混沌世界的分形描述

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混沌世界的分形描述
       混沌是20世纪70年代才发展起来的一门科学理论，十年后即80年代到90年代便掀起了研究热潮，同时受到《自然》、《科学美国人》等著名国际媒体的关注。由此可见，这个新兴理论的特殊魅力。
       混沌学隶属于非线性动力学，是非线性科学的主体内容。混沌学中的混沌不同于通俗意义上的混沌，也不同于一般科学中的混沌，而是具有确切意义的科学概念。这里的混沌是指确定性系统的无规行为。对于三百多年牛顿力学中的确定性原则，混沌理论无疑是一次重大的科学革命。
一、混沌的发现
       混沌研究的渊源可以上溯到十九世纪末，前后共有一百多年的历史。
       最早对混沌研究作出贡献的是俄国女数学家卡瓦列夫斯卡娅（Kovalevskaya），她在1889年给动力学系统稳定性下定义时，提出了度量小偏差增长率平均值的概念，这是朝混沌的独立理论迈出的第一步。此后，俄国数学家李雅普诺夫（Liapunov AM）将上述概念推广为李雅普诺夫指数，进而第一个给出了运动稳定性的定义，奠定了运动稳定性理论和方法。李雅普诺夫指数概念是确定运动稳定性问题的关键，至今仍是判定运动稳定性的基本方法。
       哈密顿函数是动力学系统中与总能量有关的状态函数，根据哈密顿函数表示的运动方程，可以把动力学系统划分为可积的和不可积的两类。这种划分使人们逐步认识到，牛顿理论实质上只是关于可积系统的理论，这样的系统具有周期运动和准周期运动的特征，它们在动力学系统中所占比例极小，小到“测度为零”的程度。而一般的动力学系统，包括多体问题都是不可积的，而其典型行为正是混沌。首先发现这种不可积系统动力学行为的是法国数学家庞加莱（H.Poincaré）。他因此而被公认为真正研究混沌的第一位科学家。
       庞加莱的发现是在研究天体力学时作出的。天体力学是随着牛顿力学的建立诞生的。微积分为描述行星运行提供了数学工具，借此可以概括运动定律，从某个初始状态出发，确定系统过去和未来的状态。这种模式在刻划天体力学中的二体问题（比如太阳和地球）时，的确非常成功。然而，天文观测发现，太阳系中有些行星的轨道在变化。比如，土星轨道在扩大，木星轨道在缩小。照此下去，木星岂不冲向太阳，而土星却将飞离太阳系？太阳系是稳定的吗？这在当时无疑是一个引人入胜的实际问题。
       1887年，瑞典国王奥斯卡二世（OscarⅡ）悬赏2500克朗，征解这个经魏尔斯特拉斯进一步明确化并呈交给国王的问题。两年后，庞加莱获得了此项大奖，他的获奖论文题目是《论三体问题和动力学方程》。这篇论文发表于1890年，长达270页，分三部分，第一部分确立动力学方程的普遍性质；第二部分把结果应用于牛顿万有引力作用下的任意多体运动问题。
       由于太阳系中有许多天体，它的稳定性问题需要研究这些天体在万有引力作用下的运动规律。此即天体力学中的N体问题。19世纪的数学家已经知道，N体问题属于不可积的难题，只能近似求解。庞加莱考虑的是限制性三体问题。所谓限制性三体问题，是当所讨论的3个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略。庞加莱说，这个问题尽管很简单，但不能用一般的分析方法来解决。他着手去寻找小质量体（考虑另外两个大质量体时被忽略掉的那一个天体）的周期运动。这是在论文的第三部分里，庞加莱试图解决微分方程周期解的存在性问题。他在得出形式上的级数解后，没有直接去证明收敛性，却从另外一个角度审视这个问题，意在严格地证明周期解的存在，同时隐含着级数的收敛。他的这种思想是独一无二的，其实用到了拓扑方法，是一种定性而非定量的方法。
       系统只要在某个时刻重复先前的特定时刻的状态，运动就一定是周期性的。这由微分方程解的唯一性保证。系统的状态是由相空间中的点的坐标表示的。当系统随时间演化时，这点的运动描出一条曲线。要使状态再次回复，这条曲线必须围成一个环。“曲线何时成为闭合的环？”这问题与环的形状、大小、位置统统无关，它取决于一点在此刻的位置与它在一个周期后的位置之间的关系的拓扑性质。
       正是在这种拓扑思想的指导下，庞加莱发明了一种像病理切片一样的“庞加莱截面”：抛开相空间的轨道曲线，只记录每次穿过截面时截点的变换情况，从而推知系统的运动特征。如果系统作简单的周期运动，那么轨道每次由同一处穿过截面，截面上只有一个不动点。如果运动是非周期的，截面上将有无穷多个无规则的点。庞加莱还为动力系统理论贡献了一系列的概念和方法，如动力系统、奇异点、极限环、同宿的概念和摄动方法等。他是微分方程定性理论的奠基人之一，他创立的组合拓扑学是当今研究混沌学必不可少的工具。
