傅立叶变换家族族谱：各类傅氏变换总结

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　　导读
　　傅立叶变换自提出以来，在物理学、通信科学、电力科学、地质勘探等众多领域有着重要应用，其衍生出来的各种变换类型较多，本文将对各类傅立叶变换做一个简要的总结。

　　1、傅立叶变换最早来源于连续周期信号的连续傅立叶级数 (CFS)，注意到CFS仅仅针对连续、周期信号。注意CFS有两种形式，根据欧拉公式的分解与合成，可分为三角傅立叶级数和指数傅立叶级数。

　　2、将非周期信号看成周期信号的周期取为无穷大，就将CFS降为连续傅立叶变换 (CFT)。注意到CFT这个概念虽然是由周期信号周期取无穷大来引入的，但是CFT同时适用于周期信号，所以CFT适用于连续的周期或者非周期信号。差别在于，非周期信号的CFT是连续谱，而周期信号的CFT是离散谱，这里可以用一条口诀记忆，一个域的离散会导致另外一个域的周期延拓。

　　3、对于离散周期序列，那么它有离散傅立叶级数 (DFS)。

　　4、对于离散序列 ，它有离散时间傅立叶变换 (DTFT)，特别要注意这里的DTFT中，频率属于数字角频，和CFT中的模拟角频是不一样的。两者关系是：数字角频=模拟角频*抽样时间。还需要注意的一点是，DTFT属于离散的时间连续的频谱，频谱是连续的。对于由连续信号抽样得到的离散时间序列，DTFT是一个周期延拓的频谱，DTFT在一个周期内的频谱包络和CFT的频谱包络是基本一致的。

　　5、对于离散序列， 它除了有DTFT，还有DFT。区别在于DTFT属于时间离散，频谱连续;而DFT则是时间离散，频谱也是离散的。所以DFT本质上是对DTFT在频域上均匀采样。并且DFT是DFS的单周期主值，也即是将非周期序列周期延拓后的周期信号的DFS的单周期主值。

　　6、对于离散序列，其DFT的快速算法称之为FFT，由于DFT采用矩阵相乘，算法复杂度为信号规模的平方，而FFT有效利用了旋转因子的对称性，很好地降低了DFT的复杂度。FFT有时间抽取 (DIT) 和频率抽取 (DIF) 两种。

　　7、对于离散序列的z变换，如果将z用exp(j*数字角频) 做变量替换，则z变换退化为DTFT。

　　来源：陈颖频科学网博客
　　作者：陈颖频