是 Nr^2 = 1。 　　 　　现在，我们可以归纳出分维来了。假设你把一个 d 维物体分为 N 等份，每一份的缩放比例是 r，二者的关系是 Nr^d = 1。 　　 　　经过数学计算，我们可以得到 d = (log N) / (log (1/r))。 　　 　　对于Koch曲线来说，我们把它分成了四个等份，而每一等份是原来尺寸的 (1/3)。所以有 N = 4 和 r = 1/3。运用上面的等式，可以计算 d = (log 4) / (log 3) ≈ 1.261859507143。 　　 　　在Sierpinski三角形中，我们把三角形分成了三个相等的部分。而每一部分的边长和高只是原先三角形的 (1/2) ，所以 N =3 并且 r = 1/2 ，根据等式计算的结果则是 d = (log 3) / (log 2)，结果大约等于 1.584962500721. 　　 　　现在，你应该知道怎么计算简单的分维了吧？还有很多种方法是专门用来计算非自相似分形的分维数的。在后续的文章中，你将会知道通过分形的方法可以计算海岸线，但是海岸线却并不是真正的自相似，所以必须运用近似计算方法。 　　 　　现在我们已经知道分形的原理，并且也初步学会了分维的计算，下一步我们要学习什么呢？当然是分形的生成和分形的应用了。 
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frogfish 发表于 2005-7-6 19:57

——创造分形
 　　 <IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330035a.gif"> 　　在以后的几讲里，我们将开始学习通过不同的方式来创造分形。在学习的过程中，你也能了解分形的种类。如果你能理论联系实际的绘画，马上你就可以运用自己所学的知识了。 　　 　　你可以创造很多种不同类型的分形图形，有些较为简单，而有些则比较复杂。我们已经在前面的课程中认识了一些分形图形，我们将在以后的课程中逐渐学习它们的制作方法，下面，我们首先来人是几类分形图形。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330035b.gif">
迭代函数系统(随机型) 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330035c.gif">
Mandelbrot集 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330035d.gif">
L-系统 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330035e.gif">
迭代函数系统(确定型) 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330035f.gif">
Henon映射
 　　 　　对我们来说，由许多非常有趣的分形值得我们去学习。这里所列举的只是其中的一小部分，还有很多其它类型的分形可以产生山、3D树以及分形音乐。这些类型分形我们将在以后的分形应用里专门谈论。现在，我们首先从迭代函数系统开始明天的内容。 </DD></DL>

frogfish 发表于 2005-7-6 19:57

分形的类型
 　　 　　在以后的几讲里，我们将开始学习通过不同的方式来创造分形。在学习的过程中，你也能了解分形的种类。如果你能理论联系实际的绘画，马上你就可以运用自己所学的知识了。 　　 　　你可以创造很多种不同类型的分形图形，有些较为简单，而有些则比较复杂。我们已经在前面的课程中认识了一些分形图形，我们将在以后的课程中逐渐学习它们的制作方法，下面，我们首先来认识几类分形图形。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330037a.gif">
迭代函数系统 (随机型)
 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330037b.gif">
Mandelbrot集
 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330037c.gif">
L-系统
 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330037d.gif">
迭代函数系统(确定型)
 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330037e.gif">
Julia集
 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330037f.gif">
Henon映射
 　　 　　对我们来说，由许多非常有趣的分形值得我们去学习。这里所列举的只是其中的一小部分，还有很多其它类型的分形可以产生山、3D树以及分形音乐。这些类型分形我们将在以后的分形应用里专门谈论。现在，我们首先从迭代函数系统开始下面的教学程序。 </DD></DL>