       庞加莱证明，三体问题一方面有周期解，另一方面某些周期是不稳定的。他在详细研究周期轨道附近流的结构时，发现在所谓的双曲点附近存在着无限复杂精细的“栅栏结构”。他描述说：“当人们试图画出这两条曲线和它们的无穷次相交（每一次相交都对应于一个双渐近解）构成的图形时，这些相交形成一种网、丝网或无限密集的网状结构；这两条曲线从不会自相交叉，但为了无穷多次穿过丝网的网节，它们必须以一种很复杂的方式折叠回自身之上。这一图形的复杂性令人震惊，我甚至不想画出来。没有什么能给我们一个三体问题复杂性的更好的概念”。庞加莱的发现表明，即使像限制性三体这样简单的系统，也会产生极其复杂的行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性，这其实就是我们今天所说的混沌。
       庞加莱没有解决太阳系的稳定性问题。但却回答了一个影响深远的普遍性问题：怎样研究复杂动力学系统中的稳定性问题。他因此成为通过数学推理发现混沌的第一个人。
       庞加莱并没解决N体问题，这个问题的解决依赖于KAM定理。1954年，前苏联学者柯尔莫果洛夫（Kolmogorov A）在阿姆斯特丹的国际数学家大会上，宣读了《在具有小改变量的哈密顿函数中条件周期运动的保持性》。在这篇划时代的科学论文中，他提出了一个重要定理。后来他的学生阿诺德（V.I.Arnold）及瑞士数学家莫泽（J.Moser）分别给出了定理的严格证明。因此，这个定理称为KAM定理。柯尔莫果洛夫研究了解析哈密顿系统的椭圆周期轨道的分类，发现了一个充分接近可积系统的不可积系统，对此系统若把不可积当作可积哈密顿函数的扰动来处理，则在小扰动条件下，系统运动图象与可积系统基本一致；当扰动足够大时，系统图象就发生了性质改变，成了混沌系统。这是19世纪以来，人们用微扰方法处理不可积系统，所取得的最成功的结果，具有极为重要的理论意义。它说明了不可积系统的混沌运动的发生机制。KAM定理被国际混沌学界公认为这一新学科的第一开端。
       美国气象学家洛仑兹（E.N.Lorenz）在天气预报中的发现是混沌认识过程中的一个里程碑。
       洛仑兹本来是学数学的，1938年大学毕业后，由于第二次世界大战，使他成了一名气象学家。战后他继续从事气象研究，在麻省理工学院他操作着一台当时比较的先进工具——计算机进行天气模拟。在二十世纪五、六十年代，人们普遍认为气象系统虽然非常复杂，但仍是遵循牛顿定律的确定性对象，只要计算机功能足够强大，天气状况就可以精确预报。冯·纽曼（Von Noumann）在设计第一批计算机的时候，就以天气模拟为理想任务。他甚至设想通过使用计算机计算流体运动的方程，人类就可以控制天气。
       天气变化是一种特殊的流体运动——对流。洛仑兹将萨尔茨曼（B.Saltzman）的简化对流模型做了进一步的简化，最后得到3个一阶微分方程，后称为洛仑兹方程。洛仑兹把这个方程作为大气对流模型，用计算机做数值计算，观察这个系统的演化行为。
       洛仑兹终于得出了一个惊人的发现。这个发现的过程本身也很有趣，是个偶然性的小插曲。
       1961年冬天有一天，他先算出了一个解，还想观察更长时间的演化情况。这次他没有重新输入初始值，而是把中间值作为初值输入节省运算时间，然后他下楼去喝咖啡。当他回到机房取结果时，却惊奇地发现，新一轮运行未按设想去重复旧运行的后一半。两条曲线渐行渐远，直到完全分道扬镳，毫无相像之处。
起初，他以为计算机又出了故障。但他很快意识到，问题出在他记录并敲入的小数是三位的，而机器内存储使用的是六位的。这个不到千分之一的误差导致了截然不同的演化结果，表明最初小小的误差可以产生两种完全不同的天气。这正是混沌对初始条件的敏感依赖性。洛仑兹后来把它称为“蝴蝶效应”，并通俗地比喻为：一只蝴蝶在巴西煽动翅膀会在得克萨斯引起一场龙卷风。
       洛仑兹的模型是对原型的简化，他把一组对流方程简化到只剩下了骨架。他本质上仍是一位数学家，他的数学思维在这里发挥了根本作用。这完全是一个理想的超现实的模型，除了非线性之外，后来的模型几乎什么也没有剩下。这样的模型更能定性地说明气象的本质。如果采用更能确切地刻划系统特点的高阶微分方程，那么数值结果的无规行为，就会被归咎于方程的复杂，因而不便发现混沌。洛仑兹的简单化数学处理，让人们从最简单的模型观察到奇怪、复杂的行为，并理所当然地承认，这种不确定行为源自确定性系统产生的内在随机性。斯图尔特总结说：“多数科学家对那些削去部分的作用忧心忡忡。他们未理解，洛仑兹根本不在意他的方程是否有物理意义。洛仑兹打开了通往一个新世界的大门”。
