friendchj 发表于 2008-12-2 19:00

这道初三题怎么求

如图，已知E是等要直角三角形ABC的四等分点之一，角EBF=45度，BC=4，求AF的长度。
PS：好像现在初中也不学相似的知识了，因此只能用三角形全等和基本的推理来做，用解析几何求出的答案是4*sqrt(2)。

friendchj 发表于 2008-12-3 10:48

已经被人解出，呵呵
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如图，过E做BF的垂线于O，过B做BE的垂线，与EO的延长线交于G，连接BD。
已求ED=sqrt(2),BD=2*sqrt(2),故BE=sqrt(10)
因为角EBF=45度，所以角BEO=45度，故EO=BO=sqrt(5),BG=sqrt(10),所以GO=sqrt(5)
由于角GBA+角ABE=90度，角CBE+角EBA=90度。所以角GBA=角CBE
又因为GB=BE=sqrt(10),AB=BC=4,所以三角形AGB全等于三角形CEB，所以角GAB=角ECB=45度
所以角GAE=角GAB+角BAC=90度
又因为FO=FO，OG=OE，所以直角三角形FOG全等于FOE，故FG=FE
设AF=x，在直角三角形AGF中，有AG的平方+AF的平方=FG的平方
所以GE的平方-AE的平方+AF的平方=FG的平方
即（sqrt(5)+sqrt(5)）的平方-sqrt(2)的平方+x的平方=（x+sqrt(2)）的平方
解得x=4*sqrt(2)
PS:解题的关键在于做恰当的辅助线

qsdgc 发表于 2008-12-3 11:29

连接点B和AC的中点，使用对三角形BDF用勾股定理求出FB的表达式，再对整个三角形利用余弦定理求出ＦＢ的表达式，进行比较解一个二元一次方程可得到结果

friendchj 发表于 2008-12-3 12:49

原帖由 qsdgc 于 2008-12-3 11:29 发表 http://www.chinavib.com/forum/images/common/back.gif
连接点B和AC的中点，使用对三角形BDF用勾股定理求出FB的表达式，再对整个三角形利用余弦定理求出ＦＢ的表达式，进行比较解一个二元一次方程可得到结果
余弦定理是没有学的。

panwang 发表于 2008-12-3 12:57

三角形BEF与三角形阿AEB相似，EF*AE=BE*BE,很容易求得EF=5*sqrt(2)

friendchj 发表于 2008-12-3 14:16

原帖由 panwang 于 2008-12-3 12:57 发表 http://www.chinavib.com/forum/images/common/back.gif
三角形BEF与三角形阿AEB相似，EF*AE=BE*BE,很容易求得EF=5*sqrt(2)
三角形BEF与三角形AEB是相似的，EF*AE=BE*BE,很容易求得EF=5*sqrt(2)，另外建立直角坐标系，也很容易求出其长度。这些知识对于初三的学生都是未学的，因此只能用三角形相等和基本的推理来做。

[ 本帖最后由 friendchj 于 2008-12-3 16:52 编辑 ]

panwang 发表于 2008-12-3 15:19

晕，相似比难道初三还没有学吗？BE和AE的长度很好求。有什么知识初三没有学过。EF=5*sqrt(2)有问题吗？

friendchj 发表于 2008-12-3 16:54

原帖由 panwang 于 2008-12-3 15:19 发表 http://www.chinavib.com/forum/images/common/back.gif
晕，相似比难道初三还没有学吗？BE和AE的长度很好求。有什么知识初三没有学过。EF=5*sqrt(2)有问题吗？
EF=5*sqrt(2)没有问题，不好意思，我看成AF了。如果用相似的知识，这道题会简单很多。
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