frogfish 发表于 2005-7-6 19:58

迭代函数系统(I)
 　　 　　你可以用迭代函数系统来创作形态各异的分形作品。迭代函数系统也有很多应用——包括创作3维分形树。但是，什么是迭代函数系统呢？ 　　 　　迭代函数系统是从一个坐标系到另一个坐标系的映射系统。嗯？是不是觉得这句话很难理解？不过，没有关系，这只是技术上的定义，我们可以用现实的例子来更浅显地描述它。 　　 　　你肯定知道加印照片的影印机，它能缩小或者放大照片，假设有一台影印机可以按照任意形状（如平行四边形）缩放照片，那么这就是一个迭代函数系统。映射方式告诉影印机复印什么内容、在什么地方复樱让我们先来看一看下面的一个分形图。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330038a.gif">
螺旋分形的框架
 　　 　　我们把上图中的平行四边形（包括正方形、长方形）叫做框架。框架定义了映射的方式，以图中蓝色框架为例，就是把整个螺旋按照这个形状加以复制，复制的结果就是蓝色的小螺旋。很显然，这很好地体现了分形的子相似特性。 　　 　　注意图中的每一个框架都包括了一个螺旋——包括外围的黑色框架，我们称它为范围框架（bounding frame）。事实上，影印机正是在范围框架内复制分形的。但是，如果分形不存在的话，影印机又是怎么复制分形的呢？毕竟，我们是直接把分形图幸福知道范围框架中去的啊！ 　　 　　其实，有两种方法可以产生迭代函数系统，一种是随机的方法，又被人们称为混沌游戏。依照这种方法，你首先在范围框架内随机放置一个点，然后，再随机选择一个框架，接着把这个点映射到这个框架内，这个饿过程可以通过下图中的动画加以说明演示。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330038b.gif">
构造螺旋分形的动画
 　　 　　在上图演示的动画过程中，我们首先在范围框架的中心做一个点，接着，从五个框架中随机挑选一个（不包括范围框架）。图中，随机选择的结果是蓝色框架，所以就在蓝色框架的中间同样作一个点，这样，范围框架的上半部分就有了一个点。我们再随机选择另外的一个框架，这次，选中了绿色框架。那么，就在绿色框架的上半部分作一个点，这个过程被一遍又一遍地重复，就得到了一幅完美的分形图。 　　 　　在迭代函数系统中，框架其实给整个系统传递三条信息。首先，框架决定怎么转换整个图。这是由框架坐标原点与范围框架坐标原点的距离以及方向来决定。其次，框架的方向以及框架的大小决定怎么缩放整个图，这其实是定义了一个仿射变换，数学上的仿射变换是一种由旋转、平移、映射构成的变换，仿射变换可以由一个函数来表示，这也正是命名“迭代函数系统”的原因。简单地说，迭代函数系统就是指把仿射变换函数系统经过多次迭代形成的分形。 　　 　　怎么样去随机地选择一个框架就能够产生分形了呢？回答这个问题需要比较高深的数学知识。 　　 　　从上面的过程中，我们可以知道：点聚集起来形成分形，但是我们还是删除开始的500个点。这种随机的方法和真正产生分形的过程时非常相近的，并不是所有的点都被保留下来，那些不正确的点都被删除了（产生不正确的点的概率微乎其微。）。 　　 　　还有另外一种方法可以产生迭代函数系统，但是，它更费时，也需要更多的内存。 
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frogfish 发表于 2005-7-6 19:58