       物理上将动力学系统分为保守系统和耗散系统。如果系统中不存在摩擦、粘滞等因素，运动过程中能量守恒，这类系统称为保守系统；如果系统中有摩擦、黏滞性的扩散或热传守性质或过程，在运动过程中消耗能量，系统的能量不能保持恒定不变，这样的系统称为耗散系统。庞加莱在保守系统中发现了混沌，而洛仑兹则是在耗散系统中第一个发现了混沌。
       通过长期反复的数值实验和理论思考，洛仑兹以巨大的勇气向传统理论提出了挑战，揭示了计算机模拟结果的真实意义。在耗散系统中首先发现了混沌运动。他提示了一系列混沌运动的基本特征。如确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性等，他还发现了第一个奇怪吸引子——洛仑兹吸引子，并开辟了用计算机进行数值计算来研究混沌的道路。
       然而，洛仑兹的重大发现并未在当时引起重视。1963，他把第一篇题为《确定性非周期性》发表在美国的《大气科学杂志》。数学家很少有人翻阅气象学刊物，而气象学家们会把这个修剪过的对流方程视为左门歪道。因此，他的论文十年内湮没无闻。直到七十年代掀起混沌研究的热潮时，人们才惊奇地发现了洛仑兹的工作成果并开始理解他超越时代的思想。
       到20世纪70年代，混沌的数学理论和研究工具均已问世。KAM定理和洛仑兹的工作更把物理学家吸引到这个领域中来。物理学家阐明了混沌的实质，并在实验中证实了它的存在，混沌理论进一步得到确认，混沌研究的高潮来到了。
二、混沌的产生及特征
       混沌理论研究的是具有确定性的非线性系统，混沌可以看作是决定论方程的无规运动。混沌的正常状态不同于通常概念下确定性运动的三种状态：静止（平衡），周期运动和准周期运动。比如，它的轨道永不重复但却囿于有限范围，局部不稳定而整体稳定，无限自相似等等，所有这些复杂性特征及其产生机制都是混沌理论所最关注的核心话题。
       考察混沌的发生不必寻找很复杂的动力系统，选择一个理想的简单“标本”反而可以收到事半功倍的效果。历史上的探索是从一个非常简单的差分方程—Logistic方程开始的，由此洞开的混沌世界令人惊奇不已，一系列混沌的实质内容浮出水面，将人们对其特征和涵义的认识引向深入。郝柏林院士将此方程与二体问题模型、布朗运动模型相并列，用以说明经典自然科学的三次飞跃。研究二体运动揭示了确定论范式，研究布朗运动揭示了随机论范式，研究Logistic方程（映射）则揭示了复杂系统的浑沌论范式——确定论与随机论相结合的综合范式。
1．Logistic方程
       这是一个种群生物学模型。经典的马尔萨斯模型是无限制增长的线性函数。显然这种增长不受食物供应或道义约束的限制。而现实的模型中，生态学家需要带有附加项的方程，以期在种群数太大时限制增长。按生态学家的设想，最简单的模型莫过于稍稍修改一下马尔萨斯的模型。这个函数被称为逻辑斯蒂映射。20世纪50年代，曾有好几位生态学家考察过这个函数的修正形式。
       R.梅（Robert May）是美国的数学生态学家。他先在家乡悉尼学理论物理，后到哈佛大学做应用数学方面的博士后研究工作。1971年他来到普林斯顿高等研究所进行为期一年的访问，他没有做原本应该做的事，转而致力于逻辑斯蒂方程的研究，试图用它来揭示非线性种群模型的古怪特性。梅对这个初中生就已熟悉的最简单方程的行为，进行了大量的数值探索，意在一举弄清这个简单方程的全部行为，不是局部地，而是整体地看清楚这个非线性方程的动力学演化。
       1976年，R.梅在《自然》杂志上发表论文《表现非常复杂的动力学的简单数学模型》，提请大家对简单模型的复杂状态多加注意。这位美国生物学家知道，在全部科学中，专家们都曾看到和讨论过系统的复杂行为，但每一个学科却为混沌贴上了不同的标签。他正在探索的这些惊奇结构，与生物学并无内在联系。如果这些简单模型可以用于不同领域的复杂行为，该有多少其他领域的科学家会同他一样感到激动。他把自己发表的文章想象为“救世箴言”。他从这样一个简单的生态方程出发，讨论一个系统是怎样走向混沌的。
R.梅实际观察的是离散化的逻辑斯蒂差分方程
       他研究了成百个参数值。对每个参数，他观察这成串的迭代数字是否以及在何处趋向一个不动点。比如 时，种群数为0.6292。随着参数增大时，种群数也稍有增加。如果参数表示在横轴上，种群数表示在纵轴上，则当参数限定在0与3之间，这种种群数依赖于参数变化就会形成一条从左向右微微上升的曲线。但当参数超过了3时，曲线突然地一分为二，值在两个不同数之间振荡。这是周期2循环。此时定态失稳，成为周期性的。
