数学内在美举例？

mxlzhenzhu

纯属交流，发言有奖！

我先来
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华罗庚说了，要想体会数学的内在美；那么内在美是什么？
欧拉公式算一个吧（神奇），麦克斯韦方程组算一个吧（对称）；电路的微分方程，振动微分方程以及单摆微分方程的形式统一，算是形式美；
数学的内在美呢？
友矩阵的特征值和多项式的根的关系，算是一个内在美，因为他们居然有这种一眼看不见的内在联系！
Givens旋转变换是QR分解的基础，Givens变换的应用也是一种内在美吧；
在【0,1】闭区间，到底有多少有理数，有多少无理数，我们不知道；
负的无穷小和正的无穷大相加，我们其实不知道是不是为零,甚至不知道有没有意义，需要更多条件；
虚数单位的平方，等于-1；这个定义是人类探索自然科学的伟大一步，让很多问题得以解决！
复数域在多项式求根的完备性已经找到了，这算是一个内在美吧！
正弦和余弦函数，是无穷多阶光滑可导的函数；在傅里叶幂级数展开的时候，又可以用来拟合任意周期曲线；
根据泰勒展开定理，我们可以根据幂级数展开计算圆周率pi，这算是一个内在美吧；
另外，计算pi的方法到底有多少种？哪一种方法收敛最快？
变分法推导出了最小势能原理的有限元格式，将微分方程降阶，最后用求解积分问题来解决微分问题，微分和积分之间除了定义之间的形式美，居然可以有这样的关系与应用，应该是内在美；
在数值积分领域，Gauss数值积分等是现代有限元的基础，也是很多其他数值分析方法的基础，用求和来解决积分，这不是内在美么？同样，导数是用极限来定义的，可是实际应用中常常用差商来近似导数。
有限元里面的等参变换，不仅是形式美，它解决了积分的难题，虽然有瑕疵，但也算是一种内在美；
牛顿的数学原理一书，怎么推导出万有引力定理的？来自于几何分析！
牛顿迭代通式，和一些非线性方程组的求解，是一脉相承的，形式美和内在美高度统一。用牛顿迭代来计算整数的任意分数阶根，是一种内在美。


现代数值分析两大数学问题，一个是求解线性方程组，一个是求广义特征值，很多方法、理论和应用最后都归结于这两个问题；比如，有限体积法是求解流体动力学问题的基本方法，先用特征矢量来解耦流体的动力学方程，最后要用线性方程组来求解场变量；振动里面，经常用特征矢量解耦动力学方程，如果嫌精度不够，则用求解复数线性方程组来保证精度也是可以的，他们都能解决问题；复模态分析本身就是形式美和内在美的完美结合，因为扩阶以后的状态方程是对称的（如果原来也是对称的），且保留了矩阵的稀疏特性；

统计理论里面有一个大数定理，这个和蒙特卡洛数值积分有奇妙的内在联系；
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数学里面应该有很多精巧的方法，请大家举例！