力学教你变魔术：扑克牌变同张

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前言：
在庄老师给我教具中，有一本“神奇的魔法书”，可以在彩色、黑白、空白之间变化。庄老师录制了视频，详细介绍了魔术的表演方法和力学原理。本文是在庄老师讲解基础上，以更为常见的扑克魔术为背景整理而成，以此向庄老师在致敬！2018级范也涵同学参与了本文的视频录制和资料整理工作！

扑克牌是一种流行于全世界的纸质娱乐工具，标准扑克牌由黑桃、梅花、红桃、方块四种花色组成，尺寸为88mm*63mm。由于扑克牌的普及性，魔术师常用于制作魔术道具，本文将为大家展示一个扑克魔术，并利用力学原理揭示其中的奥秘以及其表演技巧。

神奇的魔法让一副完整的扑克牌瞬间全部变成了黑桃Q，这个魔术最大的成功在于利用了人们的思维定式。一副扑克牌，共54张，大小王2张，四种花色：黑桃、梅花、红桃、方块各13张，这几乎是人尽皆知的，然而作为魔术道具，这副扑克牌是一副不正常的扑克牌。

将扑克牌展开，你会发现这副扑克牌中，黑桃Q占了整副扑克的一半，你几乎就要发现它的秘密了。

图1 黑桃Q占一半

通常情况下，扑克牌的标准尺寸为88mm*63mm，但是仔细观察，你会发现在这副牌中，黑桃Q和其它牌相比，宽度相同，但长度上略短于其它牌。我们将黑桃Q称为短牌，而将其它牌称为长牌，经测量短牌比长牌短1.5mm，比长牌少了1.7%，当然，这个长度如果不仔细观察一般很难发现。

图2 黑桃Q的长度略短于其它牌

表演时，由于长短牌的原因，从前往后拨牌，如图3(a)，视频中第一种方式，正面观众看到的全部是长牌，由于长牌什么花色都有，观众看到的就像是什么一副正常的扑克。而从后往前拨牌，如图3(b)，视频中第二种方式，正面观众看到的就全部是短牌（黑桃Q），这时，整副扑克牌都变成了黑桃Q。之所以会产生这样的效果，有赖于扑克牌的弹性性质，以及扑克牌与拇指、以及扑克牌之间不同的接触条件。图3中认为取扑克牌的一部分，下端以固定端替代。

图3 两种拨牌方向的不同效果

从整体来看，拇指将扑克牌压弯，扑克牌受弯后储存有弹性势能，又恢复为竖直状态的趋势，因此，在拇指与扑克牌之间形成相对运动趋势，存在摩擦力。设静摩擦系数为μ，按压力为F，可得拇指与扑克牌之间保持相对静止的最大静摩擦力为

设拇指与扑克牌之间的摩擦力为f，可写出扑克牌与拇指之间保持相对静止时的条件为f<μf（称为静止条件），而扑克牌与拇指发生相对滑动的条件为f>μF（称为滑动条件）。因此，增大按压力F，可满足静止条件；如果需要扑克牌发生滑动以备观众观察，可通过松动按压力满足滑动条件实现。满足滑动条件也可以增加拇指在水平方向的力，这相当于增加了f，当该摩擦力超过最大静摩擦力后，扑克牌也会发生相对滑动。

从局部来看，将长短牌放在一起，长牌和短牌之间，以及长短牌与拇指之间就形成了不同的接触条件，这将成为魔术的关键所在。根据拇指与扑克牌之间的关系，可将接触分为3个阶段：第一阶段，拇指与扑克牌相对静止；第二阶段，拇指与扑克牌相对滑动；第三阶段，拇指与扑克牌脱离。以下分别来考虑长牌与拇指，长牌与短牌之间在上述三个阶段的接触条件。