       当增大到3.444…时，周期2吸引子也失稳，出现周期4循环，即种群数在4个不同值之间跳跃，周期再次加倍。当增大到3.56，周期又加倍到8；到3.567，周期达到16，此后便是更快速的32，64，128…周期倍增数列，这种现象叫做倍周期分岔。这种倍周期分岔速度如此之快，以至到3.5699…就结束了：倍周期分岔现象突然中断，周期性让位于混沌，表现为一种永不落入定态的涨落。
所有这一切看起来是非常简单的，当从0趋向4时，动力学性态的复杂性稳定增长：
定态→周期性态→混沌性态
       倍周期分岔则是使混沌开始发生的机制。
       但这并非尽然！R.梅还会更深层的发现！
       参数值继续上升，非线性对系统的驱动越来越强，稳定的周期又突然地出现，形成有规则性的窗口，倍周期分岔以更快的速度全面展开，很快地经过3,6,12，…或7，14，28，…这些周期，然后再次中断，进入新的混沌。
       R.梅把不同参数的迭代结果画在一张图上，得到倍周期分岔图，从中可以了解逻辑斯蒂映射的全部动力学性态。分岔是动力学系统的吸引子定性形式的任何变化；逻辑斯蒂映射恰恰充满着分岔。如此复杂的动力学行为使R.梅深感震惊，他把它描述为“数学草丛中的一条蛇”。进一步的观察还发现，即使在混沌区也还包含着复杂、精细的几何结构。
       首先，从参数由大到小看混沌区的变化会发现，为4时呈单片混沌。当参数降至3.6786时，混沌区一分为二，迭代数值在两个混沌带来回跳跃。为3.5926时，两个混沌带分成四个，然后八个带，十六个带……，直到临界参数3.5699为止。混沌区以与周期区相反的方向从右向左依次分为21，22，…，2n，…个带，叫做混沌区的倒分岔。
       其次，混沌区的窗口内也非空白。窗口内的演化是周期性的，最大的一个窗口是周期3窗口，位于3.828处。往左还有5，7，9，…等周期窗口。在2n带区内有2n×3，2n×5，2n×7…等周期窗口。若把周期窗口中某一部分放大，会发现与分岔图相同的精细结构。这种二级结构与一级结构构成奇妙的自相似嵌套结构。进一步把二级结构放大，还会发现嵌套在内的三级结构，四级结构，……。可见，混沌区中存在着无穷层次的自相似结构。
       这确实有点不可思议！这么一个简单的确定性方程，却产生了如此多的随机内容！而且，这么久以来人们还未曾把它产生有序和无序的可能性研究穷尽。事实上就是没有穷尽，梅的计划只是一个开端。美国物理学家费根鲍姆（Mitchell， Feigenbaum）从中发现了更多的东西。
2．费根鲍姆的普适常数
       费根鲍姆在美国的洛斯阿拉莫斯实验室工作。他同事谁也搞不清他在从事什么工作，包括他本人。他的雇主卡拉瑟斯是一位和蔼的但雄心勃勃的物理学家兼科学管理工作者，他知道，好的科学工作往往不出自计划。他认为“费根鲍姆具有正确的背景。他在正确的时候做正确的事，而且做得很出色。他不是做局部的事情。他把整个问题弄清楚了”。
      

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费根鲍姆有一个信念，物理科学未能理解艰难的非线性问题。当他开始在洛斯阿拉莫斯思考非线性时，他意识到正规教育中没有任何有用的东西。除了教科书中专门设计的特例，求解非线性微分方程组是不可能的。通过微扰技术求解，希望它与真正问题相接近，看来是愚蠢的。费根鲍姆最终确定从简单的类似于R.梅研究过的映射开始。他同时进行数值工作和理论分析，但迟迟看不到方程的整体图象，但能够看出，各种可能性非常复杂，分析起来会极其困难。他知道洛斯阿拉莫斯的三位数学家1971年已经研究过这类映射，其中的P.斯坦还提请他注意：这类映射甚至比任何人想象的还要复杂。于是，问题曾一度被束之高阁。
       然而，1975年夏天，他去科罗拉多的山间小镇参加了一次会议，会上他听了拓扑学和动力学专家斯梅尔（S.Smale）有关动力学系统的介绍。斯梅尔先介绍了逻辑斯蒂映射和倍周期分岔走向混沌。斯梅尔指出，某些有意义的现象可能就发生在周期转为混沌的临界处。同以往一样，斯梅尔对重要问题有敏锐的直觉。费根鲍姆又一次受到鼓舞，他决定重新研究逻辑斯蒂方程。
