小波变换的发展简史

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传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生。

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶。在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

从傅立叶分析到小波分析

1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立叶分析。傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术，奠定了现代数字化技术的理论基础。尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FFT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。

为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换 (Short Time Fourier Transform, STFT)，但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT没有得到广泛应用的重要原因。

从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点，恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。小波变换是以牺牲部分频域定位性能来取得时-频局部性的折衷。小波变换不仅能够提供较精确的时域定位，还能提供较精确的频域定位。我们所面对的真实物理信号，更多的表现出非平稳的特性，小波变换成为处理非平稳信号的有力工具。

与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能，可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究，都取得了有科学意义和应用价值的成果。

小波分析的发展情况

小波理论的兴起，得益于其对信号的时域和频域局域分析能力及其对一维有界函数的最优逼近性能，也得益于多分辨率分析概念，以及快速小波变换的实现方法。小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。

第一个正交小波基是由Haar在1910年提出的，它就是人们熟知的Haar正交基，Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。它具有最优的时（空）域分辨率，但是Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。其后，1936年，Littlewood 和Paley 对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论（L-P理论）；1952年～1962年，Calderon 等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论；1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解；1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解；1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。

70年代末，法国地球物理学家Morlet 试图改进依赖于窗体位置和频率分量的加窗傅立叶变换分析方法，采用一种窗函数的收缩与平移构造基函数变换，并成功的应用于油气勘探的非稳定性地震信号分析。1981年，Stromberg对Haar系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1984年，Morlet在分析地震波数据的局部性质时，发现用傅立叶变换难以达到要求，因此引入小波的概念应用于信号分析中，并用一种无限支集的非正交小波分析地震数据，这是第一次真正意义上提出了小波的概念。随后，Grossman和Morlet一起提出了确定小波函数伸缩平移系的展开理论。1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时-频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。

1987年，Meyer和Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造方法，同时给出了将信号和图像分解为不同频率通道的分解和重构快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析发展中具有里程碑的意义。1988年，Daubechies创立了支持离散小波的二进制小波理论，得出了二进小波的正则性与多项式表示的条件，并构造了具有有限支集的正交小波基。

1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。1992年，Daubechies和Feauveau等构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。1992年，Coifman和Wickerhauser提出了小波包 (Wavelet Packet，WP) 分析。1992年，Zou等提出了多带小波 (M-band Wavelet) 理论，将人们对小波变换的研究从“二带”推广到“多带”情况。基于“二带”小波变换的多分辨率分析中，尺度函数对应一个低通滤波器，而小波函数对应一个高通滤波器。“二带”小波变换把信号分解成不同的通道，而这些通道的带宽相对于尺度函数的对数是相同的，因此高频通道具有较宽的带宽，而低频通道具有较窄的带宽。1993年，Goodman等基于r 阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波 (Multi-Wavelet) 理论框架。1994年，Geronimo等提出了多小波变换 (Multi-Wavelet Transform，MWT)，将单尺度小波变换推广到多尺度小波变换。1995年，Sweldens提出构造第二代小波的提升方法，利用这种方法可以构造非欧空间中不允许的伸缩运算和平移运算，成为构造第二代小波的有力工具。

小波分析的应用

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号（平稳随机过程），处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的（非平稳随机过程），而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面。例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等；在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等；在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等；在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。

  · 小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。

  · 小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。

  · 在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。

从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点：

  · 小波分析可以覆盖整个频域（提供了一个数学上完备的描述）；

  · 小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；

  · 小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口）；在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）；

  · 小波变换实现上有快速算法（Mallat小波分解算法）。

小波分析的局限性

虽然小波变换有着很多的优点，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，被誉为“数学显微镜”，但是它在一维时所具有的优异特性并不能简单推广到二维或更高维。对于二维图像信号，常用的二维小波是一维小波的张量积，它只有有限的方向，即水平、垂直、对角，方向性的缺乏使小波变换不能充分利用图像本身的几何正则性，不能最优表示含“线”或者“面”奇异的高维函数。也就是说，小波是以“点”为单位捕捉图像的特征。但事实上，高维空间中最为普遍的还是具有“线”或“面”奇异的函数，自然物体光滑边界使得自然图像的主要组成单位并不是“点”，而是“线”和“面”，从而小波分析在处理二维图像时表现出很大的局限性。

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