简谐振动的运动学方程是怎么来的？

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简谐振动是最简单、最基本的振动，它的典型例子是弹簧振子。

水平弹簧振子

什么是弹簧振子呢？一个不考虑质量的弹簧连接一个有质量的小球或物块，然后把它沿着弹簧的方向压缩或者拉伸一定的距离（不要拉得太狠，悠着点儿）后松手，那么物块就会只在弹簧弹力的作用下，周期性地往复振动。弹簧振子是一个理想物理模型。振子速度最大的位置回复力为零，此处称之为平衡位置。

在高中我们就知道，弹簧振子的运动学方程可以表达为如下正弦或余弦函数形式：

它们都表述了振子偏离平衡位置的位移随时间变化的关系。由中学数学可知，这两个函数是等价的。那么，这个振动方程到底是怎么推导出来的呢？

我的书架上有四本书对这个振动方程有所描述，分别是漆安慎版《力学》、人教社的高中物理教材、《费曼物理学讲义》、赵凯华版《新概念物理教程·力学》，外加知乎@烤羚羊的思路。他们面对同一件事虽然思路迥异，却又殊途同归，真真是各有各的特点，各有各的巧妙。我们一起来看看吧^_^

方式一

“易得”型

这种方式的典型代表是漆老的《力学》，在书中，振动方程来自于直接写出微分方程的解，画风是下面这样的：

图片摘自漆安慎版《力学》

为什么可以写成这样呢？当时的我左思右想也没搞明白这个余弦函数是怎么来的。漆老可能觉得读者基本都是大学生了，这等小菜，自己可以推出来。看来我和漆老对大学生的基本要求隔了一个地球周长。所以，当时我只是把它当成基本结论去记的。现在，这种处理方式着实不能满足我对科学的渴望，必须深究下去。

方式二

科学探究型

这种方式的典型代表是现行高中物理人教版教材。从国家到地方都在大力开展新课程改革，要求在物理教学中要重视学生的物理探究过程，多多体验一下科学家们发现问题、提出猜想、设计实验、得出结论、讨论验证等的科学研究过程。所以，人教版高中物理教材是按如下方式得出振动方程的。

首先，观察弹簧振子的频闪照片。

让弹簧振子先振动起来，然后让频闪仪对着弹簧振子每隔0.05s闪光一次，闪光的瞬间振子就会被照亮，从而得到闪光时小球的位置，相邻两个位置之间的时间相隔为0.05s。拍摄时让底片从左向右匀速运动，因此，在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像。

弹簧振子的频闪照片

或者，在桌面上放一个弹簧振子（附一支描线笔），下面放上一条长长的宽纸带，然后在弹簧振子振动的同时在一侧把纸带匀速卷起来，这样就得到一条和频闪照片类似的图像。

模拟振动图像

然后，猜想图像的函数并验证。书上引导读者猜想这是正弦函数。然后根据振幅和周期写出正弦函数表达式，再从实验中得到的图像中选择几个点，得到不同时间所得到的位置值，把这个位置值和表达式中对应时间函数值做个比较。如果符合得很好，说明振动图像就是对应正弦函数。

接着，书上就直接给出了振动方程，如下图所示。

人教版高中教材的这个方法简单直观，规避了严谨的数学推理。其中，把时间作为一个数轴，位移作为另一个数轴，从一维振动中拉一个二维图像的方法是很奇妙的一个思路。

然而，弹簧振子的一维振动，怎么就跟三角函数扯上了关系呢？ 弹簧振子难道就没有什么内在的、固有性质使得它必然与三角函数有关系吗？

答案显示不是，一定是弹簧振子的某些固有属性使得它与三角函数有关系。那么，我们首先就得找找，弹簧振子到底有哪些固有的属性和规律呢。

弹簧振子的常微分方程：

弹簧振子的固有属性

弹簧振子有哪些固有属性会影响到它的振动呢？

首先，想到的性质一定有物块的质量，我们可以想想，在弹簧的拉伸长度一定的前提下，如果物块越重，振子就应该越“懒”，运动状态就越难得改变，也就是振动得越慢。所以，质量可能会在振动方程中体现出来。

接着，我们还应该想到弹簧的劲度系数k 也会影响到振动的快慢。如果弹簧越是“硬邦邦”，在弹簧被拉长相同的长度时所具有的拉力就越大，物块受到更大的拉力就应该会更快地回到平衡位置。所以，劲度系数也可能会在振动方程中体现出来。

有了质量和劲度系数，这只是我们寻找振动方程的一小步，还需要从弹簧振子必须满足的内在规律上找。


振子的牛顿第二定律

最先想到的应该是牛顿运动定律。

读高中时书上就讲，牛顿牛爵爷把力和运动通过牛顿第二定律结合起来，小到灰尘，大到天体都可以用，可以说是相当的厉害。弹簧振子自然也不例外，也就是说，弹簧振子一定满足F=ma，其中，F 就是弹簧受到的弹力，a 是振子的加速度。