       费根鲍姆决定先精确算出分岔点的参数值。由于计算器太慢，每一次周期倍分的精确参数值要用好几分钟才能算出来，而且越往前走，时间越长。为了节省时间，他试图猜测下一个参数会在何处。忽然他发现一个出乎意料的规律：这些数字是几何收敛的。也就是说，相邻两分岔点的间距是几何收敛的。R.梅从逻辑斯蒂方程得到丰富的定性信息，他也曾看到过这个几何收敛，但很快就忘记了。他为方程的整体行为而激动，但没有意识这些数值细节会证明是重要的。费根鲍姆知道这些定量信息的重要性，因为几何收敛意味着方程中有些标度变换性质。在这样不守规矩的系统中，蕴含着某些标度变换下能保持下来的性质。在方程的湍流表面之下，藏着某种规律性。现在需要进一步确证这两个常数的普适性。
       费根鲍姆想起了他的同事斯坦等人还观察过其他方程，并发现了同样的周期倍增现象。发现一个多月之后，他终于下定决心把超越函数拿来做迭代试验。这一次，计算器算得更慢。但他还是很快发现，这个超越函数的迭代，其分岔间距比也是几何收敛的，更令他激动的是收敛速度（每次缩小的倍数）也是4.669。
       后来人们进一步发现，一维单峰映射都有相同的收敛速率和标度因子。而且，在许多包含耗散的高维非线性系统中，只要出现倍周期分岔序列，就会有同样的普适常数。当然，对于明显不同的峰形（如扁平峰或尖峰）和多峰来说，就不是这两个数值了。对于保守系统，与一维单峰映射对应的普适常数。因此，根据普适常数的不同可以划分不同的普适类，每一类内的映射的普适常数相同。同类映射中，我们只要研究一个最简单的典型实例即可。
       斯图尔特说：“费根鲍姆像一个魔术师，他从混沌大礼帽中抓出了普适性的兔子”。普适性的重要意义不仅在于他是一个伟大的思想结果，而且在于由此可以找到定量上完全相同的性质、可以预言的性质。
       1977年物理学家利布沙伯（ A.Libchaber）设计了一个理想化的但却真实的对流实验。随着温度的升高，他观察到了周期振荡的周期倍增效应，并验证了标度比4.669。费根鲍姆的普适常数从数学理想变成了物理现实，可以测量，可以再生。此后几年，世界各地进行的一大批实验证实了费根鲍姆的预言。不仅仅在湍流中，而且在电子学、光学，甚至生物学中。费根鲍姆的发现，改变了人类对宇宙的认识。
3．奇怪吸引子
       为了描述动力学系统的演化，要用到物理学中的相图。在物理学中，把表示动力学系统在任一时刻所处的状态（即速度和位置）叫做相，用相空间中一个点表示；这个点就是该时刻的动力系统；动力学系统的演化用相空间的一条曲线表示。系统的时间史全部包含在这条相空间中的轨道上，这有利于观察系统的变化。相空间是庞加莱发明，并由美国拓扑学家斯梅尔（Stephen Smale,1930-）继承和发展的定性方法，这是现代科学最强有力的发明之一。
       斯梅尔的思想非常独特。他对动力学作出过非常重要的贡献，包括1906年证明庞加莱猜想五维以上情形（他为此获菲尔兹奖）。他研究动力学系统时依据的是相图的拓扑特性，而不是定义他们的公式。为强调新的观点，斯梅尔用术语“动力学系统”来代替“微分方程系统”。在他看来，动力学系统最重要的属性是它的长期性态。吸引子作为它稳定下来成为的任何东西，即系统的稳定态，无疑是最值得的关注的。系统的运动只有到达吸引子上，才能稳定下来并保持下去。
       就平面内的结构稳定系统而言，吸引子只有两种：不动点和根限环。这就是说，系统的长期运动状态只能是静正和周期性重复某种运动系列。比如单摆运动，无摩擦力时，相图是一个闭环，这说明吸引子为极限环。当考虑摩擦时，摩擦会使摆的运动慢下来，最后停在一个定点，即中心点上。即系统趋于相空间中一个特定的点——不动点。另外，逻辑斯蒂映射即有不动点，也有极限环（2周期点，4周期点等等都是极限环）。
       在经典动力学系统中还有第三种吸引子——二维环面，它表示准周期运动。在这种运动中，质点同时作两种周期运动，是两重周期运动的叠加运动。那么这两种运动的合成还是周期运动吗？事实上，当两周期之比为有理数时，合成运动依然是周期运动；当两周期之比为无理数时，合成运动不再是周期运动。但可以证明，在经过足够长的时间之后，质点总可以转回到与其出发点任意接近的地方。也就是说，运动从不重复却又“几乎重复”，故称为准周期运动。这种运动常常出现在经典动力学中，因为天体力学中存在许多叠加现象。
       湍流是困扰物理学家的一个古老难题，同时也是促发混沌发现的一个重要因素。法国的数学物理学家吕埃勒（D.Ruelle）和荷兰数学家塔肯斯（F.Takens）正是在解释湍流的形成机理时，提出奇怪吸引子的概念。
       湍流究竟是什么？它是各种尺度上的一堆无序，大涡流中套着小涡流。它是不稳定的。它是高度耗散的，是一种变得随机的运动。然而，流体怎么越过从平滑层流到湍流的分野的呢？20世纪40年代，俄国科学家朗道（Landa L D）提出了一个假说。他认为，湍流是许许多多互不相容的频率叠加在一起的结果。后经德国数学家霍普夫（Hopf E）补充，形成了流行三四十年之久的朗道一霍普夫理论。
