力学科普：流形与张量

weixin

　　物理处处离不开数学，想真正把物理知识搞懂，数学的参与是必不可少的。这样首先要求的一点就是，物理存在本身必须具有数学形式，才能利用数学进行描述，进而予以分析和解释。作个最简单也最普遍的解释，整个物理学研究的无非就是万物永不停息的运动和互相作用，我们怎么去描述这些事情才是物理性的描述呢?对于运动，我们就会引入速度、位置等概念把它量化，对于互相作用，我们则会引入力，力的背后又有电荷、引力质量等数字化的属性决定其大小和方向，力的作用结果也是通过加速度、动量和能量等所谓“有数”的概念进行理论描述和分析的。所以，任何物理存在都必须能够化成数学对象，才能登上物理学的大雅之堂。

　　有些科普书里在介绍弯曲时空理论时，它会这么说：宇宙好比一场戏，既要有演员，又要有台景灯光音响这样的背景，对于物理现象这一场戏来说，演员当然就是形形色色的物质，而充当“背景”这一角色的则是时空，物质的运动、作用等等行为都要依靠时空背景才能上演出来，广义相对论所认为的物质使时空弯曲，就好像是演员依据情景进行表演，但表演行为却又以一定的规则反过来影响到背景布置一样。这种充当“背景”的东西，本身也是物理存在，既然如此它就必须具有数学形式才能用物理学的理论进行处理。

　　在这里不妨插一段小评论：笔者认为有必要破除大家的一个误区，那就是有些人会认为时间是人的主观意识的产物。——什么，你说这是爱因斯坦说过的?那也说明不了什么问题，一来即便是老爱说的话也不能就说是绝对正确，二来你能保证你的理解和他的本意完全相符么?所以请继续往下看：出现这种误区的原因，十有八九是把“时间”和“计时”二者搞混了。时间本身是客观的东西，它就是在不停的流逝，虽然有些物理因素会影响其流逝，但这完全不是根据想法而改变的;而“计时”则是主观的，你为了用量化的形式对时间进行描述，就不得不对它施加一些零时刻啊时间单位啊这样的数学手段，把岁月的长河中的每一点每一朵浪花每一片落进来的桃花柳叶标注上时刻，“时刻”这个东西才是主观的，与时间本身没有原则上的关系。还记得前面的贴子里说过的规范与规范对称吗?这里所说的事情，与要描述物理现象就必须人为设立规范，但人为设立规范不会影响物理过程本身，是同样的道理。

　　回到正题，其实这段评论已经把本帖要讲的第一个概念引出来了，那就是“流形”。流形这种东西听起来很晦涩，但其实无处不在，往简单了说，你不管讨论什么，都要在一定的“背景”抑或“前提环境”下说话，只是很多时候有默认所以不赘述罢了，比如你在讨论精神病人的行为的时候，都是不自觉的把大多数人的舆论认同这一环境当成了正常的标准，如果有个人说除了我手中有真理之外全世界的人都是白痴，那实际上说明——他自己才是白痴，对吧?——这种充当背景或环境的角色的概念或概念框架，数学上称为一个“空间”，是承载问题的基座，如果某个这样的空间又具有“微分结构”，说白了就是“连续”的——这里的连续两个字你就可以完全可以凭感觉去体会理解了，比如时间是连续流逝的，物理空间是连续伸展的——那么这个空间就是一个流形。时空是连续的、承载物质及其运动和相互作用的背景，所以时空在数学上是一个流形，更具体一些的说是R⁴流形，4的意思好理解，就是四维，而R的意思是这四维在任何一维上都像直线一样向两边无限延伸，而不是闭合成环或有打结、断开之类的表现。

　　说完了背景，就该说演员了，毕竟演员——也就是物质——才是主角。我们在第一贴里曾经给出过作用量的表达式：

　　x,t在上面说过了，是时空流形(当然其实是流形上的坐标，它们与后面的话题有关，所以这个我们待会再谈)，而动量p和能量E则是物质所表现出来的。同时空流形一样，动量和能量依附于具体状况的物理存在——如果你觉得这两者不过是人定义出来的量，那么我问你，动量定理Δp=FΔt总记得吧?功能关系W=ΔE=F·s总记得吧?这两个定理说明了一件事情：相互作用就是动量和能量的传递，所以这两者是不折不扣的物理存在(当然不能否认它们同时也是这两种物理存在的量度，就像电流既可以指电荷定向移动这一物理现象，也可以指这种现象的强度)。既然是物理存在，那么必须有数学对象进行表示，而这种数学对象就是要谈的第二个词：张量。这个词也是高人们经常挂在嘴边的词之一，不过其实你在中学时已经接触过两类了，那就是标量和矢量。这两个概念不在这里赘述，我们只说说高阶张量和作为物理量的张量要具有的特性。

　　低阶张量会助你理解高阶的是怎么回事，一个很简单的表述就是：标量就是零阶张量，矢量就是一阶张量。刚学的时候老师会这么教你：标量只有大小没有方向，矢量在大小之上还有个方向。

　　那高阶张量呢?高阶张量其实就是在低阶张量上再套方向，比如二阶张量就是在矢量的每一个分量上再套上一个方向而得来的。什么意思?举个形象的比喻，你就在任何地方站立着，脸总是要朝着某个方向吧?这可以用一个矢量来描述，现在，你再用右手指向任何一个方向，这时如果想描述你的姿势，那就要在你的脸的方向上再套上你的手指的方向了，此时就是一个二阶张量，它的具体形式是，把指示你面向的方向的矢量，和你手指的方向的矢量，前者的每一分量和后者的每一分量各自相乘，得出来的就是二阶张量的相应分量。在这个例子里，脸和手指的指向各自都是三维矢量，所以二阶张量就是3×3=9个分量，这个张量能够“完备”且“封闭”的描述你脸和手的指向(也就是说无论你面向何方，手向哪指，都必然有一个张量值与之对应，同时每一个张量值也必然对应某个姿势)。

　　而三阶张量也就好理解了，你再向任意一个方向伸出左手，把你的脸和两只手全考虑进去就是个三阶张量，四阶呢?那你再伸出一条腿来吧，或者你可以允许自己屈臂，把你手臂的前后两节分开来考虑。更高阶的呢?如果你是只章鱼，你尽可以把你的一个脑袋和八条腕全用上，弄出个九阶张量来，这也随你便。

　　顺便一提，这是数学上的“直积”运算，两个矢量的直积是一个二阶张量，一个m阶张量和一个n阶张量的直积则是一个m+n阶的张量。物理学中有很多二阶的张量，其中最著名最常见的也许是应力张量、电磁场张量和能量-动量张量，它们的物理意义其实都可以看出“在某个方向的基础上又向哪个方向怎样怎样了”的影子。就以应力张量举例，固体受到迫使它形变的作用时，内部会产生抗形变的应力，要描述这种应力，既要看受力的切面本身指向哪里，又要看切面受力是向着哪个方向，所以是个典型的二阶张量。而很多常见的张量尤其是在相对论框架下定义的张量，由于时间也进来插了一脚，所以要这么理解并不是那么显而易见，但这个你自己不妨把时间也当做一个方向来思索思索，这对你理解相对论是非常有益的。

　　来源：CubicL的基础力学教学科普(ID:CubicLME)