单分量信号、瞬时频率定义及EMD的由来

南风晓晓

　　瞬时频率是时间的单值函数[R.Kumaresan, C. S. Ramalirgam, On separating voiced speech into its compo-nents Proc.of Twenty-seventh annual A silo marconf. On signal, system and computer,1993,2:1041-1046]，在同一时间内只有一个频率值，瞬时频率的定义仅仅对单分量信号有效，所以用它计算瞬时频率时，对信号应有所限制，其应该是一个单分量信号。瞬时频率是瞬时相位的导数，也就是相位的变化率。当信号为多分量信号时，如果直接求导那么求出的不是真正的瞬时频率，而是每个单分量信号的相位变化率的和，也就是每个单分量信号瞬时频率的合成(假设为高信噪比，不考虑噪声的影响)，所以才会出现前面提到的争论。 如果要想求得正确的瞬时频率，就需要把一个多分量信号分解成多个单分量信号。但遗憾的是没有人给出如何判断一个信号是否是单分量信号的明确定义。因此以往在计算信号的瞬时频率时，常常约定信号为“窄带”信号以使其具有物理意义。所谓的“窄带”信号只是机械的在频率上加以限制，这并不符合实际的单分量信号的特征。并不能把“窄带”信号看成是单分量信号，也不能把“宽带”信号看成是多分量信号[B. Boashash, Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal, Part II: Algorithms and applications Proc. IEEE, April 1992,80(3):539-567]，他们互相之间不是一一对应的关系。区分多分量信号和单分量信号的依据应该是在同一时间是否存在多种振动。所以一个宽带信号一样可以是单分量信号，只要它能够保证在局部上是单一振动。从另一方面来讲，当多个单分量宽带信号加以“混合”，如果频带互相重叠，对重叠部分进行滤波，即使得到一个“窄带”信号，它依然是一个多分量信号。也正是在这样的背景下Huang等人提出了希尔伯特-黄变换，定义了固有模态的单分量信号。
　　在Hilbert-Huang变换中，为了计算瞬时频率，定义了固有模态函数[23](IMF)，它是满足单分量信号物理解释的一类信号，在每一时刻只有单一频率成分，从而使得瞬时频率具有了物理意义。直观上，经验模态函数具有相同的极值点和过零点数目，其波形与一个标准正弦信号通过调幅和调频得到的新信号相似，IMF必须要满足以下两个条件： (1)整个信号中零点数与极值点个数必须相等或相差最多不能超过一个; (2)信号上任意一点由局部极大值点确定的包络线和由局部极小值点确定的包络线的平均值为零，即上下包络线相对于时间轴局部对称。 IMF定义中的第一个条件类似于传统窄带信号的要求;第二个条件是一个新思想，以局部限制代替了全局的要求，使瞬时频率不至遭受非对称波形的干扰。但Huang等人认为局部均值涉及到局部时间尺度，这对非平稳信号来说是不可能定义的。因此，Huang在文献[23]中用信号极大值和极小值确定的包络线均值来逼近信号的均值，并认为这种逼近效果即使在最坏的情况下，算出的瞬时频率也与物理意义一致。固有模态函数的名字代表了潜在于数据中特有的振动模态。既可频率调制也可幅度调制，还可以是非平稳的，只有频率或幅值调制的信号也可称为固有模态函数。根据这样的定义，在以过零点为定义的IMF函数的每一个周期内，只涉及一种振动模态，这样IMF就可以不受窄带的限制，只要满足条件很多信号都可以是IMF。但在实际中的信号大多数都不是IMF，绝大多数情况下，信号中都可能包含超过一个的振动模态。因此，为了获得有意义的瞬时频率，就需要有一种特别的分解方法，将信号分解成多个IMF分量。与此同时也实现了将非线性、非平稳的多分量信号，分解成多个使瞬时频率有意义的单分量信号的过程，即EMD分解。
　　EMD方法的特点：
　　EMD方法自问世以来，由于它的优越性在很多领域得到了广泛的应用。总的来说，EMD方法具有自适应性、正交性与完备性及IMF分量的调制特性等突出特点[N.E.Huang.Review of Empirical Mode Decomposition analysis.Proc.of SPIE,2001(4391):71-79]。自适应性 EMD方法的自适应性表现在以下几个方面：
　　(1)基函数的自动产生EMD方法在整个“筛分”过程中是直接的，它不像小波分解那样需要预先选择基函数。在EMD的分解过程中，基函数直接从信号本身产生，不同的信号会产生不同的基函数，因此EMD方法是依据信号本身的信息对信号进行分解，得到的IMF分量的个数通常是有限的，而且每个IMF分量都表现了信号内含的真实物理信息。
　　(2)自适应的滤波特性 经过“筛分”过程，EMD方法将信号进行分解，得到一系列包含了从高到低不同频率成分、而且可以是不等带宽的IMF分量12,,...,nccc，这些频率成分和带宽是不随信号的变化而变化的。因此，EMD方法可以看成是一组自适应的高通滤波器，它的截止频率和带宽都随信号的变化而变化。而对于小波和小波包分解，一旦选择了小波分解尺度，得到的将是某一个固定频率段的时域波形，这一频率段与信号无关，只与信号的分解频率有关，因此，相比之下，小波或小波包分解不具有自适应性。但是EMD分解也存在一些问题需要进一步改进。在采用插值函数确定上下包络时，由于端点处极值的不确定性会引起端点效应，使得上下包络在信号的两端发生扭曲，随着筛分过程不断循环端点效应会传播到信号内部，同时每层分解的误差会逐渐累加，严重地影响了后面分解层的质量，因此，端点效应的减弱是提高分解精度的关键问题。终止条件的判定 HHT算法是一个反复循环的分解过程，如果不设置一个终止条件或者设置不当的话，程序将会无限重复下去，结果只可能使获得的IMF分量趋于定常幅值，只能反映频率调制的情况，难以体现幅值调制的情况，失去了应有的物理意义。