但是，这和我们寻找的振动方程有什么关系呢？牛二定律里面并没有出现时间、也没有出现位移呀。其实，这里需要一丢丢的微积分知识，利用微积分，加速度可以表达为位置矢量的二阶导数。即可以把牛顿第二定律表达为如下形式：

这样一操作，x 和t 就立马出现了，似乎答案以经找到了。仔细一想，其实还没有。你想想看，在振子振动的过程中，弹力总是保持不变的吗？显然不是。换句话说，弹力F 也会随着时间，或者说随着位移发生变化。如果力F 不随位移变化还好，我们直接积分就可以得到位移和时间的关系了。可是现在F 并不单纯，它里面还藏着x 或t 没有露出来，要想直接积分就比较麻烦。

胡克定律

下一步，我们自然要再去找找F 与x 之间的关系。想必你已经知道了，就是牛顿的死对头胡克发现的胡克定律。胡克定律表达为如下形式：

胡克定律中有两点需要注意：一是，它表达了振子离开平衡位置的位移与所受弹力成正比；二是，弹力方向始终与位移的方向相反（前提是我们把振子的平衡位置定义为原点，即位移为0的位置）。


牛顿与胡克的“联姻”——常微分方程

接下来，让人尴尬的一步就出现了。如果我们把胡克定律中表达的F 带进牛顿第二定律中去，再把常数放在一起，就得到了下面这货：

在数学中为了更一般的讨论，常常把它写成下面这种形式：

在数学中，第2个方程被称为二阶常微分方程。叫“微分方程”，是因为方程中有自变量的微商；叫二阶，是因为微商的阶数最高是二阶的；叫“常”，是因为函数的自变量只有一个，即时间t。

为什么说尴尬呢？你瞧瞧，有着恩恩怨怨的牛顿和胡克虽然吵了一辈子，但是他们在科学上的成就却彼此左手拉右手，至少在描述简谐振动这件事儿上，别提它们有多甜蜜。

那么，该如何求解这个二阶常微分方程，来得到位移x 关于时间的表达式呢？解法其实有很多，真真是八仙过海，各显神通了。在这里，我介绍两种求解方式，一个用的是费曼的推理手法，另一个用复数和指数求解的思路。我们一个个地看。

方式三

费曼的推理

费曼是一位擅长通过简单的例子去说明高深问题的大师。比如，1986年，挑战者号失事后，费曼只用一杯冰水和一只橡皮环，就在国会向公众揭示了挑战者失事的根本原因——低温下橡胶失去弹性。而在弹簧振子的问题上，费曼体现了他的另一个能力——面对一个一般的问题，先从简单的情况入手，抓住事物规律的核心，再去考虑补充其他的细节。

接下来，就让我们一起看看费曼是如何推导出振子位移随时间变化的振动方程的。

1. 考虑特殊情况，化简微分方程

上面的二阶常微分方程中有两个常数m 和k，为分析的方便，我们不妨把m 和k 放到一块儿，并令k/m=1，即假设有这样一个弹簧振子，它的劲度系数的数值和物块的质量的比值等于1，这个假设显然是允许的。这样，没有常数干扰的微分方程就写成了

至于不等于1的情况，我们先放一边儿，过一会儿再考虑它。

2. 抓住微分方程的关键性质尝试构造函数

不知你发现了没有，上式其实表达了这么一个意思：关于时间的函数x，在经过两次求导（即d 2x/dt 2）后居然变回了它自己，还是x，只不过多了一个负号。

到底是什么样的函数具有这样的性质呢？此处迅速在头脑里回忆一下初等函数，我们发现，正弦函数或余弦函数都行。不妨设

3. 根据物理意义优化函数的表达

我们知道，时间的单位是"秒"，而余弦cos 的括号里装着的应该是以"度"为单位的角度量。因此括号里面不单单有时间，还应该乘上一个量，使得它与时间的乘积是一个角度。

我知道你一定想到了圆周运动的角速度，因为它乘以时间就是角度。不过，这里需要提醒一下，我们需要的量虽然与角速度在单位上相同，但它并不是物体旋转时的角速度，因为这里的振子并没有体现出旋转的意思。但是我们依然可以借用这个符号，把这个量写成ω0。这样，振动方程进一步被优化成了下面这个样子：

