计算气动声学CAA：主要的空间离散格式简介

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　　计算声学(CAA)和计算流体力学(CFD)通过求解由偏微分方程组构成的控制方程来预测声场/流场的特性，二者的差异主要体现在：
　　  · 声场能量和不稳定流动能量值差别巨大;
　　  · 声场传播和流体动力学中的特征长度不尽相同;
　　  · 频率范围差异巨大(CAA处理的声波动问题频率宽得多)。

　　为了准确计算声学现象，因此需要发展更高数值精度、更小耗散(dissipation)和色散(dispersion)的数值格式。
　　  · 数值耗散(dissipation)，在CFD中会有助于数值计算的稳定性，但是在CAA中会把声学小扰动量抹去;
　　  · 数值色散(dispersion)，会破坏声场各个谐波量之间的相位关系。

　　时间步进(Time Marching)和空间离散(Spatial Discretisation)，例如：

　　其中：∂u/∂t对应于时间离散(time marching)，∂u/∂x对应于空间离散(spatial discretisation)。

　　空间离散的方法有：有限体积法(FVM)、有限元法(FEM)、有限差分法(FDM)。以下介绍CAA中主要的空间离散格式。

　　有限体积法

　　FVM的基本步骤：
　　  · 将计算域划分为多个有限体积(控制体);
　　  · 对每一个控制体使用积分形式的守恒关系;
　　  · 使用恰当的方法解这些关系式。

　　对于2-D连续方程：

　　有：

　　其中vi为控制体，Lij为控制体边的长，u为向外法向量。

　　对上述控制体写出守恒形式的积分方程：

　　此处S为控制体的表面，n为控制体表面指向外面的法向量。

　　考虑如图所示的非结构型网格所定义的i节点，将其关于空间离散化后有关系式：

　　上述式子是FVM的一般形式，vi代表控制体的体积，Lij为相应的表面积。一般来说，FVM的精度比较低(≤2nd order)，在CAA中用途不是很广。

　　有限元法

　　FEM(Finite Element Method)是将计算空间离散成任意形状和大小的子元，所求解量用所谓的basis functions和周围的量线性组合而得。

　　如果用Ni(x)表示basis function，则q(x)的近似解可以表示为：

　　FEM具有适用于非结构网格和易于拓展至高阶的特性;在实际运用中，综合了FVM和FEM特性的discontinuous Galerkin(DG) method已经成功的用于求解N-S方程。

　　有限差分法

　　FDM(Finite Difference Method)用网格节点上物理量来表示空间导数的值，其基础就是泰勒展开。以一维连续方程为例：

　　对于∂f/∂t，可分别使用如下两图所示的计算格式：

　　Explicit 3 points stencil with 2nd order：

　　Explicit 5 points stencil with 4th order：

　　· FDM的误差是以o(Δx)ⁿ来衡量的，其中Δx为空间步长，n为误差精度，n越大表示精度越高，具体取决于所用stencil和格式;
　　· 有限差分格式适用于结构网格;
　　· 有限差分格式很容易推广到高维情形;
　　· 提高计算精度无外乎：(1)提高n;(2)减少Δx。但减小Δx的值意味着增加网格数目，会使得计算量大大增加，因此需要设计高精度格式;
　　· 在一般的CFD计算中2nd精度格式稳定性较好，同时又能提供足够的精度来模拟流动。但在CAA中为了准确模拟声学小量的发展过程需要使用高精度计算格式。

　　格式小结

　　· FDM只使用结构网格(Structural Grid System)，而FVM及FEM可适用非结构型网格，其中FEM的网格可以是任意大小和形状，因此后两个方法可以采用网格自动生成工具;
　　· 一般而言，FVM的精度较低(≤2nd order)，FEM及FDM都可以延展至高阶;
　　· FDM由于形式固定，容易延展至高阶精度，因此在CAA中常常使用此格式;
　　· FDM主要有显式格式和隐式(紧致)格式之分，在阶数越高时，显式格式会需要较大结点数目的stencil，隐式格式则可以用较小的stencil实现高阶格式。


　　本文根据北京大学工学院力学与空天技术系特聘研究员黄迅的PPT讲义《计算气动声学：空间离散格式》的部分内容编辑而成。