　　为了避免这种情况发生，在程序中设置两种终止条件：一个是整个分解过程的终止条件，称为分解终止条件;另一个是筛选每一分量时的终止条件，称为分量终止条件。 ①分解终止条件。对于分解终止，当固有模态函数或者信号余量变成小到比预定值小时便停止分解;另外当信号余量已经为一个单调函数或只有一个极值点时，即便是继续分解也不可能再分解出更多的IMF了，所以为了使分解出来的结果有意义，以上两个条件只要满足一个就停止分解。该条件准则的选取应当适中，若条件太严格，则分解得到的最后几个IMF分量将没有太大意义，而且还消耗时间;若条件太宽松，则可能丢失有用信号分量。在本文程序中通过对信号的反复分解并依据对原始信号的先验知识，认为固有模态函数或者信号余量的能量(方差)比原信号的能量小90%以上;或当信号余量的极值点少于2个时就停止分解。两个条件中的任何一个都可以作为分解的终止条件。 ②分量终止条件。对于单个IMF的筛选过程主要是为了消除骑行波，这是保证瞬时频率有意义的必要条件。另外还有个作用就是平滑不平坦的包络，在某种情况下防止相邻振幅跨度太大也是需要的。但是对于第二种效果，如果筛选无限进行下去，会消除振幅波动的物理意义，因为很多信号的幅度本身就是波动的。因此筛选应用时应当小心，不加限制会使IMF变成一个等振幅的纯频率调制信号，为了使每一个IMF保留有意义的幅度调制和频率调制，需要定义一个停止筛选过程的准则。对分量终止条件Huang等人先后分别提出两种终止准则[Huang NE, Shen Z, Long S R. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J].Proceedings of the Royal Society of London.A,1998,454:903-995]：仿柯西收敛准则和简单终止准则。但是有的学者认为仿柯西收敛准则过于严格，会导致过分解，而简单终止准则不能满足IMF的局部对称性的要求。为了同时兼顾局部与总体，重庆大学的仲佑明博士提出采用如下的分量终止条件：共有三个值，1sd，2sd和tol，其中12sdsd<，三个都是0和1之间的数值，则有： ()()()()maxminmtsxtetet=&#8722; 其中，()mt，()maxet，()minet分别是信号段包络均值，()sxt实际上是包络均值的绝对值与包络幅度的比，且有： (1)()sxt中的任意一点的值都小于2sd; (2)()sxt中超过1sd的比例不大于tol; (3)极值点和过零点的数目相差不大于1。 以上3个条件都满足时，分解停止。第一个条件保证了不会出现局部太不对称的情况;第二个条件在保证对称性的情况下，又不会因为个别奇异点或曲线拟合过冲点导致筛选次数过多，破坏了振幅波动;第三个条件是信号满足IMF的第二个条件关于仲佑明博士的看法做如下分析：因为经验筛分法的目的在于分解出IMF，研究其瞬态量。IMF具有两个条件：极点数和零点数相等或至多相差1，以及局部对称，理想情况下，IMF的局部均值应为零。因此，只要在筛选过程中，所筛选出的信号()ht满足或近似满足IMF的两个条件即可认为()ht为一个IMF分量。IMF的两个条件中局部对称性是主要的，一般情况下，只要信号满足局部对称性，则它的瞬时频率也具有直观的物理意义。因此用全局的量来作为终止准则，确实是会造成瞬态量的波动较大。而如果采用简单终止准则，又势必会与IMF的局部对称性相违背，导致出现虚假频率。
　　端点效应产生的原因及表现： HHT算法是通过EMD分解将原始信号分解成多个IMF分量，但是在求每一个IMF分量的过程中，需要对数据序列的极大值和极小值进行三次样条插值以得到上下包络。我们知道，三次样条插值函数需要数据序列两端数据的一阶导数和二阶导数，由于所分析信号的有限长度，信号的两端点不能确定是极值，那么在进行三次样条插值的时候，由数据曲线得不到所需要的端点处信息，必然使得信号的上下包络在信号的两端附近严重扭曲。在信号的高频分量中，由于时间尺度小，极值间的距离小，端部的边缘效应仅局限在信号两端很小的部分。但对于低频分量，由于其时间尺度大，极值间的距离大，端部的边缘效应就传播到信号的内部，特别是原始信号数据集比较短时，会严重影响EMD分解的质量，使得分解出来的IMF分量没有实际的物理意义。对于单分量信号端部效应的影响较小，对于多分量复杂信号特别是需要作多次EMD分解步骤前三步(称之为平滑)的时候，边缘效应会放大，严重淹没信号的端部特征，形成非常棘手的端点问题。

两种形式

很好，收藏了

大蒜牙

楼主写得不错，学习了！谢谢！

oleana618

看了有收获！~

rogen

楼主分析的确实很有道理。但能否解释一下单一振动如何理解？

dzk912

写的不错

lwwlwwlww

有收获，多些楼主了

大喜

南风晓晓，最近在做毕设，emd的，超级不会啊，能不能指导一下呢，好感激的，1013751550@qq.com

amber0918

楼主说得很全面啊，可是还是想请问，瞬时频率的物理含义是什么，比如我用一个正弦信号和一个三角波合成一个仿真信号，EMD分解以后，很明显能看见两个信号分开了，这时候对正弦的那个IMF做HHT，得到的瞬时频率是不是应该是一条直线啊，因为，正弦信号嘛，频率应该是恒定的。这样理解对吗？虽然我实际得到的瞬时频率杂乱无章