频率响应函数简单概述

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　　频率响应函数表征了测试系统对给定频率下的稳态输出与输入的关系，是试验分析和仿真分析的基础。

　　频响函数概念及分析流程

　　互谱的一个重要应用是计算线性系统的频率响应函数。设x(t ) 为某点输入的平稳随机信号，y(t ) 为任一点的响应，也是随机平稳信号，则振动系统的频率响应函数的互功率谱密度函数除以自功率谱密度函数的商，即：

　　式中，Sxx(f ) 和Sxy(f ) 分别为随机振动信号的自功率谱密度函数和激励与响应信号的互功率谱密度函数的估计，无论系统是稳态的、非稳态的，还是确定性的，上式计算频响函数都是唯一正确的。

　　频率响应函数是复函数，它是被测系统的动力特性在频域内的表现形式，也就是被测系统本身对输入信号在频域中的传递特性的描述。输入信号的各频率成分通过该系统时，频响函数对它们的一些频率成分进行了放大，对另一些频率成分进行了衰减，经过加工后得到输出信号的新频率成分的分布，因此频响函数对结构的动力特性测试具有特殊重要的意义。

　　图1 频响函数分析流程

　　自相关函数：
　　为了反映信号自身取值随自变量时间前后变化的相似性对于信号x(t )而言，其自相关函数可以表示为：

　　式中，τ 为自相关函数的时延量;T 为信号周期。对信号进行自相关分析，就是对信号x(t )延迟时间τ 后的信号x(t+τ)，然后对x(t )和x(t+τ)做卷积计算，所得结果即为x(t )的自相关函数。

　　互相关函数：
　　际中将信号y(t ) 移动时间τ 得到y(t+τ)，然后再计算x(t )和y(t+τ)的相关性。互相关函数可以写成可写成：

　　式中，τ 为自相关函数的时延量;T 为信号周期。对信号进行自相关分析，就是对信号x(t )延迟时间τ 后的信号x(t+τ)，然后对x(t )和x(t+τ)做卷积计算，所得结果即为x(t )的自相关函数。

　　互相关函数：
　　际中将信号y(t ) 移动时间τ 得到y(t+τ)，然后再计算x(t )和y(t+τ)的相关性。互相关函数可以写成可写成：

　　式中，T 为信号x(t ) 和y(t ) 的观测时间，τ 为信号的滞后时间，R(τ)是τ 的函数。

　　振动信号自相关功率谱密度函数：

　　自功率谱描述了信号的频率结构，反映了振动能量在各个频率上的分布情况。自功率谱密度函数的定义是自相关的傅立叶变换，如下式：

　　式中，为振动信号x(t ) 的自相关函数，是时域中的统计量。

　　振动信号互相关功率谱密度函数：

　　同理，互功率谱密度函数的定义是互相关函数的傅立叶变换，如下式：

　　频响函数分析实例

　　下图用激振器对某产品进行模态测试，产品上布置着加速度传感器，激振器力传感器的时域信号和产品某测点的加速度信号如下图所示。

　　图2 激振器模态测试

　　(a) 激振器力时域信号;(b) 某测点加速度信号

　　图3 激振器力传感器的时域信号和某测点的加速度信号

　　对该测点的加速度信号进行自相关分析，和对该测点的加速度信号和力信号的互相关分析，分析结果如下图所示。

　　(a) 加速度测点自相关函数曲线;(b) 力与加速度互相关函数曲线

　　图4 自相关函数和互相关函数曲线

　　对自相关函数和互相关函数分别进行傅里叶变化，分析结果如下图所示。

　　(a)自相关函数傅里叶分析曲线;(b) 互相关函数傅里叶分析曲线

　　图5 自相关函数和互相关函数进行傅里叶变化

　　经过以上分析，激振器力信号和加速度测点信号的频响函数曲线如下图所示。

　　图6 频率响应函数曲线

附录MATLAB程序：

clear

clc

x=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\FRF_matlab\ACC.xlsx');

%导入要分析的加速度信号

x1=x(1:1500,2);

[b,a]=xcorr(x1,'unbiased');

%对加速度信号进行自相关分析

y=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\FRF_matlab\force.xlsx');

%导入要分析的输入力信号

y1=y(1:1500,2);

[c,d]=xcorr(x1,y1,'unbiased');

%做互相关分析

plot(c,d);

xlabel('时间/s');

ylabel('加速度/g');

L=1500;

Fs=512;

NFFT=2^nextpow2(L);

Y=fft(b,NFFT)/L;

f=(Fs/2)*linspace(0,1,NFFT/2+1);

Y1=fft(c,NFFT)/L;

%对自相关函数进行傅里叶变化

f=(Fs/2)*linspace(0,1,NFFT/2+1);

%对互相关函数进行傅里叶变化

Z1=2*abs(Y1(1:NFFT/2+1));

Z2=2*abs(Y(1:NFFT/2+1));

loglog(f,Z1./Z2)

%绘制频响函数曲线

xlabel('频率/Hz');

ylabel('加速度/g');

　　来源：声振测试微信公众号，作者：于长帅。