       吕埃勒其实并不精通流体流动，但他认为，新事物总是非专家发现的，况且湍流还没有深奥的理论，只有一些非专家就可以理解的性质。他听过斯梅尔的报告，知道斯梅尔的通过伸缩和折叠进行马蹄变换的拓扑思想。基于斯梅尔的语言，他和来访的塔肯斯合作，于1971年发表了《论湍流的本质》一文，提出用混沌来说明湍流形成机制的新观点。他们认为，湍流中的能量消耗必然要导致相空间的收缩，从而收向某种其他类型的吸引子。这种吸引子应该具有稳定性、低维性和非周期性。它是相空间中有限区域中的一条无限长轨道。两位数学家是靠数学推论作出这个断言的，他们自己从来没有见过，也没在文章里给出示意图。但是仅有这个论断就足以奠定他们在混沌研究中的历史地位了，他们提出了一个完全不同的通往湍流的道路。
       其实，吕埃勒和塔肯斯设想的图像早在十年前就已经存在了。1963年，洛仑兹在自己的论文中附了一张图，图中画了一条十分复杂的曲线，正是奇怪吸引子，后称为洛仑兹吸引子。这条曲线分左右两叶，左叶画出五道环，右叶画出两道环。仅这七个环线，洛仑兹就进行了500次数值计算。就当时他的计算机能力所及很难给出这个图象的全貌。但他看到的比画出的要多。这是一种双螺旋，像一只蝴蝶的翅膀，两翼的曲线巧妙地交织着，但永远不会自交。因为一旦自交，此后的运动就会按周期重复。在有限的范围内永不重复，无限地向纵深卷曲，正是这个吸引子的美妙之处。当吕埃勒看到洛仑兹吸引子时，其惊讶和激动之情可想而知。据说，在以后的年代中，吕埃勒还专门去拜访过洛仑兹一次。
       就吕埃勒和旨塔斯提出的线索，人们分别从理论上和实验上进行了探索。洛仑兹吸引子典型吗？奇怪吸引子适用于自然中的混沌吗？
       在德国，1976年一位名叫若斯勒（Otto R?ssler）的医生发现了一种特别简单的吸引子，它是洛仑兹吸引子的一个变种。
       在法国，一位远离流体力学的天文学家——埃侬（M.Henon）,建立了一个由能级决定性态的动力学系统，发现了高能级时的轨道解体，得到一个卵形图。他在听到吕埃勒和洛仑兹吸引子之后，决定抛开系统的物理意义，集中探究其几何实质。关键在于斯梅尔的马蹄变换思想。经过伸缩和折叠，得到一幅像一轮弯月一样的图象。其精妙之处在于，图的轮廓可以分解成不同的线，然后两条线分解成四条，其中一对靠得很近，另一对离得较远。再放大后，四条线中的每一条原来都由双线组成。……如此嵌套，直至无穷。
       一般来说，天文学家在计算中忽略耗散。没有耗散，相空间就不会折叠和收缩得产生无穷的自相似层次，从而永远不会出现奇怪吸引子。然而，埃侬也是一位跟数学有着未了缘的科学家。他发现了混沌，并且变换出了奇怪吸引子。他开始时就对微分方程组作了些简化。正如他说的，“为了多一些实验自由度，我们暂时忘掉问题的天文学来源”。他的确从简化中获得了报偿。他抽象出的实质内容同样适用于其他更重要的系统。他在获得奇怪吸引子之前再次抛开系统的实际背景，施行了一些纯数学的手段。
       另一方面，科学家们在自然界看来具有随机性行为的一切领域寻求奇怪吸引子。1981年，美国加州大学克鲁兹分校的几位物理学家，通过龙头流水实验，从实验数据中重建了滴水龙头动力学中奇怪吸引子的拓扑结构。奇怪吸引子的混沌动态是造成某些湍流现象的原因已得到认可。
       在耗散系统的混沌研究中，奇怪吸引子是一个中心问题。耗散系统的混沌与保守系统的混沌的根本区别在于有无吸引子。对耗散系统的混沌研究一个常规模式是：寻找奇怪吸引子，刻划奇怪吸引子。
4．混沌的特征
一般认为，混沌具有以下三个主要的定性特征：
（1）内在随机性。从确定性非线性系统的演化过程来看，它们在混沌区的行为都表现出随机不确定性。而且这种不确性是没有受到外部干扰对系统运动的影响，而是系统自发产生的，是一种内在的随机性。上述的混沌研究表明，只要确定性系统具有稍微复杂的非线性，就会在一定控制参数范围内产生出内在随机性。混沌常被称为自发混沌、确定性的随机性等，它所强调的就是混沌现象产生的根源在系统自身，而不在外部的影响。
       内在随机性往往导致局部不稳定性。一般来说，产生混沌的系统具有整体稳定性。但与有序态比较，混沌态的不同在于它同时还有局部不稳定性。所谓局部不稳定性是指系统运动的某些方面（如某些维度上）的行为强烈地依赖于初始条件。从两个非常接近的初值出发的两条轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够”远，表现出对初值的极端敏感。即所谓“失之毫厘，谬以千里”。洛仑兹称这种现象为“蝴蝶效应”。正因为具有内在随机性的系统对初值的极端敏感，系统的长期行为才不可预测。
