能简单介绍以下什么是非线性、非高斯性么？

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<P>能简单介绍以下什么是非线性、非高斯性么？</P>

多情清秋

什么是非线性科学? (c)朱照宣(北京大学非线性科学中心)
<P>什么是非线性?非线性是一个数学名词，它指两个量之间没有象正比那样的“直线”关系。自然科学和工程技术中有许多问题要用到非线性的数学模型，比如，采用了非线性模型以后，可以说明为什么同一个前提会导致几种不同的后果，可以说明什么时候两种效应不能“叠加”(superposition)，这两种现象会怎样彼此影响、发生“耦合”作用。
<P>各门学科有各自的非线性问题，激光理论中有不少非线性光学问题，工程结构变形大的情况中要用非线性的结构力学，无线电技术中涉及非线性的振荡理论，说明化学反应中出现的螺纹波的起源，要用合适的非线性数学模型，等等。“非线性科学”是否管各门学科里所有非线性的问题呢?不是。真是那样的话，从数学的观点看来，线性是非线性的特殊情况，也可以算是非线性的一种，如果非线性科学里的“科学”又指所有学科，那么非线性科学就成为包罗一切的一门万能科学，也就甚么具体问题也不解决了。非线性科学只考虑各门学科中有关非线性的共性问题，特别是那些无法从线性模型稍加修正(比如摄动理论)还可解决的问题，再加上它自身理论发展所需要的一些概念方法等，这才是非线性科学的研究对象。共性很多地方表现为数学规律相同，因此数学在非线性科学里起很大作用；但数学在这里只是作为一种说明共性的手段，非线性数学(如果有这样一门学科的话，但一般不赞成这样的提法)只能用来解决由于非线性共性引起的某些数学问题，而另一些非线性共性虽然确实存在，但目前还很难用数学理论来处理。非线性科学和数学有密 切关系，但不是一门数学。从学科性质说，非线性科学不是基础应用研究，而是基础性研究。钱学森1992年2月26日在科协全委会议讲话《再谈基础性研究》中说，“国家科委的基础性研究项目一共有12项，其中只有第一项是真正的基础研究，就是关于非线性科学的研究；还有一项可能是12项中排在最后，还没有定下来的，是经络研究。其他10项都是基础应用研究。”
<P>从伽里略-牛顿（Galileo-Newton）时代开始有精确自然科学起，就碰上了非线性问题：伽里略研究过的摆和牛顿研究过的天体运动，都是非线性力学中的典型问题。19世纪经典力学两大难题——刚体定点运动和三体问题——就是上两个问题的继续，它们曾难倒了不少科学家，也因而推动了经典力学。19世纪末庞加莱(H.Poincare)正是在总结整个世纪这方面进展的基础上，提出不少新的理论和方法，当前非线性科学中的很多概念和思想，都本源于庞加莱。可以说非线性科学应当从20世纪初庞加莱开始算起，20世纪上半叶促进非线性科学发展的，有数学中的微分方程定性理论和无线电技术所需要的非线性线路理论，它们的结合引起“非线性振动理论”这一分支的成长。近二三十年非线性科学则又由于计算机的广泛引用而更兴旺起来，计算机不仅是数值计算的工具，也为非线性现象和理论分析提供了新的思想，促进这种发展的，还有数学中动力［学］系统理论的成长，以及统计物理学中不少成果，如重正化理论。非线性科学的研究范围究竟有多大，目前没有共同的标准。比如，近年来在学术界颇有影响的几“论”——普里高津(I.Prigogine)的耗散结构论，哈肯(H.Haken)的协同论，以及托姆(R.Thom)的突变论，也有人认为应算属于非线性科学。确实，这三“论”中许多定量的分析、一些概念和方法(如分岔(bifurcation)、自组织(self-organization)、图型(pattern)、分数维等)，是和非线性科学相同的。但是，这几“论”还有不少内容是企图说明某些更一般的、涉及自然界甚至社会现象的普遍规律，有些则是带有哲理性或思辨性的论断。后面这些，我们宁愿不把它算在非线性科学范围内。非线性科学中，应该包括哪些可以有定量分析、精确计算、数学理论或实验研究的部分，大家的看法也并不一致，但一般认为，以下三项内容是它的不可少的组成成分或者是它的主体：孤立波(soliton)，分形 (fractal)，混沌(chaos)。
