lzhyxcx 发表于 2010-10-26 23:16

求解四阶微分方程？

本帖最后由 lzhyxcx 于 2010-10-26 23:16 编辑

已知：方程在附件中。

求解函数F?谢谢！

Vickyvictoria 发表于 2010-10-28 07:13

解析解？方程能解耦吗？

lzhyxcx 发表于 2010-10-28 23:50

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得凑一个三角函数的表达式，刚好满足方程。

smtmobly 发表于 2010-10-29 10:11

这个方程肯定有解析解的。你自己展开算一下。
L记laplace算子。那么sin（n*pi*x/a)*sin(n*pi*y/b),cos（n*pi*x/a)*cos(n*pi*y/b),都是L的特征向量。
方程右端，可以写成系数乘以上面类型的特征向量的和式。
最后方程就在该特征向量组下化为一个矩阵方程。
解的情况由这个矩阵方程描述。
自己可以化解计算一下。

smtmobly 发表于 2010-10-29 10:40

(-(-2*pi**2*cos(pi*x/a)**2*cos(pi*y/b)**2 + 2*pi**2*cos(pi*x/a)**2*sin(pi*y/b)**2)*(-2*pi**2*cos(pi*x/a)**2*cos(pi*y/b)**2 + 2*pi**2*cos(pi*y/b)**2*sin(pi*x/a)**2) + 16*pi**4*cos(pi*x/a)**2*cos(pi*y/b)**2*sin(pi*x/a)**2*sin(pi*y/b)**2)/(a**2*b**2)
这是右端的等式，**表示乘方**2表示平方。
最后全部可以表示成\sum{ci*(sin(n*\pi *x/a)*sin(m*\pi *y/a)+di*cos(n*\pi*x/a)*cos(m*\pi*y/b)}的形式。\sum是求和，用的是tex命令表示。
在这几个向量组成的有限维空间内可解。

上面的表达式用python的sympy计算

lzhyxcx 发表于 2010-11-1 21:19

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麻烦您帮我求一下函数F,方程右边的结果我可以求出，但后面的求法我不熟悉。谢谢！

smtmobly 发表于 2010-11-2 00:03

本帖最后由 smtmobly 于 2010-11-2 08:48 编辑

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可以这样去计算。
方法上面我已经讲的很清楚了，其实只要你认真去寻找文献是可以找到如何去求解的。
要知道数学公式就输入来说都是比较麻烦的，计算需要起码十几页的稿纸。所以最好自己
先了解一些方法至少是主流的方法，这样，看到别人的解答，自己才能有收获。
l另外特别说明一下：这个方程是一个不完备的方程，它有无穷多个解。而这里给出的只是形式上的。
）

smtmobly 发表于 2010-11-2 00:05

另外，本来我是希望通过maxima或者sympy来直接完成解答的，但是在处理这些特征值和特征向量问题上，简化形式我没有完成统一，所以也借此，请教高明，如何使用符号计算软件来处理这样的问题。希望能得到解答。

lzhyxcx 发表于 2010-11-2 23:07

感谢您的回复!

ooooo999 发表于 2011-4-23 05:02

好复杂！！！
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