谈一谈固有频率与共振

Baron

“ 什么是固有频率？什么是共振？”

这些术语的定义如下：
  · 固有频率：所有的物理结构都有固有频率。这些频率是结构在受到某些外力时容易振动的频率。这些频率取决于质量和刚度在结构中的分布方式。

  · 共振：共振是一种动力驱动结构以其固有频率振动的现象。当结构处于共振状态时，较小的力可以产生较大的振动响应。

这在实际工程中意味着什么？当一个动态力作用于一个物体时，它会振动。当一个力作用在物体的固有频率时，它就会发生共振，从而产生更高振幅的振动响应。

用吉他作类比可能会有帮助。在吉他上拨动一根弦，每次都会发出同样的声音。那是吉他弦以其固有频率来振动！固有频率是物体本身的一个特性：它总是以相同的频率振动，而不受物体的强度或位置的影响。

所有的物体都有多个固有频率，在适当的条件下都能产生共振。有时作用在物体上的外力会激发固有频率，从而产生振动。这些振动可能很小，以至于人眼看不见。有时，如图1所示，它们相当大且易于观察。

图1：如路灯建筑物在风的作用下产生共振

共振会引起不适（由共振引起的转向柱振动）或是灾难性的（机翼共振导致故障）。

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单自由度振动

质量-弹簧-阻尼器系统是一种简化的表示形式，有助于理解真实世界中物体的固有频率和共振行为。这被称为单自由度（SDOF）系统，因为它只有一个固有频率/振形。现实世界中的物体有许多固有频率。图2显示了质量弹簧-阻尼器系统的示意图。

图2：质量-弹簧-阻尼系统

该系统包括：质量（m）、刚度（k）、阻尼（c）。

固有频率wn由方程式1定义。

方程1：质量-弹簧系统的固有频率

固有频率是物体的固有特性。只有两种方法可以改变固有频率：要么改变质量，要么改变刚度。

振幅响应
力（f）施加到物体上，位移（x）或加速度（A）的频率响应可以如图3所示绘制出来。

图3.左——质量-弹簧-阻尼系统在以频率为函数的力作用下位移响应（柔度）图；右——相同条件下加速度响应（加速度）图

物体的最大位移/加速度发生在系统的固有频率处。其他振幅响应结论如下：

  · 柔度曲线-低于共振峰，位移响应的幅值几乎是恒定的，大约为1／k。这来自Hooke定律，其中力等于刚度和位移的乘积（f＝kx）。低于共振频率，系统的响应可以说是以刚度为主。

  · 加速曲线图-高于共振峰，加速度响应几乎为1/m的恒定值（如果考虑相位，则实际为-1/m），如图3所示。这种行为是由于牛顿第二定律，力是质量和加速度的乘积（f=ma）。在共振频率以上，系统的响应可以说是由质量控制的。

了解这些刚度或质量的作用区域有助于避免发生共振从而降低振动水平。

相位响应
通过移动基座施加力，观察质量块响应可以得到一些有趣的相位关系，如图4所示。

图4:SDOF系统在系统固有频率处、以下和以上的响应

可以观察到以下情况：

  · 在固有频率以下，基座和质量块同相位运动；

  · 在固有频率处，基座和质量块相位相差90度，产生一种“猛然震荡”运动，导致高水平的振动；

  · 在共振频率以上，基座和质量块会反相位运动。

现实世界中的物体，从汽车到飞机再到洗衣机，都可以看作是质量、刚度和阻尼元素的集合。它们有许多固有频率。实际上用于计算固有频率的有限元模型都是使用这种方法。模型由质量（质量密度）和刚度（杨氏模量）构成的单元集组成。

阻尼
阻尼是系统自然耗散能量的方式。回想一下吉他的例子：吉他弦被弹过之后是否会永远振荡？不！能量以摩擦和声音的形式消散，从而使弦在被拨动后恢复静止。

在上一节所述的单自由度示例中，如果没有如图5所示的阻尼器（c），质量-弹簧系统（m和k）将永远保持运动。

图5：无阻尼的SDOF系统（左）继续振动，而有阻尼的SDOF系统（右）停止振动

阻尼c越高，系统的响应越快衰减到零。共振频率下的系统响应振幅通过增加阻尼而减小。在共振频率下，系统的响应可以说是以阻尼为主。

振型
SDOF系统有一个固有频率。现实世界中的结构更为复杂，具有多自由度（MDOF）。因此，现实世界中的结构有许多固有频率。结构在每一个固有频率上的振动都不同。它在特定频率下的运动称为振型。