迭代函数系统(II)
 　　 　　在上一讲里我们一起学习了迭代函数系统，并知道了怎么通过随机的方法生成分形图，生成迭代函数系统的第二种方法是确定的方法。确定法可以制作出非常完美得分形图形，但正如我们再上一讲里所介绍的那样，这种方法比较费时，也需要大量的内存。 　　 　　下面我们将通过一个实例来学习用确定法生成迭代函数系统的方法。首先，指定一个范围框架。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330039a.gif">
范围框架
 　　 　　接着，我们在范围框架内，放置一个框架。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330039b.gif">
范围框架内的框架
 　　 　　接着，我们复制图中的一切，并且进行变形，以适合框架的大小，然后放入框架内。本例比较简单，因为只有一个框架。继而，我们擦除原先的框架，保留刚作的框架，象我们在图中看到的一样，这个框架比刚刚擦除的框架略微小了一点。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330039k.gif">
第一次迭待到第二次迭代
 　　 　　我们按照这种方法，不断将范围框架内的一切复制、变形装入新的框架内，然后再擦除原先的框架。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330039c.gif">
第二次迭待到第三次迭代
 　　 　　正如上图中看到的那样，我们又只剩下一个框架了，比前一个框架更小了一些。假如我们不停地做下去，最终，在范围框架中只剩下一个点了。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330039d.gif">
结果
 　　 　　我相信，现在你对这种方法应该有一个深刻印象了。刚才我们经过了一个漫长而单调的过程得到了一个小点。 　　 　　事实上，这只是迭代函数系统中一个最简单的例子。如果，我们在开始的时候在范围框架内放置了许多小框架，那么，我么将会得到一个有趣得多的图形。下面，我们重新开始。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330039e.gif">
一次迭待到二次迭代
 　　 　　和只有一个框架时处理过程一样，只是第一次迭代以后，从一个框架变成了四个框架。我们把范围框架内的一切（也就是四个小框架）在复制到每个小框架内。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330039f.gif">
二次迭代到三次迭代
 　　 　　我们再从四个框架开始，经过一次迭代后，就得到了16个框架。下一步怎么办呢？你肯定已经知道了，把16个框架再赴直到16个框架之中，这样，我们就有了256个框架。框架的数目在飞速增加。如果我们依此法不停迭代，最终可以得到下面的这幅图。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330039g.gif">
结果</DD>

frogfish 发表于 2005-7-6 19:58

<H3 align=center>L-系统分形 </H3>
　　相对来说，L-系统是比较新的制作分形的方法。这项技术是Aristrid Lindenmayer在1968提出来的，最早是用来研究植物生长的生物模型。看看下面的L-系统分形树的制作过程，就能明白为什么用L-系统来表述植物的生长模型。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330040a.gif">
L-系统树
 　　 　　尽管生成一个复杂的L-系统常常需要花费大量的时间，但是指定L-系统的公式往往非常简单。例如上图中的书，只需要下面的简单输入。 　　 　　公理：F 　　 　　增长角： 20 　　 　　初始角： 90 　　 　　规则： F -> {{F}}[+F][-F] 　　 　　L-系统就是简单地让计算机制作海龟图，所谓的海龟图指的时只有几条简单的命令：直线、向左转、向右转等。一些基础的命令是： 　　 　　F = 前进 　　 　　- = 向右转 　　 　　+ = 向左转 　　 　　[] = 把元素放入括号内，退回到上一步 　　 　　{} = 增加直线的长度。 　　 　　L-系统需要告诉计算机行走的道路，以让计算机明白是向前走、转弯还是其它什么动作。所以说，我们上面提到的公理和规则非常重要。我们使用字符串来告诉计算机怎么移动。首先，字符串里只有公理，所以以“F”开始。这只是作一条简单的直线。现在我们开始把规则应用到定理上。一个规则优两个部分组成：左边是一个字母，右边是几个字母。当你运用一条规则时，首先，观察字符串中右边的所有字母。然后用它们代替左边的那个字母。 　　 　　开始时的内容总是只有公理，就象下面所显示的那样。"F"告诉计算机向前移动一个单位。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330040c.gif">
第0次迭代：F(公理)
 　　 　　现在，我们就以"F"开始，因为规则是 "F -> {{F}}[+F][-F]"，所以，我们就以"{{F}}[+F][-F]"代替"F"。所以，"{{F}}[+F][-F]"就是第一次迭代的结果，如果我们按照海龟图的方式作出这个字符串，结果如下图所示： 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330040d.gif">
第一次迭代
 　　 　　现在的这个图比单独的一条直线要有趣一些了，但是它看上去依然不象一棵树。让我们继续应用规则，把"{{F}}[+F][-F]" 种的每个"F"再用{{F}}[+F][-F]代替，这就变成了 "{{{{F}}[+F][-F]}}[+ {{F}}[+F][-F]][- {{F}}[+F][-F]]". 这回再采用制作海龟图的方法，就得出下面的这个图。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330040e.gif">
第二次迭代
 　　 　　现在，我们可以按照这种基本的方法来继续制作分形树。很显然，迭代次数越多，得出的树就愈完美。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330040f.gif">
第三次迭代
 　　 　　最初的一、两次迭代，可能看不出会是什么样的图形，但是随着迭代次数的增加，图形复杂度也渐渐增加，也就很容易看清L-系统所表示得分形模型。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330040g.gif">
分形树的迭代过程
 　　 　　和迭代函数系统一样，如果你需要理解L-系统，就要自己动手去做。你可以从本站下载软件Fantastic Fractals 98，使用这个软件，你可以很轻松地制作出IFS（迭代函数系统）分形图形来。 
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frogfish 发表于 2005-7-6 19:59

