谈一谈什么是力偶

就是这样子同学

进入大学之后，第一次接触到了力偶的概念。很多同学对这个概念还是比较模糊，因为对物体施加力才是最直观的，也符合我们生活中的认识。初中、高中一直在讲牛顿定律，在力的作用下物体保持平衡或改变运动状态，并没有涉及力偶。那什么是力偶？实际上，只有物体受两个及其以上的力作用时，才涉及到力偶的概念。

工程实践中的物体更多的是受到多个力的共同作用，也就是力系。不失一般性，我们研究两个力之间的关系就能反应出力系处理的整个过程。比如，求一个力系的合力，我们先求任意两个力的合力，然后把这个合力与第三个力合成，如此循环往复最终得到整个力系的合力。在整个过程中，我们每次处理的实际上都是两个力之间的合成。

我们以平面中的两个力为例。平面中的两个力只可能存在两种位置关系，一种是相交，一种是平行。对于两个相交的力，可以根据平行四边形法则确定其合力的大小，这里不再过多介绍，以后找机会单独介绍平行四边形法则合成力的起源和发展。这里，我们重点讲一下两个平行力的合成。

讲力偶必须要从平行力的合成讲起。

平行力的合成

（1）两同向平行力的合成

图1 两同向平行力的合成

如图1所示，刚体在A点和B点受两个同向平行力F1和F2作用，根据加减平衡力系公理，在AB连线上加上一对平衡力F，并不改变刚体的受力效应。在A点的力F和F1合成为合力F3，在B点的力F和F2合成为合力F4，F3和F4作用线汇交于D点。实际上，根据力的可传性，D点的力F3与A点F3一样，由力F和F1构成，D点的力F4和B点F4一样，由力F和F2构成。显然，在D点左右两个水平力F是一对平衡力，可以去掉，最终的合力为R=F1+F2，方向与F1和F2平行。

合力的位置可以根据相似三角形来确定：A点的力三角形和三角形ACD相似，F1/CD=F/AC；B点的力三角形和三角形BCD相似，F2/CD=F/BC；结合两式，约去CD，则F1/BC=F2/AC。

同向平行力的合成法则
两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之和，作用线与两力平行，并内分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与原两力相同。

（2）两反向平行力的合成

图2两反向平行力的合成

如图2所示，刚体在A点和B点受两个大小不等的反向平行力F1和F2作用，且F2>F1。根据加减平衡力系公理，在AB连线上加上一对平衡力F，并不改变刚体的受力效应。在A点的力F和F1合成为合力F3，在B点的力F和F2合成为合力F4，F3和F4的作用线汇交于D点。实际上，根据力的可传性，D点的力F3与A点F3一样，由力F和F1构成，D点的力F4和B点F4一样，由力F和F2构成。显然，在D点左右两个水平力F是一对平衡力，可以去掉，最终的合力为R=F2-F1，方向与F2同向。

合力的位置可以根据相似三角形来确定：A点的力三角形和三角形ACD相似，F1/F=CD/AC；B点的力三角形和三角形BCD相似，F2/F=CD/BC；结合两式，约去CD，则F1/F2=BC/AC。

反向平行力的合成法则
大小不同的两反向平行力的合成结果是一个力，这个合力的大小等于原两力大小之差，作用线与原两力平行，且在原两力较大一个的外侧，并外分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与较大的外力相同。

这里特别需要注意，对于两反向平行力的合成，我们有一个前提条件是两个大小不等的力。那两个大小相等的力有什么问题呢？若反向平行力F1=F2，则根据如上合成法则，合力大小R=0，且BC=AB*F1/R=∞（由于F2/F1=AC/BC,则F2/F1-1=AC/BC-1，即R/F1=AB/BC）。说明合力的作用点C不存在，所以该对平行力不能合成为一合力。

反向等大的平行力——力偶

综上所述，一对反向等大的平行力合力大小为零，位置在无穷远处，说明该对平行力不能合成为一合力。然而，实际中有很多这样类似的一对反向等大平行力，如图3所示。并且这对平行力很明显会使物体有转动效应。针对反向等大的平行力，法国的力学家潘索（图4）最早提出了力偶的概念。

图3等大反向平行力应用

图4 潘索

这对反向等大的平行力（力偶），有几个独特的性质，介绍如下：

（1）该对反向等大平行力对任意一点O的合力矩为定值，与点O的位置无关，如图5所示，合力矩大小为力的大小与两力之间平行距离的乘积。故，针对该反向等大的平行力（力偶），又给定了一个力偶矩的概念。实验表明，（等大反向平行力）力偶对物体只能产生转动效应，且当力愈大或两力间的平行距离（力偶臂）愈大时，力偶使刚体转动效应就愈显著。因此，力偶对物体的转动效应取决于：力偶中力的大小、力偶的转向以及力偶臂的大小。在平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，用M表示M(F)＝±F•d。通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。

图5 反向等大平行力的合力矩

（2）如图6所示，作用于刚体上的一对反向等大平行力（力偶M），其力的大小为F，力偶臂为d。根据两同向平行力的合成法则，A点的力F可以分解为两个同向平行力，这两个平行力满足F1+F2=F。假定F1作用于B点，F2作用于C点，则F1/AC=F2/d。另外，B点的力F和F1合成为F-F1=F2，那么B点的力F2和C点的力F2形成一个新力偶，且力偶矩为M=F2*(AC+d)=Fd，力偶矩保持不变。

图6 协调改变力和力偶臂的大小

即：只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。

（3）如图7所示，作用于刚体上的力偶M，其力的大小为F，力偶臂为d。根据加减平衡力系公理，在AB连线上加上一对平衡力T，对刚体的受力效应不变。A点的力F和T合成为F1，B点的力F和T也合成为F1，且F1=F/sinθ。可以通过改变施加平衡力T的大小来改变合力的方向角θ，从而改变合力F1的大小。显然，A点的力F1和B点的力F1同样构成一个力偶，其力偶臂为d•sinθ，力偶矩为M=F1•d•sinθ=Fd，力偶矩不变。此外，根据力的可传性，力偶还可以在其力作用线上任意滑动。因此，只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意转移。

图7 力偶的可转移性

即：只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意转移，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。

总结

力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质：
（1）力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
（2）力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
（3）在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶的代数值相等，则这两个力偶相等。这就是平面力偶的等效条件。
根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
推论1：力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的效应。
推论2：只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。
由力偶的等效性可知，力偶对物体的作用，完全取决于力偶矩的大小和转向。因此，力偶可以用一带箭头的弧线来表示如图8所示，其中箭头表示力偶的转向，M表示力偶矩的大小。

图8 力偶用带方向箭头表示