机械振动力学笔记：无处不在的振动和波

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振动，是指物体受扰动后在平衡位置附近所做的往复运动。任何具有弹性的结构物或者机器的各组成部分，如果离开其平衡位置后就会发生振动。振动横跨力（包括声）、热、电、光等学科，某个物体的振动可能激发周围物质的振动，并以一定的速度向四周传播，这种传播着的振动称为波，它是能量传播的形式之一。

在力学中，机械振动在弹性介质内的传播形成机械波（弹性波）；声是一种机械波；在电学中有电磁振荡和电磁波，光波是电磁波谱的一部分。在近代物理中更是处处离不开振动和波，仅从微观理论的基石—量子力学又称波动力学这一点就可以看出，振动和波的概念在近代物理中的重要性。

在工程中，许多结构在动载荷作用下，其响应是一种波动，因为动载荷作用处产生的振动并不是立刻影响到其他部位，而是需要经过一段路径和时间，所以对结构动力响应的分析本质上是一个波动问题。在我们生活的物质世界中，振动和波的种类繁多、随处可见，存在于各个角落，比如建筑物的振动、机械振动、地震、声、光……等等。此外，还有生物力学及生态学中的振动、化学反应过程中的振动，以及社会经济领域中的价格波动等等。由此也可以说振动是物质的一种基本运动形式，是物质的一种存在形式。

在某些情况下，振动会带来一些危害，如大桥因共振而破坏，烟囱因风振而倒塌，飞机因颤振而坠毁，高压电线因自振而拉断，车船振动会让人不舒服，噪声令人心烦，结构在长时间的振动过程中，由于交变荷载或重复应力的作用造成结构的疲劳失效，振动会造成紧固件的松动……。当然，振动也有很多有益的地方，在我们生活与生产活动中几乎任何时刻都离不开振动，比如工业中的振动筛选、振动破碎、振动脱水、超声检查和治疗……。振动已成为人类生活与工农业生产各领域中一个不可或缺的手段和必要的机制。为了保证结构能够长期、安全、稳定、可靠的工作，在产品设计过程中研究其模态和结构的动力响应特性通常是不可或缺的，因此掌握一些机械振动理论，结构动力学知识，对工程师来讲也是必不可少。

一、简谐振动

简谐振动是最简单、最基本的振动，任何一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的合成。单自由度系统在线性恢复力作用下的自由振动，就是在平衡位置附近作简谐振动。振动中物体离开平衡位置的位移，按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化。

1. 简谐振动模型

如下图所示，设一单自由度弹簧振子，不考虑摩擦阻力，弹簧质量以及振子的大小和形状的理想化物理模型，自然平衡状态下小球位于O 点，小球若在此时获得一个向右的速度，向右离开平衡位置，并在弹簧恢复力的作用下作往复运动。

根据牛顿第二定律可以得到弹簧振子的运动微分方程：

令ω2=k/m（数学求解处理），其解为：

由此可见，该振动是简谐振动，其中A、φ0为待定常数，由初始条件确定。t=0时，x=x0， =v0 代入方程可得：

2. 简谐振动的特征参数

振幅、角频率、相位是简谐振动的三个基本特征参数，通过这三个参数即可描述一个简谐振动。

  · 振幅A：A 代表质点偏离平衡位置的最大距离，它的平方正比于系统的机械能E，A2∝E，其大小与初始条件有关。

  · 相位φ=ωt+φ0：其中，为t=0时刻的相位φ0，即初始相位，其大小与初始条件有关。

  · 角频率ω（圆频率）：振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整的振动所经历的时间称为周期，用T 表示。周期T 与角频率ω 的关系为：T=2π/ω。周期的倒数称为频率f，f=1/T=ω/2π。周期T 的单位是s，频率f 的单位是s-1，其专门的单位是Hz；角频率的ω 单位是rad·s-1。

由上可见，自由振动的周期和频率与初始条件无关，完全取决于系统自身的参数，即物体的质量m 和弹簧刚度k。因此，自由振动频率又称为固有频率，是一个确定系统或结构的基本特征。

3. 简谐振动的描述

  · x-t 曲线图示法

  · 振幅矢量法

  · 复数法，利用三角形与复数的关系，简谐振动也可用复数表示：

4. 简谐振动的能量

机械能：

动能和势能的变化频率都是原振子频率的2倍，一个周期内动能、势能的时间平均值等于总能量的1/2。

机械振动一般是质点在其平衡点附近的运动，大都是准弹性力作用下的往复运动，由于准弹性力F(x ) 是保守力具有势能V(x )。在这往往复复、来来回回的运行中，势能和动能之间不断的相互转化，此消彼长。

5. 振动的合成与分解

  · 方向、频率相同，初始相位不同的两个简谐振动的合成

从物理概念上说，两个同频率的简谐振动可以合成一个与原来频率相同的简谐振动；反之，一个简谐振动也可以分解为两个频率相同的简谐振动。

  · 方向相同、频率不同的两个简谐振动的合成

  · 方向垂直，频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动）

  · 方向垂直、频率不同的两个振动的合成（二维振动）

当ωx、ωy成整数倍时，合振动的轨迹仍是一些闭合曲线，如下图所示，称为李萨如图形。

李萨如图形 (Lissajou's figure)

6. 振动的分解、谐波分析

对于非简谐振动直接分析较为困难，通常是将其分解为许多简谐振动的叠加，数学上称这种分解为傅里叶分析。

任何一个周期性的振动都可以分解为一系列频率为原振动频率（基频）整数倍的简谐振动，在数学上这称为谐波分析。以频率f 为横坐标，各谐频振幅为纵坐标所作的图解叫做频谱，此时的频谱为分立谱。

