“嫦娥”探月与限制性三体问题

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嫦娥五号重访月球的喜讯不断。月面软着陆、自动采样、起飞上升、无人交会对接等一系列艰难任务均已顺利完成。携带月岩和月壤的返回舱已成功着陆，返回地球家园了。国人无不欢欣鼓舞，探月工程再次成为关注的对象。与探月过程密切相关的力学问题也引起公众的兴趣。

探月工程的设计需要了解太空中的三个物体：地球、月球和飞船在相互引力场影响下的运动规律。在天体力学中，三个物体在万有引力相互作用下的运动称为三体问题。与二体问题不同，三体问题因微分方程不存在解析积分，很难归纳出普遍性规律。但就探月工程的具体问题而言，由于飞船的质量远远小于地球和月球，它对月球和地球运动的影响可以忽略不计。地球与月球在相互万有引力场中的运动规律已由二体问题完全确定，因此只需要研究飞船在地球和月球引力作用下的运动。这类简化的三体问题称为限制性三体问题。

图1 嫦娥五号（引自《人民日报》）

一、地月坐标系

首先讨论地球和月球构成的地月系统的运动规律。以地月连线为坐标轴，月球绕地球的轨道面为坐标面建立参考坐标系。为便于讨论，称之为“地月坐标系”。将地月系统视为封闭系统，忽略太阳引力产生的公转运动，系统的总质心O 视为太空中的固定点。以下标1、2作为地球和月球的标识，设地球的质心O1 和月球的质心O2 的距离为a 。O 点在O1 与O2 的的连线上，与O1 与O2 的距离a1 和a2 分别与质量 m1 和m2 成反比，满足

其中，地月距离a=3.844×105km。将m1=5.976×1024kg，m2=7.35×1022kg代入，算出a1=4700km，a2=3.797×105km。a1 小于地球的半径6371km，表明系统的总质心O 在地球的范围以内，与地球的质心O1 接近。地球和月球在相互引力作用下，绕O 点作偏心率为e=0.0549的开普勒运动，可足够准确地视为圆轨道运动。O1 与O2 的连线连同地月坐标系，绕O 点以角速度ωc 匀速转动。图2中表示的三个圆轨道由小到大，分别为地球和月球绕总质心O 的轨道，以及月球相对地球绕地心O1 的轨道。地球和月球的相互引力F=  Gm1m2/a2与距离a 的平方成反比，G 为万有引力常数[1。此引力分别作用于地球和月球，与各自的离心惯性力平衡：

定义μ1=Gm1，μ2=Gm2 为地球和月球的引力参数，从上式解出地球和月球的圆轨道角速度ωc

其中，μ=μ1+μ2 为地月系统的引力参数。将G=6.67×10-11m3/kg˖s2代入计算，得到μ1=3.986×105kg3/s2，μ2=4.903×103kg3/s2，μ=4.035×105kg3/s2，ωc=2.66×10-6s-1，周期T=1/ωc=0.376×106s。绕行一圈的时间，即月球绕地球的公转周期为27.3天。

图2 地球和月球的轨道

任何平衡状态必须是稳定的平衡才是可实现的状态。以月球在地球引力和离心惯性力作用下的平衡为例。地月引力m2μ1/a2与O1 点的距离a 的平方成反比，离心惯性力m2a2ωc2与O 点的距离a2 成正比。如有微小扰动使月球向地球方向稍稍靠近，则a 和a2均减小，导致引力增大，离心力减小。月球在扰动力推动下就会向地球接近，最终掉落在地球上。如扰动方向相反，则a 和a2 增大使地球引力减小，离心力增大。月球就会愈飞愈远。可见仅考虑地球引力与离心惯性力，所维持的平衡是不稳定平衡。此结论不能解释月球已稳定陪伴地球40亿年的事实而明显错误。