以图4来说明拨牌过程中接触条件的变化，及其形成的效果。由于长短牌的设置，只有长牌才能与拇指接触，画出拇指与长牌接触位置的切线，并标记法向方向n 与切向方向τ。

图4 接触条件分析

设接触长牌与拇指的接触面积为A，在该接触区域可传递相对于拇指面的法向力和切向力，在接触区域设拇指应力分量为σ(1)，τ(1)，位移分量为u(1)，v(1)，长牌的应力分量为σ(2)，τ(2)，位移分量为u(2)，v(2)，第一阶段相对静止时的接触条件可近似为

式中，N 为与拇指接触的扑克牌张数。这一阶段法向应力相等，切向应力相等，位移连续变化，这样的接触称为完全接触。更进一步可知，法向应力可近似等于按压力F 除以接触面积，切向应力可近似等于静摩擦力除以接触面积。

第二阶段扑克牌与拇指发生相对滑动，此时接触条件写为

第二阶段法向应力相等，切向应力相等，但位移发生相对滑动，因此切向位移不相等。更进一步可知，切向应力可近似等于滑动摩擦力除以接触面积。这类接触条件被称为有摩阻力的滑动接触。特别地，当摩擦系数为0，两者之间为光滑摩擦时，上式中的第2式变为

此时，被称为光滑接触。

第三阶段扑克牌与拇指分离后，扑克牌和拇指的原接触面消失，原接触面成为自由面，有

像这类变形后两弹性体脱开，则原接触面成了自由面的接触，称为脱离接触。完全接触、有摩阻力的滑动接触、光滑接触以及脱离接触，就是典型的四种接触模式。利用它们的条件也可以分析长牌与短牌之间的接触。

如图4中，选择长短牌上任一点，并标记法向方向n 与切向方向τ。设短牌的应力分量、位移分量分别为σ(3)、τ(3)、u(3)、v(3)，写出三个阶段的接触条件。

  · 第一阶段，拇指压弯扑克牌后静止，则长牌和短牌之间也静止，但由于牌面比较光滑，忽略切向力，该阶段长短牌之间的接触条件可写为下式，该阶段可认为长短之间为光滑接触。

  · 第二阶段，当扑克牌与拇指发生相对滑动时，长短牌的曲率也会发生略微的改变，此时两牌面时间会发生相对运动，但从接触类型上来看，仍属于光滑接触，接触条件仍为接触条件（上式）。

  · 第三阶段，当长牌与拇指脱离后，长牌将在弹性势能下由弯曲状态转变为竖直状态。此时短牌由于失去了与长牌的接触，也将在弹性势能下由弯曲状态转变为竖直状态。但在此过程中，如果长牌的恢复变形加速度大，长牌与短牌将完全脱离，法向力也为0；但如果短牌恢复变形的加速度大，则短牌“推”着长牌恢复，两者之间并非完全脱离，仍有法向接触力。

我们再回到图4中，将长短牌视为两个悬臂梁，该模型可视为在悬臂梁自由端施加集中力，则自由端挠度的表达式为

把梁视为刚度为K 的弹簧系统，则系统的等效刚度为

根据牌的长度可知，长牌的刚度小，短牌的刚度大，这将意味着短牌恢复比长牌快。在第三阶段，短牌是推着长牌恢复变形的，长牌和短牌之间在脱离阶段有正压力，但会随着变形的恢复而迅速变小。

扑克牌在恢复变形中，短牌与长牌之间存在正压力，就可以保证观众在第三阶段不会看到短牌与长牌分开，这是保证魔术不穿帮的重要力学条件。

除了扑克牌，根据不同的接触条件，还可以设计出其他的魔术道具，“神奇的魔法书”也是利用了这一原理。

知道了接触条件的原理，相信你也可以设计出不同的魔术道具。今年，由浙江大学王永、金肖玲、庄表中老师共同编著的《玩具和魔术中的力学》已收录在大众力学丛书中即将出版，敬请各位老师、同学关注！

来源：力学酒吧微信公众号（ID；Mechanics-Bar），作者：张伟伟。