从噗噗噔儿谈到非线性

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　　噗噗噔儿，是一种甩玻璃吹制而成的玩具。吹制的办法是，先将玻璃拉成一根管子，然后将它的端部吹成一个球，最后趁玻璃还软，在一个微凸的平面上一摁，使底平面略向内凹，待冷却后即成。通常多为暗红色或红褐色。图1(b)是清朝同治光绪年间民间艺人画的彩色画“北京民间风俗百图”中的“卖琉璃喇叭图”，图中左筐上边即有几只噗噗噔，它的形状如图1(a)。图1(c)则是40年代的一张民俗剪纸，右筐上也插着几只噗噗噔。据日本学者林谦三的考证，噗噗噔大约在江户时代(1603～1867年)传入日本，称之为鼓珰(poppen)并附有一张插图，如图1(d)。

　　由于它的底薄如蝉翅，且略凹，玩的时候对着管端轻轻吹气，当内部气压略大时，底儿便变形而突然外凸，随之噗地一响;然后再吸气，随着内部压力减小，底儿又噗地一响变为向内凹，这样一吹一吸，便响个不停，很好玩。

　　但是，由于这种玩具很易破碎，不小心能够划破皮肤，再加上新的电子玩具的出现，所以近几十年来生产很少了。早年它却很流行。它的名称很多，北京一带也称不不登、倒掖气、倒掖器、响葫芦;山西一带则称咯嘣儿、琉璃咯嘣儿;广东一带称料泡等。

　　噗噗噔儿在中国发明得相当早，在明末刘侗、于奕正合写的《帝京景物略》中有记载：“别有衔而嘘吸者，大声哄哄(hǒng)，小声唪唪(běng)，曰倒掖气。”可见它的发明当不晚于明末。书中还记有一首儿歌，现录在下面：

　　倒掖器，如瓶落阶瓶倒水。

　　匀匀呼吸吹薄纸，吸少呼多瓶脱底。

　　藏爹钱瞒爹眼里，迷糊琉璃厂甸子。

　　儿迷糊，倒掖器，爹着汗，嬷着泪。

　　这首儿歌的大意是：倒掖器玩起来，它发出的声音有如瓦盆掉在台阶上或小口瓶往出倒水，由于它很不结实，所以必须均匀地吹吸，就像吹一张薄纸一样，一不小心就会将底吹脱落，很容易吹坏。歌的后半阕是说一个淘气的小孩背着爹妈拿了钱去逛琉璃厂、厂甸，买倒掖器玩，结果害得爹为了寻他而汗流夹背，老妈妈急得哭泣。这里“迷糊”有迷恋与糊涂双关的意思。

　　时间上大约是噗噗噔儿发明稍后，英国人胡克(R.Hooke，1635～1703年)在1660年发现了一条定律，并且于1676年发表了。这就是现在中学教科书上说的胡克定律，即：在材料的弹性极限内，弹性物体所受的力与变形成正比。如果用p代表外力，d代表变形量，则胡克定律可以表示成p=kd，这里k是与p和d都没有关系的常数。比虎克略早的法国数学家笛卡儿(Descartes，1596～1650年)，在他41岁时，即1637年，发表了他的名著《几何学》，也就是后来解析几何的最早起源。书中认为在平面上建立了坐标系，任何一个两个变数的方程可以对应于平面上的一个图形。有了这个方法，胡克就可以将他的外力与变形的关系画在图上，结果是一条直线，所以后来也将胡克所描述的这种外力与变形的关系称作线性关系。

　　胡克搜罗了他当时所能收集的许多例子加以研讨，结果都符合“线性关系”。其中有：螺旋弹簧，外力是拉力，变形是伸长;钟表发条，外力是中心轴的力矩，变形是中心轴旋转过的角度;一根悬吊的长长的线，外力是拉力(下端的重物)，变形是伸长;木制的一端固定，另一端自由的梁(悬臂梁)，外力是自由端所悬重量，变形是自由端铅直位移(挠度)。在所有这些例子中，“线性规律”都是成立的。据国防科技大学老亮教授考证，在我国东汉经学家郑玄(公元127～200年)在《考工记》注中，通过对弓的试验的注中，就已经有外力与变形成正比的记载。比胡克早了1400多年。

　　噗噗噔儿虽然发明得比胡克出生还要早，可惜由于当时中西交通的阻隔，胡克小时候肯定没玩过这玩艺儿，否则他在总结他的定律时，恐怕要困惑不解了。如果将噗噗噔儿也看作一个在外部力作用下的变形物体，这里外力是内部空气的压强减去大气压，变形可以用圆形底部中心的位移来量，不妨设底部为平的时，变形为零。这时，外力与变形的关系不再是一根直线，而要复杂得多。