错误的根源在于，除地球引力与离心惯性力以外，还有一个重要因素被忽略了，那就是科氏惯性力。当月球因扰动产生趋向地球的相对速度v 时，会因地月坐标系的牵连角速度ωc 产生科氏惯性力Fc=-2m2ωc×v。指向与ωc 和v 均正交的侧方，使月球受扰后朝与扰动正交的方向运动，转变为绕平衡位置O2 的微辐圆周运动（图3）。O2 处的平衡状态为 “中心”  类型的稳定奇点，证明月球在地月坐标系内的平衡为稳定平衡。地球与月球共同形成地月坐标系的稳定构架。较严格的分析可参阅稳定性证明。

附带指出，除地月引力为保守力以外，离心惯性力也有势函数存在，也可视为保守力。一般情况下，保守系统的稳定性可利用拉格朗日定理以最小势能条件做出判断，但不适用于有离心惯性力参与的保守系统。原因是转动坐标系中的受扰运动出现科氏惯性力，而不做功的科氏惯性力不影响系统的势能，因此不同于一般的保守系统[1。

通过以上分析可以看出，判断任何物体在转动坐标系内的平衡稳定性时，科氏惯性力是不可忽略的因素，有时甚至能对稳定性起决定性作用。

图3 月球的受扰运动

二、 拉格朗日点

在飞船的登月运动过程中，地球和月球都在太空中不停地运动。要对一个运动的目标计算飞船的轨道，难度极大。前面已证明地球和月球相对平衡的稳定性，它们在所组成的地月坐标系中均为固定点。因此在地月坐标系中规划登月路径，上述难题即迎刃而解。

以O 点为原点，O1 与O2 的连线为x 轴，轨道平面的法线为z 轴，建立地月坐标系 (O-xyz)，是绕O 点以角速度ωc 匀速转动的非惯性坐标系。设质量为m 的飞船P 相对O 点的矢径为r，相对O1 与O2 点的矢径为ρ1 和ρ2（图4）。各矢量在轨道平面 (O-xy) 中的投影为

图4 飞船在地月系统中的坐标

飞船在地月坐标系内受地球引力F1、月球引力F2 和离心惯性力Fc 的作用。

在 (O-xy) 坐标平面内存在一些特殊点，飞船在此特殊点处，引力和离心惯性力满足平衡条件：

而处于平衡状态。将

代入式引力和离心惯性力满足平衡条件，投影到x 轴和y 轴，消去公因子m，得到

拉格朗日点由上两式的方程组特解确定，以增加的下标s 表示。先从上式解出

特解ys=0 确定的拉格朗日点必分布在x 轴上。令式下式中ys=0

则ρ1 和ρ2 沿x 轴，其投影分别为x+a1 和x-a2 。在x 轴上由O1 和O2划分的3个区间 (-a1,a2)，(a2, +∞)，(-∞, -a1) 内，上式中各有一实根xs 存在，依序记作L1、L2、L3。

将另一组特解

乘以xs，下式各变量增加下标s

令此二式相减，得到

利用地球和月球的圆轨道角速度公式可证明μ1a1=μ2a2，代入上式，得到ρ1s=ρ2s。代回下式

且利用地球和月球的圆轨道角速度公式导出

从而证明另两个平衡位置L4、L5 与地球O1 和月球O2构成边长为a 的等边三角形（图5）。1767年欧拉 (Euler, L) 首先导出平衡位置L1、L2、L3，1772年拉格朗日 (Lagrange, JL) 导出L4、L5。5个可能平衡位置Li (i=1,2,˖˖˖,5) 统称为地月系统中的拉格朗日点 (Lagrangian points)，也称为平动点 (Libration points)（图5）。各个拉格朗日点的具体位置在表1中列出。

图5 拉格朗日点

表1

以上关于拉格朗日点的分析和结论具有普遍性。任意两个大天体的引力场内均有5个拉格朗日点存在，在此特殊位置上这两个天体对物体的引力均与离心惯性力保持平衡。任何物体在此位置上均可能与两个天体保持相对位置不变。换言之，此位置上的物体在惯性空间内以相同的周期同时绕两个天体旋转。1906年，天文学家观测到木星公转轨道上超前60°位置有小行星与木星同步运行。之后在落后60°处也发现了类似情况，恰好与木星－太阳引力场的拉格朗日点L4 和L5 重合，称为脱罗央小行星群 (Trojan asteroids)。这一天文发现验证了经典力学理论的正确性。

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。