这个函数离我们的目标以经很近了，可是那个ω0 到底是个啥？它有什么物理意义呢？我们还需要进一步探索。

4. 把函数尝试代入微分方程

为了理解ω0 的物理意义，我们把猜测的x=cos(ω0t) 带入二阶常微分方程中，去看看ω0 将会有什么表现。代入后的结果如下：

通过比较我们发现，只要令ω02=k/m，即这两个式子就相同了。那么ω0=√k/m。

可以看出，这个的确跟弹簧的固有属性有关系，那么这个关系体现在什么方面呢？

5. 结合物理情景分析意义

对函数x=cos(ω0t)，我们结合实际振动来分析看看。

  · 首先，振子的位移一定在一个区间内变化，最大值有正负之分，有对称性，而且最小值为0，余弦函数的取值范围是 (-1, 1)，也具有对称性；

  · 当时间t=0时，x 取最大值，这表示振子是从最大位移处开始运动的；

  · 振子振动具有周期性，而cosω0t 正好是周期函数。

cos(

ω

0

t

)

表明振子从最大位移处开始运动并计时

函数的性质与振子的物理性质符合得很好，所以我们有理由相信，弹簧振子的运动学方程一定具有余弦函数的内核。

但是还有个问题，振子的振动周期，到底等于多少呢？

这个问题其实很好回答。我们知道，所谓周期其实就是物体经过一个时间段之后，正好回到出发点。而在余弦函数cosθ 中，周期是2π。也就是说，当振子运动了t=T 的时间后， cos(ω0t) 括号中所谓的"角度"ω0t，就将等于2π。这样我们就有ω0T=2π，这样就求得了周期的表达式为：

这个表达式说明什么意思呢？

  · 表明了当振子质量越大，振动的周期越大，即振子振动得越慢；

  · 表明了当弹簧劲度系数越大，振子周期越小，即振子振动得越快。这和我们上面讨论和实验规律相吻合。

说到这里，对于振子的运动方程，我们不仅把它的盖头掀开了一大半，还顺带求出了弹簧振子的振动周期，还进一步发现了ω0 是一个跟周期有关的量，表达了振动的固有属性。

6. 由特殊到一般，得到通解

通过刚才的分析我们知道，cos(ω0t) 仅仅表达了振子从最大位移处开始运动的情况，此时振子的速度为0，然而振子的运动初速度可以不为0啊。比如本来振子静止在平衡位置，现在让一颗子弹射入振子内部，并从此刻开始计时，那么振子的运动方程就不再是余弦，而要用正弦。

更进一步想象下这个场景，你正在用秒表去记录振子的运动，让秒表指零时为计时起点，此时振子在最大位移处，振动方程正好是余弦。然后牛顿也带着秒表走进来，他刚令秒表从零开始计时（假设你的秒表已经走过了Δt 的时间），就发现振子在最大位移的一半处。这个时候，对牛顿而言他在零时刻看到的振子的位置，应该跟你经过了Δt 时刻看到的位置是一样的。因此，振动方程应该写作：

由于是一个任意的数，此时令φ=ω0t0，它也是一个任意的数，这样方程可以进一步改成

还有最后一个事儿没处理干净，就是振子的振幅。在上面的表达式中，余弦函数的最大值只是1，对应着我们仅仅把振子拉开离平衡位置一个单位长度，可是我们可以把振子拉开到任意长度后松手，也就是振幅可以是1的倍数，也就是说，我们只需要把振幅A 乘到余弦函数前面即可。最终，振子的运动学方程就变成了：

这就是以弹簧振子为代表的简谐振动的通解。

方式四

用复变函数的思路

这个思路要感谢知乎大佬@烤羚羊，他也是从二阶常微分方程入手，在他给出的求解过程中一开始和费曼是一样的，都是先猜想解的形式。只不过，费曼猜想的是余弦函数，而@烤羚羊猜想的是e 指数，即 ，它和余弦函数一样，也可以在经历两次求导后得到与原函数类似的形式。经过一通推导后，得到了简谐振动方程的复数形式如下：

有兴趣的同学可以跳转到知乎@烤羚羊的文章（https://zhuanlan.zhihu.com/p/133809744）去看看。

方式五

能量守恒大法好

上面的做法总结起来无外乎两种，一种是从振子的实验数据出发，去猜余弦函数（高中教材的做法）；一种是从振子的动力学方程出发，去猜常微分方程的解的可能形式（费曼的做法和知乎@烤羚羊的做法）。都是靠猜。

那有没有什么办法可以不用靠猜，直接通过严谨的数学推导就能得出振动方程呢？有的，就是利用机械能守恒定律。这和上面的思路完全不同，《新概念物理学教程·力学》中用的就是这种办法。

弹簧振子具有的能量

为了讨论振子的运动学方程，我们先看看振子运动过程中的不变量——总能量。

对于宏观的弹簧振子而言，总能量无外乎两种：一种是振子的动能，我们在中学就已经知道它的计算式为1/2mv2，显然它和振子的速度有关系，而速度是位置的一阶导数；另一种是系统的弹性势能U(x)，那么弹性势能的具体表达式又是什么呢？我么一起把它搞出来。

