非线性系统的周期解分岔和不动点分岔

kezairenjian

    类似duffing方程的非线性系统，随着分岔参数的变化系统会发生分岔现象。对于这类非自治系统而言，发生分岔前后，系统的周期解会发生变化。比如：周期1运动发生倍周期分岔后会转变成为周期2运动。相应的，系统庞加莱映射的不动点从一个变为两个。然而，系统的周期解分岔和不动点分岔并不是一定对应的。有些情况下，系统的不动点类型和个数变化了（即发生了分岔），但系统的周期解并未分岔。
    对于这一现象，不知大家都有什么看法呢。欢迎讨论。

无水1324

其实你说的是分岔的两种情况：
1、解的性质的改变，就是周期1到周期2的分岔；
2、解的个数的改变的，就是不动点的分岔，
虽然说法不严格，但是大概是这么个意思，他们之间是没有什么对应关系的

kezairenjian

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对于非自治系统而言，系统的周期运动对应于Poincar†e映射的不动点，周期运动的稳定性与分岔等价于不动点的稳定性与分岔。但这种等价关系和Poincar†e截面的选取有关，不同庞加莱截面对应的Poincar†e映射的不动点分岔，并不是总和周期运动的分岔等价。
比如，对非光滑的非自治系统，选择定相位面为Poincar†e截面，系统的不动点分岔和周期解分岔是等价的。但选择非光滑处为截面时，就不一定了。对于此类系统，往往更加关注其非光滑的特性。个人认为，二者之间的关系现在来看是个难点。
进一步看，不同截面上的分岔类型、吸引域等的对比研究是必要的。
不知无水是否见过相关的论文，能否指点？

无水1324

选取“选择非光滑处为截面时”会出现轨迹与截面相切的情况，这个时候还考虑Poincare截面是否合适？截面不同分岔的类型应该是一致的吧，因为Poincare截面点，是确定性的，如果不同的截面就得到不同的分岔类型，那么他就不是确定的了。不知道我理解你的意思没有。

另外：我在2楼说的第二点，有点问题，分叉点的个数的改变与不动点分岔是不同的，但是，分叉确实是如2楼说的两类。

kezairenjian

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的确，选取非光滑处为截面时，会出现轨迹与截面相切甚至不想交的情况，以往的说法是，选择这样的截面不合适。但对于非光滑系统，只有非光滑处的截面能够反映碰撞、接触的情况。
现在，对于碰撞系统而言，选择碰撞面为庞加莱截面的论文和理论已经很多而且很成熟（西南交大谢建华，兰州交大罗冠炜等）。但对于“软接触”的系统，比如齿轮、弹性碰撞等系统而言，还没有这样的研究。这种系统选择接触面为截面到底有没有意义，是对还是错呢？
我再进一步说，其实选择定相位面时做分岔图，是在固定相位角处（如：t=2*PI/w），看系统的速度和位移随分岔参数的变化情况。而选择接触面，是在固定位移处，看系统的速度和相位角随分岔参数的变化。为何就会产生如此大的不同呢？

无水1324

kezairenjian 发表于 2012-4-8 14:42

                               
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的确，选取非光滑处为截面时，会出现轨迹与截面相切甚至不想交的情况，以往的说 ...

1、对于齿轮系统，如果取碰撞面与固定相位得到的结果应该差不多，可以选择。但是在整个参数区域内，有可能没有出现脱啮，或者在碰撞的另外一面（齿轮存在双边冲击）；这个时候这种方法就无效了。
2、“为何就会产生如此大的不同呢？”能否给一些图片。

飞翼

kezairenjian 发表于 2012-4-7 09:41

                               
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对于非自治系统而言，系统的周期运动对应于Poincar†e映射的不动点，周期运 ...

你好请问固定相位取庞加莱截面 是频闪法吗？能否给些提示