模态试验技术：一个重要的矩阵

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频响函数FRF矩阵

1. FRF矩阵
FRF是结构的输出响应与所施力之比。我们同时测量所施加的激振力和输出响应（可以是位移、速度或加速度），函数将以复数的形式呈现：幅值和相位或者实部和虚部。下面，以一个有三个测点的悬臂梁为例。

图1 悬臂梁三自由度模型

分别在3个点上施加激振力，在这3个点上测量响应，可以得到9个复值的FRF，分别以hout,in 来表示。

例如：在第1点锤击，在第1点安装传感器测量响应，得到的FRF记为h1,1；在第2点锤击，在第3点安装传感器测量响应，得到的FRF记为h3,2。

图2 FRF的幅频矩阵和相频矩阵

图3 FRF的实部矩阵和虚部矩阵

2. FRF矩阵的对称性 - 互易性
FRF矩阵是对称的，称为互易性。即在第i 点激励第j 点响应的FRF，等同于在第j 点激励第i 点响应的FRF。在多自由度的动力学方程中，质量矩阵[M]、阻尼矩阵[C] 和刚度矩阵[K] 都是对称的。

运动方程：

FRF矩阵中的元素：

3. 移动锤击点进行测量
假设，将传感器安装在第3点，然后锤击点分别在1、2、3点上激励，测量传递函数，可以得到FRF矩阵的一行h3,3、h3,2 和h3,1。由于传感器在第3点不动，该点称为原点，h3,3 称为原点FRF。同样改变传感器位置，可以测得矩阵的其他行。

如果锤击点不变，而移动传感器（或者同时在3个点上安装传感器），则可以测得矩阵的某一列。

图4 测量FRF矩阵中的h3,3、h3,2  和h3,1

4. 使用一行或一列得到振型
提取第1阶振型，使用矩阵的第2行和第3行，都可以得到（第1行也可以得到）。

图5 提取第1阶振型

提取第2阶振型，使用矩阵的第3行可以得到，但是第2行则得不到。这是因为第2点是第2阶模态的节点，所以第2点作为原点，就得不到第2阶模态。

图6 提取第2阶振型

结    论

测量FRF矩阵的一行或一列是可以得到各阶振型的，但是原点不能在某一阶振型的节点上。

来源：COINV东方所振动噪声测试微信公众号（ID：coinv2016）