非周期振动也可以用频谱来表示，这时频谱不再为分立谱，而是连续谱。不过，有些特殊的非周期振动可以分解为频率不同通约的若干分立的分振动。

二、振动的一般方程

自然界和工程技术各部门中存在的振动系统，可分为线性振动与非线性振动两大类。就机械振动而言，线性振动是指该系统中的恢复力，阻尼力和惯性力分别是位移、速度和加速度的线性函数。不具备上述线性关系的振动，则称为非线性振动。线性振动可以由线性微分方程予以描述。

一般机械系统的线性振动方程可表示为：

式中，m 为振动质量，c 为阻尼，k 为弹簧刚度，t 为时间，f(t ) 为干扰力或激振力。用线性微分方程描述的振动系统，称为线性系统。

非线性振动可由非线性微分方程加以描述，多数机械系统的非线性方程可表示为：

式中，阻尼力和弹性力为非线性项。

在某些特殊情况下，惯性力、阻尼力、弹性力都是加速度、速度以及位移x 的非线性函数，这时的非线性方程为：

自然界与实际工程中的振动，严格的说绝大部分都属于非线性振动。在许多情况下，不少弱非线性振动可近似地按照线性振动来处理，但也有不少非线性振动问题若当做线性问题处理，不仅会有较大的误差，而且会发生质的错误。

三、振动的分类

1. 按照振动输入特性分

  ·自由振动：系统受到初始激励作用后，紧靠其本身的弹性恢复力自由地振动，其振动的特性仅决定于系统本身的物理特性（质量m，刚度K）。

  · 受迫振动：又称强迫振动，系统受到外界持续的激振作用而被迫地产生振动，其振动特性除了受系统本身特性影响外，还受到激励的特性影响。

  · 自激振动：有的系统由于具有非震荡性能源或反馈特性，从而产生一种稳定持续的振动。

2. 按振动的周期特性分

  · 周期性振动：振动系统的某些参量在相等的时间间隔内作往复运动。

  · 非周期振动：振动系统的参量没有固定的时间间隔，即没有一定的周期。

3. 按照振动的输出特性分

  · 简谐振动：可以用简单正弦或余弦函数表述其运动规律的运动，该运动属于周期性振动。

  · 非简谐振动：不可以直接用简单正弦或余弦函数描述其运动的规律的振动。

  · 随机振动：不能用简单函数或简单函数组合来表述其运动规律，而只能用统计的方法来研究其规律的非周期性振动。

4. 按照系统的结构参数特性分

  · 线性振动

  · 非线性振动

5. 按照振动系统的自由度数目分

  · 单自由度系统：确定系统在振动过程中，任何瞬时的几何位置只需要一个独立坐标的振动。

  · 多自由度系统：确定系统在振动过程中，任何瞬时的几何位置需要多个独立坐标的振动。

  · 无限多自由度系统：弹性体需要用无限多个独立的坐标确定系统的振动过程中任何瞬时的几何位置。

6. 按照振动的位置特征分

  · 纵向振动

  · 横向振动

  · 扭转振动

  · 摆的振动

四、振动系统的物理参数

1. 质量及其特征

质量是衡量物质惯性大小的量，表征系统物理特征。质量包括集中质量，分布质量和转动惯量。

2. 刚度及其特征

当质量的位移为x，弹性元件的弹性力为Fk 时，弹性力和位移的关系可表示为Fk=f(x )。Fk 为弹性元件的刚度特性，表示系统内部弹性力的变化性质。当位移很小时，作为一阶近似，各种刚度的特性曲线均可用过原点的切线代替，即

实际系统中的同一构件所受载荷不同，在研究不同方向的振动时，构件具有不同的刚度表示。对于同一弹性元件，当选择的参考点不同时，其刚度值也不相同。单一元件的刚度计算相对容易，但是实际中通常是若干个弹性元件组合使用。

3. 阻尼及其特性

阻尼是在运动过程中耗散系统能量的作用因素。阻尼力为加速度的函数，阻尼力与速度的一次方成正比，称为线性阻尼，否则称为非线性阻尼。实际中有干摩擦阻尼、流体阻尼和结构阻尼，这些都是非线性阻尼，对于非线性阻尼要经过等效线性化处理为线性阻尼。干摩擦阻尼与法向压力成正比，与运动速度无关；流体阻尼与速度的平方成正比，其方向与速度的方向相反；由于材料本身内摩擦造成的阻尼称为结构阻尼，结构阻尼在很大范围内与频率无关，而在一个周期内所消耗的能量与振幅的平方成正比。阻尼表征系统的内部特性。

4. 干扰力及其特征

激振力（力或力矩）分为简谐激振力、周期激振力和非周期激振力等几种，激振力表征系统的外部特性。

参考文献：

[1] 闻邦椿 等编著机械振动理论及应用[M]，北京：高等教育出版社，2009.5(2015.1重印)

[2] 杨维纮 编著力学与理论力学，上册[M]，北京：科学出版社，2008

[3] 龙驭球 等编著结构力学I (第3版)[M]，北京：高等教育出版社，2012.8

[4] 郝桐生 编著理论力学(第3版)[M]，北京：机械工业出版社，2003.9(2008重印)

[5] 郝桐生 编著理论力学(第3版)[M]，北京：机械工业出版社，2003.9(2008重印)

[6] 费恩曼(美) 等著 费恩曼物理学讲义(第1卷)[M]，郑永令、华宏鸣 等译，上海：上海科学技术出版社，2005.6

来源：产品设计研习社微信公众号（ID：gh_ecd074a00e00），作者：探路者510。