振动和简谐运动的物理学

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振动是宇宙中普遍存在的现象，大到所有的宏观物体（地震），小到基本粒子（热运动、布朗运动）。振动（又称振荡）是指一个状态改变的过程，即物体的往复运动。在定量研究里（可以用公式法、作图法、列表法给出确定数值）只有四种最简单的运动：匀变速直线运动、匀速圆周运动、抛体运动和简谐振动。

当一个物体发生振动时，物体会从平衡位置来回移动。如果一个物体静止不动，位置不发生任何变化，这时我们说这个物体上受到的净力为零。所以，当我们给一个物体施加一个外力时，物体的平衡状态会被打破，物体开始远离平衡点，要么发生匀速直线运动，要么发生振动运动，物体在某一点后停止，然后回到平衡点，紧接着移动到另一边，然后停止，然后再回来，如此往复运动……

振动在日常生活中随处可见。从我们车里的摇头娃娃、家里的摆钟、掉在地板上的弹球、秋千上的孩子、风中摇摆的树或任何其他摇动和摇摆的动作，通常这些物体要么富有弹性，或是一个像钟摆一样的物体。但如果我们深入的研究，会发现所有的东西都在振动，即使是看起来静止的固体。在固体中，粒子也在振动，只有在绝对零度 (-273℃) 时，所有运动将会停止。我们今天主要讨论的是宏观物理学的振动和周期运动。

● 周期运动 ●

当物体的振动表现出规律和往复运动时，我们称这种运动为周期性运动。物体在同一时间内沿着同一路径往复运动，直到阻尼停止。弹簧上的配重是学习周期运动最好的例子，如图。

在上面的动画中，我们先把配重拉到最低点也就是起始的位置，然后松手，从最低位置开始，配重会上升到平衡点，并经过平衡点继续上升，直到停止，这就完成了周期运动的一半；然后配重会在弹簧的恢复力和重力作用下改变方向，开始返回，在返回的过程中，配重会再次经过平衡点，并回到底部最低点。所有的过程我们称之为一个循环，总共由4个部分组成。配重完成一个循环的时间叫做周期。

由于运动的过程是以秒为单位度量的，所以周期的单位也是秒，我们用大写字母T 来表示。如果我们把这个定义反过来问：在一段时间内发生了多少个周期的运动？那么，我们就有了另外一个衡量周期运动的物理量：频率，用f 表示，单位为赫兹 (Hz)。周期与频率的关系如下:

周期和频率存在直接联系。周期是完成一个完整的循环运动所需要的时间，频率是单位时间内完成的周期数。如果我们知道其中一个物理量就很容易得到另外一个。

在周期运动中还会经常提到的另一个定义：振幅。上文中的弹簧配重的最大位移就是振幅，用大写字母A 表示，单位为米 (m)。振幅是一个物体离开平衡位置的最大位移。

● 简谐振子（运动）●

关于弹簧，上文已经讲了一些基本的常识，现在介绍一下简谐运动。

弹簧的一端连接一个重物，而另一端连接到一个刚性支架上。当系统静止在平衡位置时，作用在重物上的合力为零。质量从平衡位置发生位移时，弹簧会产生一种使整个系统恢复平衡的弹力，这就是我们熟知的胡克定律。

胡克定律说明了拉伸或压缩弹簧所需的力F 与发生的位移x 成线性关系。弹簧的弹力总是跟配重运动方向和位移x 的方向相反，因为当弹簧被压缩时，弹力把整个系统往下推，当弹簧被拉长时，弹力会把整个系统往回拉，弹力趋向于使系统恢复平衡。这就是公式F=-kx 有个负号的原因。

在公式中，F（单位为牛顿）为恢复力（弹力），x 为位移（单位为米），k 为弹性系数，该常数取决于弹簧的材料。我们来看看整个运动过程：

当我们把一个重物挂在弹簧上，系统处于静止，这时重物处于平衡位置，合力为零，因为弹簧的力等于把物体拉向地面的力。这时我们从平衡位置将重物移开然后松手，重物会受到弹簧所产生的净恢复力，重物会向平衡位置移动。越接近平衡位置，恢复力就越小，直到在平衡位置降为零，这时加速度为零。在我们刚松手时，加速度最大，这就是简谐运动的起点。

在重物到达平衡时，由于动能的原因，弹簧会被压缩，重物继续向上运动。当弹簧压缩时，向下的加速度增加，恢复力使重物减速，直到重物在振幅处停止。此时，向下的加速度再次达到最大值，重物开始下降，而加速度也再次下降，直到再次达到平衡位置时降为零。当重物经过平衡位置时，开始减速，直到到达开始时的底部振幅。

如果整个过程中没有能量损失，运动就会一直重复，我们就有了一个简谐振子。由于阻尼会造成能量损耗，振幅会随着时间的推移越来越小，直到最后为零，运动也将停止。

一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动，即为简谐运动。这个过程中的能量变化是怎么样的呢？首先，要知道的是，一个物体静止时有势能，有速度时有动能，我们就能很容易地理解这个运动过程中的能量变化，如图。

总能量是动能和弹性势能的和。我们从振幅的最低位置开始，物体是静止的。因为此时速度为零，所以没有动能，整个能量是势能。当物体开始运动时，势能减小，而动能随着速度的增加而增加。在平衡状态时，势能为零，整个能量为动能。当物体继续上移到振幅较高的位置时，动能减小，势能增加，直到上升到振幅的位置，动能为零，整个能量都是势能。

我们发现，位移、速度和加速度都具有周期性。我们可以解微分方程得到三角函数解。

上图都是微分方程的解和角频率ω=2πf。

从下图中可以看出，位移从振幅开始，速度从0开始，加速度从最大值开始，函数是周期性变化的。现在我们来看一个关于周期和频率的重要问题，也就是周期和频率的决定因素是什么？如果我们改变质量，运动会改变吗？如果我们有相同的质量，但增加振幅，运动会改变吗?

● 周期和频率与振幅无关 ●

不管你把重物向下拉几厘米还是几米，周期和频率都是一样的。我们知道，角频率是ω=2πf，角动量取决于质量和弹簧常数，如以下公式所示：

把这两个公式结合起来，看看会得到什么。

来源：环球物理微信公众号（ID：GLOBAL-PHYSICS），原文来自：量子科学论。