　　对于噗噗噔儿的外力变形曲线来说，也可以将它画在平面上，令水平坐标表示变形d，铅直坐标表示压力p，图2曲线ABODC即是。设未吹气时，噗噗噔的状态处于A点，这时d是负的，表示底向内凹。随着吹气使内部压力增高，底也逐渐向外移动，当内部力p增加时，于是便使噗噗噔的状态到达B点。我们看到从B点，变形曲线是伸向BO段，但这一段上，压力必须下降，实际上我们还在继续吹它，不可能下降，于是噗噗噔的底部中心便直接跳向C点，然后若增加压力再沿DC段往上去。从B跳到C，噗噗噔的底儿瞬时便从凹形跳到凸形，发出一个清脆的响声。在B点，噗噗噔的状态发生突然变化，所以我们称B点为临界点。

　　现在当噗噗噔状态处于C点，即底向外凸压力为正，如果减少压力，或轻轻吸气，则噗噗噔的状态又会沿CD段到达D点。这时再减小压力，噗噗噔的底儿便突然在压力不变的条件下，由凸变为凹，即从D返回到A点。

　　我们看到在曲线ABODC上，BOD这一段也是外力变形曲线上的一小段，但却永远达不到。因为在这一段上，噗噗噔的平衡是不稳定的。

　　噗噗噔儿发明得很早，可是关于它的变形的理论研究得却很晚。最早研究它的是1939年美国力学家冯·卡门(von Karman，1881-1963)和他的中国学生钱学森。他们将这类问题简化为一个球壳在外压作用下的失稳问题。他们的兴趣当然不是为了噗噗噔玩儿，而是对某些飞机结构元件变形规律认识的要求。

　　然而，噗噗噔儿的底儿在它向内凹或向外凸时，都可以看为一个球壳的一部分。所以卡门-钱的研究工作也可以用来解释噗噗噔儿的变形，它是一类弹性物体变形的代表。后来人们把这类有上下临界(如图2上B，D点)的变形曲线、变形的来回突然跳动称为弹性突跳。

　　弹性突跳现象在工程与生活中有不少应用，现在电子计算机或计算器的按键就是利用弹性突跳元件，使得指头按上去压力达到一定，健接触时不拖泥带水。高压配电的电闸也是如此。有些工作部门还用它作为控制器，使压力高时达到临界值，通过弹性突跳打开阀门泄气，低时达到某临界值通过弹性突跳关闭阀门。

　　噗噗噔儿也是弹性材料，但是它的外力变形曲线却为什么不是线性的，不服从胡克定律?原因很简单，胡克研究的对象都是相对小的变形。其实即使是噗噗噔儿，如在图上A点附近，它的变形曲线也可以近似看为线性的，用曲线过A点的切线代替即可;变形大了，曲线便拐弯了。所以虎克之后，为了保持胡克定律有较大的适用范围，人们修改了他的提法，加进两条限制：其一是严格限定在变形很小的情形;其二是将外力与变形改为应力与应变。应力与应变是指在变形体上割出一个无限小的单元上来讨论外力与变形关系的。在这两个条件下，大部分弹性体是满足“线性关系”的，即使我们的噗噗噔儿上的一个无限小元素也是服从线性关系的。

　　人们将像噗噗噔儿的变形外力曲线称为非线性关系。非线性关系类型很多，也很复杂。整个自然科学的历史表明，任何学科发展的早期，最先总是将所得到的关系看作线性的，例如在电学中，电场强度与电感强度的线性关系;渗流中渗透压力与渗透流速度的线性关系;在热学中热流量与温度差的关系;在电工中电压与电流强度的关系，等等。早期都是线性的，随着研究的深入，都发现了非线性的修正。

　　不仅如此，早期的社会生产，也近似用线性关系的经济学来讨论。手工生产，如打草鞋，生产量与人数是线性关系。后来进入大生产，一座现代化钢厂，钢产量与工人数便不是线性关系，人数少到一定数量便产不出钢来。

　　大约在本世纪60年代，整个自然科学与社会科学各领域，大量提出并讨论非线性现象与问题，而且这些问题都有一些共同点，在数学描述上其非线性关系相同，且发生的现象也有某些可类比性。它比线性情形更复杂、更媚人，描述的现象更丰富，也更具有挑战性。这就是所谓当前我们称之为非线性科学。而且人们预期，20世纪人类仅仅是大量提出非线性问题。真正要解决，恐怕是下世纪的事。

　　然而，非线性现象不管怎样复杂，也总得从最简单的情形开始研究。噗噗噔儿当是一种最简单的非线性现象。如果你想进入非线性的研究领域一显身手，不妨请你先对噗噗噔儿思考一下，它会告诉你许多许多。

　　本文转载自科学网武际可的博客，该文最早刊登于《力学与实践》, 1997年06期，后收入笔者的科普文集《拉家常说力学》中。作者：武际可，北京大学力学系，教授。