<P>孤立波，以及相应的孤立子的研究，是这三者中发展较早的一个。当然它的发现可以追溯到 19世纪，即使是对它的理论和实验研究，在20世纪50-60年代也已较多。到今天，除了沿它自身体系发展外，由于它在数学处理上已取得不少经验，我们指望从而得到了解其他非线性现象中图型形成的机理。比如，有空间传播性能的波形不变的非线性现象，可以认为是系统中由于自组织而“降维”，在数学上和非线性振动中的所谓同宿解有关。对其他非线性现象的理解可能从孤立波已有成果得到借鉴。
<P>分形和不规则形状的几何有关。人们早就熟悉从规则的实物抽象出诸如圆、直线、平面等几何概念，芒德波罗(B.B.Mandelbrot)则对曲曲弯弯的海岸线、棉絮团似的云烟找到合适的几何学描述方法——分形。早期概念中的分形要求整体和它的各个局部都相似，即具有“自相似性”(self-similarity)。正如天下没有绝对圆的东西、几何学里的圆存在于数学家脑袋中一样，完全自相似的分形也只是一种数学抽象。当今概念中的分形(多重分形 (multifractals))对自相似性作了适当的修正和推广，使分形更能接近现实的事物。这套几何工具在处理许多非线性现象时是很有效的。分形理论开始是在各种物理或真实例子里寻找应用，后来人们则进一步研究那些具有分形几何特征的事物具有什么样的物理规律，研究分形形状的事物是如何随时间演化的。分形理论出现较晚，它的数学准备不象孤立波那样充分，目前它的数学理论和实际应用之间距离还较大，有些数学概念还得从头重新建立。比如，微积分里导数是和光滑曲线的斜率相联系的，对于曲曲弯弯海岸线那样的曲线，导数又怎样定义?如果象微分积分那样的操作都没有，那就很难做进一步的定量的研究。分形数学和分形物理的结合还刚开始。
<P>混沌指一种貌似无规的运动，但支配它这种运动的规律却可用确定型的方程来描述。上面提到的庞加莱在总结天体力学中的问题时，已经对这种现象有了认识。到20世纪50年代，有些物理学家(如玻恩(M.Born))也已明确知道经典力学中会有长期动态的不可预测性。但混沌现象和理论开始受到重视，一般认为契机于60年代两件事。一是罗仑兹(E.Lorenz)在天气预报方程的研究中发现，尽管描述用的方程是确定性的，天气长期动态却是不可预测的。另一是，几位数学家证明了有关经典力学动态的一个定理，即现在按他们的姓称谓的卡姆(KAM)理论。这两件事也分别代表混沌理论两类对象和两种方法：罗仑兹的对象是耗散系统(这类系统和周围环境有联系、有交往，它们在自然和工程中都有)，而卡姆的对象是保守系统(当作是孤立的、封闭的，它们在天体研究和统计物理中常见)。罗仑兹依靠的是数值计算，卡姆用的是严格数学推理，这两种方法在混沌理论研究里都是必不可少的。当前混沌理论所面临的数学情况比分形理论好些，但不如孤立波。现有的数学有的对混沌理论很起作用，也有些问题则还没有找到称手的数学工具。
<P>以上三项内容是彼此联系着的，也还和其他问题有关。当一个系统或事物里有可调的参量( 设参量自身不参与随时间变化)，参量不同会引起系统长期动态发生什么根本的(定性)变化，这是“分岔理论”所关心的问题。当参量变化跨越某些临界值(叫做分岔点)，系统将有根本的转变，比如孤立波失稳了，或者一种分形结构变化了，混沌过程变成周期振荡了，等等。再有，如果在一系统或事物的演化中，从时间过程看有混沌，而在空间分布上又有变化着的分形图型，就得时空联系起来研究图型的动力学。正是本着这样的观点，在《非线性科学》这个重大项目里的各个课题，是既有分工又有联系。
<P>在《非线性科学》项目里目前定下的课题有15个，分两类。一类是研究已明确各类非线性系统所共有的那些问题，如上面提到的内容。另一类是某几个特殊的非线性系统，如等离子体、流体力学中的湍流、生命科学中个别的问题。研究这些“个性”，目的是为了更好地了解 “共性”，或者发现一些新的“共性”。第一类的9个课题是：1)可积系统的数学理论，2) 孤［立］子实验与物理特性，3)耗散系统混沌的深入研究，4)保守系统的混沌行为，5)量子混沌，6)混沌实验研究，7)分形的数学理论，8)分形的物理机理，以及9)非线性发展方程描述的无穷维系统。属于第二类的有6个课题：10)时空离散系统的基本机理，11)随机力对非线性系统的作用，12)湍流的动力学途径研究，13)生命系统中若干非线性现象，14)等离子体中相干结构、混沌与湍流相互关系的研究，以及15)固态物质损伤演化的非线性动力学。在经费分配方面，第一类和第二类大概是7比3。参加这一重大项目的研究人员，主要来自高等院校和中科院各研究所，也有来自国防科工委系统的研究所，研究人员的专业有物理学、数学、和力学。今后随着研究工作的进展，课题的设置和人员的安排也会有所调整。 </P>