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[声学基础] 【声学入门】简谐振动和振动关系图像

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发表于 2020-5-12 09:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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【基本概念】
简谐振动:在弹簧装置中,运动物体的加速度a总是与运动物体的角频率ω的平方及位移成正比,且方向与运动方向相反,始终指向平衡位置,具有这种性质的运动就称为简谐振动。

【简谐振动】
根据虎克定律:质量为 m 的物体在作简谐运动中,其位移 x 与所受到的力 F 有如下的关系:
1.png

式中:K为弹簧的倔强系数;负号表示作用力F与位移的方向相反,总是指向平衡位置。
2.png

根据牛顿第二定律(物体加速度的大小跟作用力成正比,跟物体的质量成反比,且与物体质量的倒数成正比;加速度的方向跟作用力的方向相同。)得出:
3.png

对于上述弹簧运动装置,其 K 、 m 是不变的,由于简谐运动的角频率 ω 由 K / m 决定,即
4.png

(角频率,也称圆频率,表示单位时间内变化的相角弧度值,弧度/秒(rad/s)。角速度是做圆周运动的物体在单位时间内转过的角度,二者是不同的)
于是根据
5.png

从而解出微分方程:
6.png

式中 x———任一时间振动物体(又称振子)偏离平衡位置的位移;
       A———振子偏离平衡位置时的最大位移,即振幅;
       ω———起振瞬间振动物体所处的位置,称初相角。

简谐运动方程通常可以用正余弦表示皆可:
7.png


只要φ-ψ=π/2,他们表示的就是同一个函数。(还记得以前学的公式么?其实我早忘记了,找出来直接贴图哈哈 )
8.png

即sin(ωt+Φ)=cos[π/2-(ωt+Φ)],或者cos(ωt+Φ)=sin[π/2-(ωt+Φ)],可以随时切换。

任何物体作频率为 f 的振动时,其运动的角速度 ω =2πf,则根据
9.png

得出谐振频率f(一般用f0 表示):
10.png

或者
11.png

其中C为顺性(C=1/K,K为整个弹性系统的倔强系数 )。

【振动关系图像】
1.位移-时间关系式
12.png

2.速度-时间关系式
13.png

3.加速度-时间关系式
14.png

4.加速度-位移关系式
15.png

5.速度-位移关系式
16.png

6.能量-位移关系式
17.png


【资料来源】
1人教网《简谐运动的六种图象》北京顺义区杨镇第一中学 范福瑛
2《实用电声和微型扬声器》

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