Julia集
 　　 　　有一类典型的混沌函数被称作“Julia集”，这是为了纪念Gaston Julia在这个领域的突出贡献。因为分形图形是无限精细的，所以你可以任意放大 Julia集的任意部分。 　　 
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<IMG src="http://zhwzh.bj4hs.edu.cn/nonlinear/fxrm/kyfx/330041a.gif">
Julia集的缩放
 　　 　　在Julia集中的每一点点要经过某个函数很多次的迭代，观察这个点的最终迭代结果是否无穷大，而Julia集就是这些点的边界，所以Julia集最终是由这个函数决定的。做出这些边界点的简单图形如下面的一幅黑白图形。但是，黑白图形缺少了彩色图形的魅力，所以人们在作Julia集时，总是加上一定的色彩，添加色彩的方法是依据Julia集上的点趋向无穷大时的速度快慢来确定颜色的深浅。 　　 
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Julia集的黑白图形
 　　 　　Julia集上的点趋向无穷大时的速度其实是计算这个点在迭代过程中，其值超过某个制定的较大上限数值时的迭代次数，而这些代代次数又映射为不同的颜色。下图中显示了颜色映射中，90中颜色中的前15个颜色。 　　 
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颜色映射图
 　　 　　使用上面所说的颜色方案，就可以为Julia集添加上一定的颜色了。 　　 
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彩色Julia集
 　　 
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蓝色Julia集
 　　 
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红色Julia集
 　　 　　那么怎么选择迭代函数呢？如果您已经具备了一定的代数知识（例如，知道复数的概念），就和我们一起进入下一讲的学习之中吧。 　　 　　其实，决定Julia集的迭代函数常常非常简单。例如，下图中的迭代函数是f(z) = z2 + (-0.20 + 0.75i)。在这个式子中，字母“i”表示复数的虚数部分。作图时，每一个复数都用图中的一点表示，实数部分的大小用水平距离表示，虚数部分的大小用垂直距离表示。 　　 
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Julia集 f(z) = z^2 + (-0.20 + 0.75i)
 　　 　　下面的几幅图都属于Julia集，只不过采用了不同的迭代函数。 　　 
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Julia集 f(z) = z^2 - i
 　　 
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Julia集 f(z) = z^2 - 0.9
 　　 
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Julia集 f(z) = z^2 + (0.33 + 0.4i)
 　　 
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Julia集 f(z) = z^2 + (-0.7 + 0.3i)
 　　 　　我们可以使用许多种不同的函数来生成形态各异的Julia集，例如 f(z) = z3 + 2z2 + 6.8z + (0.4 - 0.67i) 以及 f(z) = 4.5cos(z)。下面的图就是利用函数f(z) = 2.98cos(z)迭代而成的。 　　 
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Julia集 f(z) = 2.98cos(z)
 　　 　　既然产生分形图形的函数是混沌的，那么，只要有轻微的改变，所产生的结果往往会大相径庭，例如下图中所使用的函数，仅仅在系数上比上图的减小0.01。 　　 
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Julia集 f(z) = 2.97cos(z)</DD></DL>

多情清秋 发表于 2005-7-10 08:52

入门的东西，非常好

simon21 发表于 2005-7-12 18:43

图片都看不到阿，字也太小

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