飞机的两种模态振型（从许多模态振型中选择）如图6所示。每种振型形状都是独特的，飞机的不同部分参与了振动。

图6：左-飞机的低频全局模态，右-飞机尾部的高频局部模态。

为什么理解模态和振型很重要？振型提供了结构在其固有频率下如何工作的有价值的见解。振型可以告诉工程师在哪里约束/修改结构以减少振动响应，或者如何移动固有频率以使其与激励频率不一致。

例如，在图6中，需要修改尾翼模态（右侧）以改变固有频率。改变机头对固有频率没有影响。这个振型让我们深入了解如何处理动态问题。

一般来说，在更高的频率下，模态自然变成局部的，而不是全局的。在全局模态下整个结构参与（图6中左侧的模态振型），而在局部模态下只有部分结构参与（图6中右侧的模态振型）。

如图7所示，在更高的固有频率下，振型变得更复杂。

图7：简支梁在较高频率下的振型变得更加复杂

模态在较高频率下变得更加复杂和局部化，这一事实对结构动力学模拟和试验具有重要意义。模拟需要更精细的网格和更多的单元，从而增加了求解时间。测试将需要在结构上测量更多的位置。

减轻共振的影响
知道机械共振的破坏性有多大，有什么办法可以避免呢？方法包括：修改质量/刚度、调阻尼、调谐吸振器。

  · 修改质量和刚度
为了避免共振，施加在结构上的激励频率不应处于或接近固有频率。如果激励频率不能改变，则需要修改结构的固有频率。这只能通过改变质量或刚度来实现（见方程式1）。

吉他是一个很好的例子，如何改变系统的质量或刚度影响固有频率。吉他上的弦有不同的粗细。产生低音的琴弦比产生高音的琴弦粗（质量大）。随着吉他弦质量的增加，固有频率降低（图8）。

图8：逐渐变细的琴弦在吉他上产生更高频率的音符

当给吉他调音时，吉他上的销钉/旋钮会被转动以拉紧或松开琴弦拉紧弦会增加刚度，提高固有频率。

在结构中，增加刚度使固有频率高于激励频率有助于减少振动。

  · 调节阻尼
当处于固有频率或接近固有频率时，可以添加阻尼以降低振动的严重性。下图（图9）显示了阻尼增加时系统响应振幅减小。

图9：阻尼低（绿色）时，系统振幅响应高。当阻尼高（红色）时，系统振幅响应低

阻尼器通常用于减小振动。例如，许多大型桥梁，如伦敦千禧桥，都采用液体粘滞阻尼器来控制振动（图10）。

图10：流体粘滞阻尼器（右）用于减少千禧年大桥上不必要的振动（左）

千禧年大桥于2000年6月10日对外开放。由于行人交通引起的振动过大，两天后关闭，用37个液体粘滞阻尼器进行改造，并于2002年2月22日重新启用。

  · 调谐吸振器
可调质量-弹簧-阻尼系统可以用来降低动态系统的振幅。通过一个附加的质量-弹簧系统对现有系统的固有频率进行改变（图11）。

图11：左-由m1和k1组成的原始系统。右-使用调谐吸振器（m2，k2）的原始系统

将调谐吸收器（M2，K2）应用于现有系统（M1，K1）具有两个作用，如图12所示：

  · 在原系统的固有频率下，附加的调谐质量弹簧阻尼器会振动，但原系统不会移动；

  · 原始的固有频率被分成两部分。一种是原系统与调谐系统同相的振动模态，另一种是原系统与调谐系统异相的振动模态。同相模态频率低于原系统固有频率，而异相模态频率高于原系统固有频率。

图12：通过引入调谐吸振器（m2，k2），原始系统（m1，k1）响应（红色）降为零（绿色）。新系统有两种模态：一种高于原系统固有频率，另一种低于原系统固有频率。

只有当调谐的吸振器频率等于原始系统频率时，这种效应才可能产生。

如何减少振动？考虑一种车身模态，其中发动机怠速力激发弯曲共振。保险杠可以变成调谐质量弹簧系统，这样它可以振动并避免弯曲模态。保险杠在怠速时会振动，但车身不会，从而降低了驾驶员的振动感。新产生的同相模态将不会被激发，因为它低于怠速振动频率。异相模态频率高于怠速时激发的原始频率，可以调谐到发动机转速，而该转速在运行中并不经常使用。