弹性势能的泰勒级数

我以前被泰勒级数这四个字吓住过，不知道是个什么玩意儿，随着认识的加深，我逐渐明白了它的意义——用来近似的。部分读者可能还蒙在鼓里。接下来请允许我对它多唠叨几句。

首先，我们给出弹性势能的泰勒级数展示式。为了讨论的方便，我们把平衡位置记为0点，那么偏离平衡位置的位移和振子的位置在数值上相等，这样，振子的泰勒级数可以表达为如下形式：

大家不要被这么一长串公式给吓着，怎么理解它的意义呢？我们通过分析一副石膏像的素描过程来理解它。

摩西石膏像的素描图

在上图的素描画中，第一步先画出人物的轮廓，虽然它和真实的照片差距很远，但仍然可以知道这画了一个人，我把它称为对真实照片的模拟加入了一阶近似。

接着第二步，对人像的五官进行深入勾勒，这时我们发现摩西的感觉已经出来了，但还是和真实照片有差距，我把它称为对真实照片的模拟加入了二阶近似。

然后到了第三步，画家开始对照片中的光影明暗进行深入分析和表现，使得素描画更加立体丰满，此时的画作和真实照片的差距已经很小了。我把这称为对真实照片的模拟加入了三阶近似。

现在你应该明白了，只要我们不断地近似下去，让近似项越来越多，我们对原始对象地表现将会越来越逼真。

回到泰勒级数上去U '(0)x，它干的活儿和上面的素描过程其实是一样的。U (0) 就相当于那一张白纸，U '(0)x 就是对弹性势能加了一阶近似，U ''(0)/2!x2 就是对弹性势能加了二阶近似，依此类推。

这么做有什么好处呢？它可以帮助我们得到弹性势能的表达式。接下来，我们分析一下这些近似项蕴含的意义。

  · 首先看，它表示振子在平衡位置时的弹性势能。根据对称性的方便，我们令平衡位置时的弹性势能为0，即U (0)=0。

  · 再看一级近似U '(0)x 。这里有个一阶导数U '(0)，它表示什么意思呢？嘿嘿，在中学我们就学过，弹簧弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，把这句话写成微分形式就是Fdx=-dU。然后把它变个形，就得到了弹性势能一阶导数的表达式：

  · 再根据胡克定律，弹簧弹力大小F=kx，所以最终我们得到了弹性势能一阶导数为U '(x)=kx。而当x=0时，振子处于平衡位置时的弹力为零，把x=0带入上式就得到弹性势能的一阶导数为0。

  · 再看弹性势能的二阶导数。有了一阶导数的表达式，二阶导数自然就可以轻松得到，即U ''(x)=k。

  · 最后看高阶项。由于二阶导数已经为一个常数k（即弹簧的劲度系数）了，那么三阶以上的各项就只好都等于0了。

终于，弹性势能的表达式就被我们搞出来了，即

换元积分求解

有了动能和势能的表达式，我们就可以得到总的机械能表达式

为了等会儿便于积分，把它再改写成

因为振子的振动过程中总能量守恒，所以是一个常数。为了求解随时间变化的函数，我们写出速度的导数形式v=dx/dt，那么有

接下来就是一些积分技巧，我们通过换元法，令√k/2E x=sinφ，这样分母

而且有

经过这么一折腾，上面的式子就被改成下面这个容易积分的形式

两边积分，得

再把φ 换回到x，就得到

终于大功告成，这个表达式和我们常见的表达式x(t)=Asin(ωt+φ') 在意思上是一样的。其中的√2E/k 就是振幅A，√k/m 就是我们之前定义那个。

最后的话

洋洋洒洒六千多字，不算多但也不算少，经过这么一通分析，我主要感受到以下两点：

  · 要想认真学懂一个知识，少不了旁征博引，博览群书，不要囿于一家之言。因为一本书有一本书的观点，它往往会受作者的意图、篇幅、定位等方面的考虑，不一定面面俱到。

  · 把学到的知识写下来，讲给大家听，会加深、巩固和检验你对知识了解，还能结交优秀的人。我以前很自卑，很少跟人交流，加上之前视野不开阔，学习不够深入，对很多知识的认识只是浮于表面。我逐渐学着去学习，学着写点东西，把学到的东西再讲出来。这么做不仅利己，还能利人，何乐而不为呢？

关于简谐振动的方程，也许还有其它的推导方式，如果你知道的话，欢迎在下方评论区留言与我分享，让更多的人知道^_^

来源：小熊慢慢说微信公众号（ID：Xiong-Talk），作者：小熊君。