（2）分维性质。混沌态具有分维性质。非整数维可以用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征。比如奇怪吸引子的无穷层次的自相似结构。
（3）普适性和费根鲍姆常数。混沌不是纯粹的无序，而是种种不具备周期性和其他明显对称特征的“高级”有序运动。如果数值的或实验的分辨率足够高，可以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动花样。混沌区的系统行为往往体现出无穷嵌套的自相似结构，这种标度不变性代替了通常的空间和时间的周期性，成为混沌运动的规律性。费根鲍姆在研究逻辑斯蒂方程时，发现了其中隐藏着的内在规律，获得了两个反映自然界本质的新的普适常数。其中δ=4.6692016901……反映了倍周期分岔速度的几何收敛性，以几何级数方式的收敛意味着有标度变换规律。α=2.502907876 反映了前后分岔宽度之间的倍数关系。
δ=lim[Δμ(n)/Δμ(n+1)
=lim{[μ(n)-μ(n-1)/[μ(n+1)-μ(n)}
=4.6692016091029
α=-lim{μ(n)分形伞区宽度/μ(n+1)分形伞区宽度}=2.502907876
这两个常数虽然得自一个生态方程，但它们与种群演化过程无关，也不是该方程特有的而是普适的，是混沌现象深层规律的一种体现。这种普适性为研究和把握混沌带来了许多方便，只要研究一种最简单的模型，就可以将所得结论放心地运用到同类运动形态中去。
       在混沌运动中发现自然常数的意义是十分深远的，在物理学中普朗克常数h、光速c的发现都已作为物理学理论发展的一个重要的里程碑。费根鲍姆常数的发现标志着混沌理论的相对成熟。
三、分形几何
       1967年，法国数学家曼德勃罗（B.Mandelbrot）在《科学》杂志发表文章《英国海岸线有多长》。他用分形思想，对海岸线的本质作了独特的分析，其结论震惊了学术界：任何一条海岸线的长度都是不确定的，它取决于测量所用的尺度。
       曼德勃罗提出了一个怎么认识非线性复杂世界的根本问题。
       长期以来，人们一直在使用欧几里德几何学的方法，对复杂的对象进行简化和抽象，建立起各种理想模型（几乎都是线性的），把问题纳入可解的范畴。对这种模式，由于从中学到大学的不断熏陶，人们已经习以为常。这种线性的近似处理方法，在许多情况下是卓有成效的，从而在科学上取得了丰硕的成果。然而，环顾四周，自然界的各种事物都是不规则的。正如曼德勃罗所说：“云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线引进”。复杂世界需要更贴近自然的几何学。而分形正是直接从非线性复杂系统的本身入手，从未经简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性。因此，分形几何与传统的欧氏几何不同，是自然界的几何学。
       曼德勃曼是美国IBM公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学系教授。他于1924年出生在华沙，父亲是成衣批发商，母亲是牙医。1936年迁往巴黎。由于战争，他受的中学教育并不正规。但巴黎解放之后，他在缺乏准备的情况下，却通过了巴黎高师的入学考试。他的思维极其图形化，无论什么数学问题，他几乎都能把它转化为几何问题，通过图形变换求解。他正是用这种方法掩盖了自己的训练不足，顺利地通过了这次考试。当时布尔巴基的形式主义统治着高师的数学，曼德勃罗因不堪忍受而转到巴黎高工读书。10年后，他因同样的原因而离开法国到美国定居。他不愿放弃自己的几何直觉。
       “分形（英文fractal）”是曼德勃罗新造的，原义是“不规则的、分数的、支离破碎的”。他是参考了拉丁文fractus(弄碎的)后造出来的，它既是英文又是法文，既是名词又是形容词。曼德勃罗对不规则的形状和不规则的现象特别感兴趣，他对早期人们遇到的“病态”集合进行了研究，包括康托尔集、魏尔斯特拉斯曲线，皮亚诺曲线和科克曲线等等。他还研究过海岸线、通信中的噪声、尼罗河水位的记录、棉花价格和股票市场的涨落等不规则的东西，取得了一系列令人瞩目的成功。他把早期人们对分形集和维数理论的研究成果进行总结，集其大成，于1975年以《分形：形，机会与维度》为名发表了他划时代的专著。这标志着分形理论的正式诞生。