调谐减振器方法的一个好处是结构的附加质量和刚度变化可以是最小的。在汽车保险杠的例子中，保险杠的质量已经是结构的一部分。在保险杠上添加弹簧/刚度元件是车辆总重量的最小变化，有助于提高燃油效率等。

调谐动力减振器也被用来帮助减少建筑物的摇摆振动。台北101摩天大楼包含世界上最大最重的调谐质量阻尼器，660公吨（730短吨）。阻尼器改变建筑物的摇摆模态（图13）。

图13:Tapei 101摩天大楼（左）和调谐吸振器（右）

公众可以在摩天大楼顶部的室内观景台上看到调谐吸振器。这座建筑估计耗资400万美元。

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共振例子

布劳顿桥
1831年，当一列士兵跨过大桥一步步前进时，英国的布劳顿吊桥（图14）倒塌。

图14:1883年的布劳顿桥

这座桥的固有频率接近士兵行军的频率，开始剧烈震动。这导致其中一个支撑链上的螺栓断裂，导致桥梁坍塌。

飞机颤振
任何飞机的飞行包络线（马赫速度和高度）都是由机翼和机身结构的共振频率决定的。如果飞机飞得太快，气动力会激发引起共振的固有频率，这在飞机上被称为颤振（图15）。

图15：在飞机中，颤振发生在气动力激发机体模态时

声腔共振
开车时摇下后车窗，听到一声砰砰的响声？跳动的声音（有时也被称为抖振）被车辆空气腔的共振放大（图16）。即使是空气也能产生共鸣！

图16：实验测量的汽车空气腔声学模态

车辆内的空气腔被困在特定的体积/几何结构中。因此，空气腔具有可被激发的固有频率，从而导致车内的声级增加。

歌手与玻璃杯
一个流行的共振例子是演唱者发出一个特定的音符，由于共振导致观众的玻璃杯碎了（图17）。

图17：声波激发共振导致玻璃破碎

制动尖叫声
有没有在车上踩过刹车，听到过高频尖叫声？这是由于共鸣产生的。制动盘模态在3000赫兹左右，可能会由制动力激发（图18）。

图18：制动盘有共振，在制动过程中会发出尖叫声

制动盘为对称结构，能在同一频率产生多种模态。为了减少尖叫声，应修改转盘设计，以保持模态良好分离，使它们不能相互交叉激励。

亥姆霍兹谐振器空气感应
亥姆霍兹谐振器是为特定频率而设计的基于空气的调谐吸收器。当吹过空瓶子的边缘时，可以听到被截留的空气体积的共振频率。更大内部空间体积就像弹簧一样（它的体积可以被压缩）。开口的体积作用就像质量一样。如图19所示。

图19:Helmholtz谐振器产生一个调谐吸收器（频率fh），其空气体积（V）类似于弹簧，开口的空气体积（由A和L定义）类似于质量

在管道系统中，亥姆霍兹谐振器可用作调谐吸收器，以降低特定频率下的声压级。在图20中，排气系统中的空气具有330赫兹的谐振频率。通过在管道上安装亥姆霍兹谐振器，出口处的声压级大大降低。谐振器“吸收”排气系统的能量，并减少出口处的声音。

这些谐振器通常存在于空气进气系统、暖通空调管道和排气系统中。

最后的想法：共鸣-并不总是坏事！

共鸣并不总是坏事！有时放大系统的响应可以有助于提高其性能。一些例子包括：

  · 由于耳道内空气的声共振，人耳能更好的听到在1000到4000赫兹之间的声音。
  · 调谐到无线电台是通过共振完成的。通过调节电容器的频率，电路被调谐到无线电频率。
  · 在制造应用中，用于对零件进行分类的振动杯依靠振动杯的共振，以最小的能量输入产生较大的振动。
  · 微波炉利用水分子的固有频率比传统烤箱更快地加热物品。
  · 在医学领域，磁共振成像（MRI）是用来观察人体内部，而不需要仪器侵入的过程。核磁共振成像被调谐到与某些组织共振。

meiyongyuandeze

个人一点意见。第一幅图是典型的涡激振动的现象，是否可以简单归其为共振是值得商榷的~！