       什么是分形呢？事实上，目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说，分形是对没有特征长度，（所谓特征长度，是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者，例如一个球，可用它的半径作为它的特征长度），但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。曼德勃罗曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合，或者具有某种意义下的自相似集合；他也曾给出一个尝试性的定量刻画，说分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。但是所有这些定义都不够精确、不够全面。不过，一般来说，自相似性和分数维数代表着分形的两个基本特征。
       自相似性是分形最本质的几何特征。用不同的尺度观察分形，看到的是相同的图形。不仅局部与整体形状相似，而且局部的局部也与整体相似。
       根据上述定义，科克曲线的分维数D=ln4/ln3≈1.2618，而其欧氏维数为1，分维数大于欧氏维数，故科克曲线是分形。再如康托尔集，D= ln2/ln3≈0.630929，而欧氏维数为0，康托尔集也是分形。这两个曲线都是典型的数学分形，而自然界中的分形有所不同。像山脉、流川、海岸线以及布朗粒子的运动轨迹都是分形。它们没有数学上严格意义的自相似性，只有随机的自相似分布；而且，自然界分形的相似层次是有限的，分形只存在于特定的限度内，不存在无限的自相似层次。
       从1978年开始，曼德勃罗等人开始研究在非线性变换（即允许以简单放大与平移更复杂的操作如平方、立方等）下保持不变的分形。他们利用计算机来产生这样的分形图形，并研究它们的性质，又发现了混沌现象，导致了混沌动力学的建立。
       曼德勃罗是从简单的复平面迭代Z←Z2+C开始的，这里C是常数。对于一定的参数值C，观察发现每一个初始点Z0的迭代结果，要么趋向无限，要么在某几个值之间循环振动，这些值正是吸引子。导致无限的初始点集的边界称为朱利亚（Julia）集。而对于某些特定的参数值C，迭代结果出现无规则振动的现象，就是混沌。
       朱利亚集是分形。根据连通性可分为两类。如果连通，把对应的C涂黑，否则不涂，则得到曼德勃罗集。
       曼德勃罗集被称为“数学恐龙”，是当今数学上最为复杂而又有序的对象之一。它已经成为混沌的一种国际标志。这个集合有许多奇妙之处，比如在其内部隐藏着所有可能的朱利亚集，它们和谐地合并着，每个都精确地位于它自身的常数C值之上。曼德勃罗集只有一个，它就像是无数朱利亚集的目录。关于曼德勃罗集，人们还有许多问题正在探究，每一次深入的研究，都会带来新的发现。
       与欧氏几何不同，分形几何中没有像点、线、圆这样的基本元素。应该说它首先是一种几何语言，是由算法及程序来描述的，并可借助计算机转换成几何形态。由于分形的自相似性，这些算法中多有递归、迭代的特点。回顾逻辑斯蒂迭代方程，我们可以将其同复映射Z←Z2+C作一类比。前者的吸引子可与后者的朱利亚集相比（作为无穷大点处的吸引域）；前者的倍周期分岔图可与这里的曼集对应。由此可窥混沌与分形的内在一致性。分形是混沌的几何结构，而混沌则是分形形成和演化的动力学。混沌的典型特征是奇怪吸引子，而奇怪吸引子具有无穷嵌套的自相似性和分维数，因而奇怪吸引子都是分形。在应用中，分形和混沌常常形影不离，比如在湍流的研究中，涡旋的嵌套结构显然是分形。总之，分形与混沌有着密切的联系，我们可以用分形定量地刻划混沌，同时从混沌研究中得出的定性结论进一步发展分形几何。
       分形的应用发展远远超过了理论的发展。八十年代中期，许多国际大公司组织人力研究分形的应用，诸如石油、冶金、化工等行业的应用都卓有成效。保温性能最佳的人造羽绒便是根据分形原理合成的。金属表面分形能够提供有关金属强度的重要资料。核反应堆的安全问题也是分形应用的用武之地。分形在电影事业中也大有可为，它可以创造出人世间从未有过的绚丽多彩、奇妙无比的景象。因此好莱坞立意发展这种新的电影艺术。随着分形的广泛应用，一些新的数学方法和工具被不断提出，对分形的理论提出了更高的要求，这将会促进分形几何的进一步发展。
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